液壓缸非線性彈簧力下的軋機特性及控制

劉 彬 潘貴翔 李 鵬 姜甲浩 劉 爽 劉兆倫

1.燕山大學電氣工程學院，秦皇島，066004 2. 燕山大學信息科學與工程學院，秦皇島，066004

0 引言

板帶軋機在重工業(yè)機械領域發(fā)揮著重要的作用，隨著科技的飛速發(fā)展，高端領域對板帶軋機的要求越來越高[1]。然而板帶軋機輥系在工作過程中經(jīng)常發(fā)生振動，影響軋制產(chǎn)品的質量和生產(chǎn)效率，很難達到現(xiàn)在高端領域對軋制產(chǎn)品的要求，嚴重時損壞軋制設備，造成經(jīng)濟損失，在很大程度上限制了軋制產(chǎn)業(yè)的快速發(fā)展[2-4]。

板帶軋機振動問題的研究已經(jīng)持續(xù)了近半個世紀，國內外學者從不同角度進行了分析研究。文獻[5]研究了張力對軋機非線性振動的影響，通過改變外激頻率分析軋機振動系統(tǒng)的穩(wěn)定性，得出軋制速度和帶鋼厚度對系統(tǒng)穩(wěn)定性有很大影響的結論。文獻[6]研究了軋輥與液壓缸之間的分段非線性因素，通過建立軋機單自由度分段非線性垂直振動模型，發(fā)現(xiàn)分段非線性約束可能是導致軋機顫振發(fā)生的一個原因。文獻[7]考慮軋件和軋輥間的相互作用， 建立了基于輥縫動態(tài)摩擦方程的軋機輥系垂直振動模型，研究了軋件-軋輥工作界面動態(tài)摩擦機制影響下的冷軋機輥系垂振機理及系統(tǒng)穩(wěn)定性。文獻[8]引入Duffing振子和參激剛度項，建立了軋機輥系垂直振動模型，仿真分析了軋機輥系振幅在非線性參數(shù)變化下的分岔特性。文獻[9-10]認為速度改變引起液壓缸內部摩擦因數(shù)的變化，動態(tài)載荷引起液壓缸等效剛度的變化，摩擦因數(shù)和等效剛度的變化都會使液壓缸產(chǎn)生非線性。以上研究主要對入口張力、軋件和軋輥的相互作用以及液壓缸摩擦力對軋機輥系振動的影響進行了分析，沒有給出抑制消除軋機輥系垂直振動的具體方法。

筆者以軋機輥系為研究對象，考慮液壓缸非線性彈簧力，建立非線性約束作用下的軋機輥系振動模型。通過仿真分析軋機輥系振動的特性規(guī)律，引入吸振器控制裝置，研究吸振器的質量、彈簧力和摩擦力對控制軋機輥系振動行為的影響。

1 軋機輥系振動模型

1.1 非線性彈簧力

液壓彈簧剛度是指液壓缸工作腔完全封閉時，在外力作用下，油液體積被壓縮后所形成的液體非線性彈簧剛度。本文以軋機工業(yè)中常用的雙作用單活塞液壓缸為研究對象進行分析,圖1為雙作用單活塞液壓缸的結構圖。

圖1 雙作用單活塞液壓缸的結構圖Fig.1 Structural diagram of double acting single piston hydraulic cylinder

軋機液壓缸的彈簧剛度由液壓油剛度和活塞桿剛度串聯(lián)組成[11]。活塞桿的體積模量是液壓油體積模量的近百倍，所以把活塞桿視為剛體，液壓缸的非線性剛度主要由液壓油的剛度決定[12]。兩腔油液始終存在壓力并均處于壓縮狀態(tài)，而且兩腔油液是同時起作用的，因此液壓缸總液壓彈簧剛度可等效為兩腔液壓彈簧剛度的并聯(lián)[13]：

(1)

式中，K為液壓缸油液體積彈性模量；A1、A2分別為液壓缸無桿腔和有桿腔的活塞側有效面積；L為液壓缸總行程；L1為活塞桿初始位置；Vl1、Vl2分別為進油閥與無桿腔之間油管內油液體積和進油閥與有桿腔之間油管內油液體積，它們相對于兩油腔體積很??；x為液壓缸活塞桿的振顫位移。

則原點x=0處k(x)展成的泰勒級數(shù)為

(2)

(3)

非線性彈簧力為

(4)

對式(4)積分，由于彈簧彈性勢能Ep具有對稱性，故忽略奇次冪項，即有

(5)

對式(5)求導，則液壓缸的彈簧力可表示為

(6)

1.2 非線性彈簧力約束下的軋機輥系振動模型

根據(jù)非線性動力學的觀點，研究軋機液壓缸系統(tǒng)的非線性彈簧力動態(tài)特性對軋機輥系振動的影響[14]，根據(jù)軋機的機械結構可以簡化軋機輥系的結構，如圖2所示。

圖2 四輥軋機結構簡圖Fig.2 Structural diagram of four high mill

為簡化研究，只對軋機上部輥系進行分析，建立一種液壓缸非線性彈簧力約束下的軋機輥系振動模型,其振動模型如圖3所示。

圖3 軋機輥系振動模型Fig.3 Roll system vibration model of rolling mill

根據(jù)廣義耗散拉格朗日原理，建立軋機輥系垂直振動動力學方程：

(7)

式中，m為四輥軋機上支承輥、上工作輥及其軸承座的等效質量；c為軋機系統(tǒng)軋件的等效阻尼；k為軋機系統(tǒng)軋件的等效剛度；F為等效負載力。

為了研究不同非線性約束對軋機輥系振動行為的影響，給方程非線性彈簧力冠以系數(shù)α。

2 軋機輥系動態(tài)響應

為了方便計算，將動力學方程式(式(7))化簡為

F*cosωt

(8)

(9)

αx[ρ1+ρ2+(γ1+γ2)x2]

(10)

式中，ε為非線性項系數(shù)；σ為頻率調諧因子。

當ε=0時，式(8)的派生系統(tǒng)為線性保守系統(tǒng)，導出派生系統(tǒng)的解及其導數(shù)：

(11)

(12)

(13)

φ=ωt-θ

式中，a、θ為時間的慢變函數(shù)。

將式(10)代入式(13)得

(14)

將式(14)代入式(12)得

(15)

0.75αa2(γ1+γ2)]2

(16)

式(16)為軋機輥系振動系統(tǒng)的幅頻特性方程，是研究軋機液壓缸非線性約束下軋機輥系振動的基礎。

3 軋機輥系振動行為特性

以某廠板帶軋機參數(shù)為例，對液壓缸非線性作用下的軋機輥系垂直振動模型進行數(shù)值仿真求解。通過理論研究，探索液壓缸非線性彈簧力和摩擦力等非線性因素對軋機輥系動力學特性的影響規(guī)律。系統(tǒng)模型中的參數(shù)取值如表1所示。

表1 軋機輥系振動參數(shù)

3.1 頻域特性

軋機輥系振動規(guī)律受不同軋制參數(shù)的影響，采用表1所列參數(shù)對系統(tǒng)幅頻特性進行仿真，分析活塞桿初始位移和液壓缸非線性彈簧力對軋機輥系振動規(guī)律的影響。

圖4為軋機液壓缸活塞桿不同初始位移的幅頻特性曲線，可以看出，幅頻特性曲線對活塞桿初始位移的變化非常敏感，當初始位移稍微減小，系統(tǒng)的幅頻曲線右移，軋機固有頻率小幅變大，同時幅頻特性曲線的彎曲度也變大，即系統(tǒng)的不穩(wěn)定區(qū)域變寬。在工藝允許的范圍內，適當調整軋機活塞桿初始位移可以增強系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

圖4 不同初始位移的幅頻特性Fig.4 Amplitude frequency characteristics of different initial displacements

比較圖5中不同非線性彈簧力系數(shù)曲線發(fā)現(xiàn)，隨著非線性彈簧力系數(shù)α的增大，系統(tǒng)的幅頻曲線右移，軋機固有頻率變大，同時幅頻特性曲線的彎曲度也變大，系統(tǒng)的不穩(wěn)定區(qū)域變寬，軋機輥系的軋制過程會因此而更易于失穩(wěn)。

圖5 非線性彈簧力系數(shù)對幅頻特性曲線的影響規(guī)律Fig.5 Influence law of nonlinear spring force coefficient on amplitude frequency characteristic curve

3.2 分岔特性

以外激勵幅值作為分岔參數(shù)，分析系統(tǒng)分岔響應隨外激勵幅值的變化規(guī)律，研究外激勵幅值對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

由圖6可知：外激勵取不同值時，系統(tǒng)發(fā)生了不同程度的分岔現(xiàn)象，在分岔圖上出現(xiàn)單值曲線、多值曲線和無窮多值曲線；系統(tǒng)方程存在單解、多解和無窮解，即軋機輥系振動在單周期運動、倍周期運動和混沌運動等之間交替變化。外激勵F=591 kN時的仿真結果如圖7所示，相軌跡在有限區(qū)域內重復，呈一封閉曲線，Poincare截面上只有一個孤立的點，說明此時軋機輥系振動系統(tǒng)為周期運動狀態(tài)。外激勵F=601.2 kN時的仿真結果如圖8所示，相軌跡仍在有限區(qū)域內重復，呈一封閉曲線，從局部放大圖中可以看出，此時軋機輥系振動有2個振動速度，Poincare截面上有2個孤立的點，說明此時軋機輥系振動系統(tǒng)為2倍周期運動狀態(tài)。外激勵為F=627 kN時的仿真結果如圖9所示，相軌跡不再是一封閉曲線了，Poincare截面上變現(xiàn)為離散的點，說明此時的軋機輥系振動系統(tǒng)處于混沌運動狀態(tài)。

圖6 軋機輥系的分叉特性Fig.6 Bifurcation characteristics of mill roll system

圖7 F=591kN時的1倍周期運動Fig.7 One times periodic motion at F=591 kN

圖8 F=601.2kN時的2倍周期運動Fig.8 Two times periodic motion at F=601.2 kN

圖9 F=627kN時的混沌運動Fig.9 Chaotic motion at F=627 kN

4 軋機輥系振動控制

4.1 吸振器控制模型建立

軋機吸振器是通過彈性元件和阻尼元件，把輔助質量連接到軋機主系統(tǒng)(軋機支架)上的減振裝置，吸振器安裝到軋機輥系后，二者構成一個兩自由度系統(tǒng)，減振器在空間和結構上的安裝情況如圖10所示。軋機輥系和吸振器裝置只做垂直方向的直線運動，系統(tǒng)靜止時，軋機上輥系和吸振器裝置的平衡位置為運動原點，軋機輥系和吸振器裝置的振動位移的大小代表振動強度，減小軋機輥系的振動，就需要減小振動位移。軋機輥系在簡諧外激勵作用下振動，軋機輥系的振動能量通過吸振器的彈性元件和阻尼元件轉移到吸振器裝置上。吸振器通過彈性元件和阻尼元件作用在軋機輥系上的作用力，與外界對軋機輥系的作用力方向相反，把軋機輥系的振動能量轉化為摩擦力熱能和吸振器動能，從而減小軋機輥系的振動位移，達到抑制振動的目的。

圖10 安裝減振器后的軋機輥系簡圖Fig.10 Roll diagram of rolling mill after shock absorber installation

如圖11所示，在軋機上輥系(等效質量為m1)上安裝一個質量為m2的動力吸振器，x1為軋機上輥系的絕對位移，x2為吸振器的絕對位移，k1、c1分別為軋機上輥系和軋件之間的等效剛度和等效阻尼，k2、c2分別為吸振器和軋機上輥系之間的等效剛度和等效阻尼，F(xiàn)l(t)=Fcosωt為等效負載力，其中，F(xiàn)為外激勵幅值，ω為外激勵的角頻率。

軋機上輥系和吸振器以及軋機上輥系和軋件之間的等效剛度和等效阻尼是線性的，液壓缸的彈簧力是非線性的。帶吸振器的兩自由度系統(tǒng)模型的運動方程為

(17)

圖11 帶吸振器兩自由度系統(tǒng)模型Fig.11 System model of two degrees of freedom with vibration absorber

4.2 帶吸振器控制裝置的系統(tǒng)響應

式(17)可簡化為

(18)

令質量比μ=m2/m1，根據(jù)吸振器的最優(yōu)控制原理可近似得[15]：

式(18)等號右邊非線性項冠以系數(shù)ε，得

δ=εδ1ξ=εξ1ρ=ερ1F0=εF10

(19)

采用多尺度法求解：引入不同時間尺度T0=t和T1=εt。

對T0=t和T1=εt中的時間t進行求導：

(20)

只研究式(20)的一次近似解，設解x1和x2的形式為

(21)

將式(20)、式(21)代入式(19)，使方程兩端帶有參數(shù)ε且同次冪的系數(shù)和相等，得到各階近似方程：

(22)

(23)

將零次近似方程組(式(23))的解寫為復數(shù)形式如下：

(24)

將式(24)代入一次近似方程組(式(23))的右邊得到：

(25)

式中，cc代表左邊各項的共軛復數(shù)。

考慮內共振情況，假設ω=ω10+εσ，ω20=ω10+εσ1，并將其代入式(25)并消去久期項，可得

(26)

為求解式(26)，引入復函數(shù)B1=0.5a·exp(iφ1)，B2=0.5bexp(iφ2)，其中，a、b、φ1、φ2都是時間T1的函數(shù)，引入中間變量θ1=φ2-φ1+σ1T1，θ=σT1-φ1，將B1、B2、θ1、θ2代入式(26)，令等式兩邊的實部和虛部相等，可得

(27)

(28)

式(28)為帶吸振器軋機輥系振動系統(tǒng)的幅頻特性方程，是研究吸振器控制特性的基礎。

4.3 吸振器控制特性研究

為了對比吸振器控制裝置對軋機輥系振動行為的影響，仿真分析了加入吸振器控制裝置前后的時域特性曲線和幅頻特性曲線，分析了吸振器控制裝置的質量、彈簧力和摩擦力對幅頻特性的影響。圖 12為加入吸振器控制裝置前后的時域曲線，可以看出，吸振器控制裝置減小了軋機輥系的振動幅值。

圖12 加入吸振器前后時域曲線Fig.12 Time domain curve with and without vibration absorber

圖13～圖15分別為不同吸振器質量、彈簧力和摩擦力的振動幅頻特性曲線。比較圖4、圖13可以清晰看到，吸振器的加入使軋機輥系的幅頻曲線高度減小，說明吸振器控制裝置對軋機輥系振動控制的有效性。由圖13可以看出，不同吸振器質量對應不同彎曲度和高度的幅頻特性曲線，即吸振器質量的大小影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性；由圖14可以看出，吸振器彈簧力的改變使幅頻特性曲線的彎曲度隨之改變，改變了系統(tǒng)穩(wěn)定的范圍；由圖15可以看出，吸振器摩擦力的改變使幅頻特性曲線的高度發(fā)生變化，即吸振器摩擦力影響系統(tǒng)的振動幅值。

圖13 不同吸振器質量的幅頻特性曲線Fig.13 Amplitude frequency characteristics of different absorbers

圖14 不同吸振器彈簧力的幅頻特性曲線Fig.14 Amplitude frequency characteristics of spring force of different vibration absorbers

圖15 不同吸振器摩擦力的幅頻特性曲線Fig.15 Amplitude frequency characteristics of friction force of different vibration absorbers

5 結論

(1)液壓缸活塞桿初始位置和非線性彈簧力的改變，影響軋機固有頻率的大小和系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域的范圍。隨著活塞桿初始位置的增大，軋機固有頻率減小，不穩(wěn)定區(qū)域的范圍減小；非線性彈簧力的增大使軋機輥系的不穩(wěn)定區(qū)域變寬，軋機固有頻率增大。

(2)為了抑制軋機輥系的振動，本文考慮吸振器在減振過程中的作用，構造了一種帶吸振器裝置的軋機輥系振動模型，通過吸振器吸收軋機主振動系統(tǒng)的振動能量。通過調整吸振器的質量、剛度及阻尼參數(shù)，使吸振器能盡量多地吸收主系統(tǒng)的能量。

(3)不同的吸振器質量、彈簧力和摩擦力對軋機輥系振動幅頻特性曲線的幅值和穩(wěn)定區(qū)域有著不同的影響。在一定范圍內減小吸振器的質量可以提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性；一定范圍內增大吸振器彈簧力可以縮小系統(tǒng)不穩(wěn)定區(qū)域；一定范圍內增大吸振器摩擦力可以減小系統(tǒng)的振動幅值。為了提高軋機輥系的穩(wěn)定性，選取最理想的吸振器質量、彈簧力和摩擦力至關重要。