剛性道面彎沉盆重心距離法及回歸模型

凌建明, 劉詩(shī)福, 袁 捷

(同濟(jì)大學(xué) 道路與交通工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 201804)

基于落錘式彎沉儀(FWD)的機(jī)場(chǎng)剛性道面結(jié)構(gòu)強(qiáng)度反演是機(jī)場(chǎng)道面檢測(cè)最重要的內(nèi)容.目前國(guó)際上反演方法主要包括5類：① 數(shù)據(jù)庫(kù)法——借助插值等方法搜索數(shù)據(jù)庫(kù)中與實(shí)測(cè)彎沉盆最接近的路面結(jié)構(gòu)參數(shù)組合，該類方法需要事先計(jì)算大量的路面結(jié)構(gòu)，聯(lián)動(dòng)性較差.② 逐點(diǎn)擬合法[1]——假定路面結(jié)構(gòu)參數(shù)計(jì)算理論彎沉盆并與實(shí)測(cè)彎沉盆逐點(diǎn)對(duì)比，以誤差最小化為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行結(jié)構(gòu)參數(shù)的迭代，直至滿足一定的精度要求.該類方法的反演效率較低.③ 優(yōu)化算法——采用一些智能優(yōu)化算法,如人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[2]、遺傳算法[3]、同倫法等[4].雖然各種優(yōu)化算法都能逼近最優(yōu)路面結(jié)構(gòu)參數(shù)組合，但該類方法更多依賴于算法本身，且需要標(biāo)定一些模型參數(shù)，較為復(fù)雜.④ 惰性彎沉點(diǎn)法[5-6]——同濟(jì)大學(xué)孫立軍等首創(chuàng)了該方法[5]，并將其利用到多層結(jié)構(gòu)[6]，其原理是根據(jù)彎沉盆中存在的唯一惰性點(diǎn)，利用該點(diǎn)具有不隨板的回彈模量變化而變化的特性，簡(jiǎn)化參數(shù)反演的計(jì)算過(guò)程.⑤ 彎沉盆衍生指標(biāo)法——如Ioannides等人于1989年提出的彎沉盆面積指數(shù)法(AREA)，是目前國(guó)際上最為經(jīng)典和常用的反演方法之一[7]，其思路是通過(guò)構(gòu)建彎沉盆面積指數(shù)分離計(jì)算地基模型中的相對(duì)剛度半徑和地基支撐強(qiáng)度，進(jìn)而分步求解地基反應(yīng)模量和板的彈性模量?jī)蓚€(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù).由于該方法是基于彈性地基板撓度響應(yīng)模型的精確解，物理意義清楚，其圖解法、回歸公式法以及相應(yīng)的反演軟件(ILLI-BACK)業(yè)已成為國(guó)際上應(yīng)用最為普遍的方法及工具[8-10]. 美國(guó)聯(lián)邦航空總局FAA[8]和我國(guó)《民用機(jī)場(chǎng)道面評(píng)價(jià)管理技術(shù)規(guī)范》(MH/T 5024—2009)[11]在剛性道面結(jié)構(gòu)參數(shù)反演中均推薦使用該方法.

但在實(shí)際使用中，彎沉盆面積指數(shù)法仍存在一些局限性需要改進(jìn)，比如該方法沒(méi)有充分利用各個(gè)測(cè)點(diǎn)的彎沉數(shù)據(jù)信息，反演結(jié)果完全取決于彎沉值的精確測(cè)量，不能有效處理測(cè)量誤差[12].Li等通過(guò)循環(huán)利用各個(gè)彎沉測(cè)點(diǎn)的信息，提出了反演方法NUS-BACK，研究表明該方法比彎沉盆面積指數(shù)法的處理誤差能力更強(qiáng)[13].程國(guó)勇等指出了國(guó)內(nèi)民航機(jī)場(chǎng)剛性道面彎沉盆面積指數(shù)法在反演基頂模量時(shí)存在不確定性[14].林小平等分析了傳統(tǒng)彎沉盆面積指數(shù)法沒(méi)有充分利用實(shí)測(cè)彎沉盆中各個(gè)測(cè)點(diǎn)信息的局限性[15]，并通過(guò)實(shí)證分析了反演結(jié)果存在的不確定性，提出了剛性道面彎沉盆重心距離法(MAREA).該方法將彎沉盆面積指數(shù)用于確定相對(duì)剛度半徑的取值范圍,而非傳統(tǒng)方法直接求解相對(duì)剛度半徑，并采用了計(jì)算與實(shí)測(cè)彎沉盆之間的撓度擬合誤差作為反演結(jié)果的判定標(biāo)準(zhǔn)，在一定程度上避免了反演結(jié)果的多解性.但該方法存在反演效率低，且反演結(jié)果對(duì)測(cè)量誤差的敏感性較大，實(shí)測(cè)與理論彎沉盆的擬合精度有待進(jìn)一步提高等問(wèn)題.

本文從彎沉盆面積指數(shù)法遵循變量分離的反演思想出發(fā)，對(duì)該方法存在的不足進(jìn)行針對(duì)性的改進(jìn)，首先綜合考慮剛性路面實(shí)測(cè)彎沉盆中各個(gè)測(cè)點(diǎn)彎沉值的信息，構(gòu)建剛性道面彎沉盆重心距離指標(biāo)代替彎沉盆面積指數(shù)；以理論與實(shí)際彎沉盆誤差最小為準(zhǔn)則，計(jì)算得到地基反應(yīng)模量.利用MATLAB編寫Winkler地基模型上剛性路面結(jié)構(gòu)參數(shù)反演的程序，定量分析改進(jìn)后的剛性道面彎沉盆重心距離法相對(duì)于傳統(tǒng)彎沉盆面積指數(shù)法的可靠性，并以FWD實(shí)測(cè)彎沉盆數(shù)據(jù)驗(yàn)證該改進(jìn)方法的有效性.同時(shí)，本文給出改進(jìn)方法的無(wú)偏回歸模型，在提高道面結(jié)構(gòu)參數(shù)反演合理性的同時(shí)，也有利于工程實(shí)踐.

1 地基模型及邊界

在剛性道面結(jié)構(gòu)模型中，常用的地基模型包括Winkler地基或者彈性半空間地基.陳榮生等采用薄板有限元法系統(tǒng)分析了兩種地基的結(jié)構(gòu)響應(yīng)，認(rèn)為Winkler地基模型與實(shí)際情況吻合程度相對(duì)更高[16]；丹佛機(jī)場(chǎng)測(cè)試報(bào)告指出對(duì)于剛性道面板，彈性半空間地基模型計(jì)算得到的地基支撐強(qiáng)度偏高，且容易產(chǎn)生奇異點(diǎn).因此 Winkler 地基多用于分析水泥混凝土板的力學(xué)模型[17].Winkler地基模型假定地基表面上的壓力與地基的豎向位移成正比，通過(guò)積分變換法求解圓形均布荷載下該地基上無(wú)限大板的彈性曲面微分方程，在軸對(duì)稱垂直荷載作用下，撓度的解析解采用式(1)和式(2)計(jì)算.

(1)

(2)

式中：ω(r)為距荷載中心r處板的撓度,m；p為荷載集度,N·m-2；a為圓形均布荷載的半徑，m；ξ為積分變量；K為板下地基的反應(yīng)模量，N·m-3；J0、J1分別為0階、1階貝塞爾函數(shù)；l為板與地基的相對(duì)剛度半徑，m；E為板的彈性模量，Pa；μ為板的泊松比.

袁捷等分析了有限尺寸剛性板板中受荷時(shí)，距其邊緣大于0.7 m的范圍可以忽略板的尺寸效應(yīng)對(duì)撓度的影響[12].考慮到機(jī)場(chǎng)道面一般的水泥混凝土板邊長(zhǎng)為5 m，進(jìn)行參數(shù)反演一般采用水泥混凝土板中彎沉盆，因此采集的彎沉盆距離應(yīng)小于1.8 m.

2 彎沉盆面積指數(shù)法及其改進(jìn)

2.1 彎沉盆面積指數(shù)法

(3)

式中：Aw為指定斷面的面積；si為測(cè)點(diǎn)i與i+1之間的距離；ωi為測(cè)點(diǎn)i的撓度；ω為指定距離處的撓度;n為測(cè)點(diǎn)的數(shù)量.各參數(shù)的示意如圖1所示.

圖1 彎沉盆面積計(jì)算示意圖Fig.1 Definition of deflection basin area

在參數(shù)反演時(shí)先通過(guò)匹配相同斷面面積下實(shí)測(cè)彎沉盆面積指數(shù)Aw，m和理論彎沉盆面積指數(shù)Aw，t以推算相對(duì)剛度半徑l，進(jìn)而根據(jù)式(1)和式(2)的K及E分別采用式(4)和式(5)進(jìn)行反演.

(4)

(5)

2.2 問(wèn)題剖析與改進(jìn)

2.2.1推算相對(duì)剛度半徑l

為消除變量K以推算變量l，傳統(tǒng)的彎沉盆面積指數(shù)法在公式(3)中僅使用了彎沉盆指定測(cè)點(diǎn)ω的彎沉值，而沒(méi)有有效利用其他測(cè)點(diǎn)的彎沉信息，這在一定程度上增加了反演的多解性[15].

林小平等改進(jìn)思路(Lin方法)是[15]：通過(guò)遍歷所有的實(shí)測(cè)彎沉值ωi后，分別確定相應(yīng)的相對(duì)剛度半徑li，進(jìn)而根據(jù)其最大、最小值確定相對(duì)剛度半徑的待選集合S，并在待選集合中根據(jù)彎沉盆誤差最小原則推算出相對(duì)剛度半徑的取值.

Li等的思路(Li方法)是[13]：挑選兩個(gè)不同測(cè)點(diǎn)的彎沉值，代入式(1)得到兩個(gè)方程，并將兩者相除后作為相對(duì)剛度半徑的匹配目標(biāo).對(duì)于n個(gè)測(cè)點(diǎn)的彎沉盆，遍歷所有測(cè)點(diǎn)可得到n(n-1)個(gè)相對(duì)剛度半徑，將其平均值作為最終的反演結(jié)果.

Lin方法和Li方法都充分利用了彎沉盆各個(gè)測(cè)點(diǎn)的信息，但計(jì)算空間大，反演效率低.本文將彎沉盆(如圖1的右半部分所示)看作是一個(gè)封閉的幾何圖形，其幾何重心距離荷載中心的距離可按下式計(jì)算：

(6)

式中：dCG為彎沉盆的重心距離，m；d為彎沉盆長(zhǎng)度，m.

由式(6)可見(jiàn)，dCG大小由各個(gè)彎沉測(cè)點(diǎn)的信息決定，dCG值可充分利用測(cè)點(diǎn)的距離和彎沉值.因此，利用彎沉盆重心距離替代彎沉盆面積指數(shù)這個(gè)指標(biāo)，除了同樣可采用變量相除的方式分離變量K和l之外，還可充分利用彎沉盆各個(gè)測(cè)點(diǎn)的彎沉信息，可避免反演的多解性而不用增加計(jì)算空間.

2.2.2計(jì)算K和E

由公式(4)可知，彎沉盆面積指數(shù)法反演的變量K，只能保證理論彎沉盆和實(shí)測(cè)彎沉盆在指定測(cè)點(diǎn)的彎沉值相等，而在其他測(cè)點(diǎn)的彎沉值可能誤差較大.

Lin方法的改進(jìn)思路是將待選集合S均勻劃分n份,取lj∈S，再次遍歷所有的實(shí)測(cè)彎沉值ωi后按照公式(4)、(5)計(jì)算Kji和Eji，通過(guò)尋找一組(Kji，Eji)使得理論與實(shí)測(cè)彎沉盆間的擬合誤差最小化后作為最后的反演結(jié)果[15].

Li方法是根據(jù)計(jì)算的n(n-1)個(gè)相對(duì)剛度半徑和地基反應(yīng)模量，將其平均值作為最終的反演結(jié)果，并根據(jù)公式(5)計(jì)算得到E值.

上述3種方法都沒(méi)有最小化理論彎沉盆與實(shí)測(cè)彎沉盆的誤差.本文為了克服這個(gè)缺點(diǎn)，以理論與實(shí)測(cè)彎沉盆誤差最小為原則推算K.理論與實(shí)測(cè)彎沉盆誤差最小化的目標(biāo)函數(shù)如下式:

(7)

(8)

與式(4)相比，式(8)反演的唯一地基反應(yīng)模量K綜合利用了各個(gè)測(cè)點(diǎn)的彎沉值信息，在降低與實(shí)測(cè)彎沉盆誤差的同時(shí)，也避免了反演結(jié)果的多解性.

2.3 改進(jìn)方法的計(jì)算流程

綜上分析，改進(jìn)的剛性道面彎沉盆重心距離法參數(shù)反演的計(jì)算流程如圖2所示：步驟1,將彎沉盆重心距離指標(biāo)作為橋渡，首先根據(jù)剛性道面相關(guān)剛度的取值范圍和步長(zhǎng)，根據(jù)公式(6)計(jì)算各相對(duì)剛度半徑對(duì)應(yīng)下的理論彎沉盆重心距離，并根據(jù)實(shí)測(cè)彎沉盆數(shù)據(jù)直接計(jì)算實(shí)測(cè)的彎沉盆重心距離；步驟2,根據(jù)理論和實(shí)測(cè)彎沉盆重心距離誤差最小的原則，推算相對(duì)剛度半徑的最終取值；步驟3,以理論和實(shí)測(cè)彎沉盆的誤差最小為原則，根據(jù)公式(8)推算唯一的地基反應(yīng)模量；步驟4,根據(jù)步驟2和步驟3所確定的相對(duì)剛度半徑和地基反應(yīng)模量，再應(yīng)用式(5)計(jì)算板的彈性模量.

圖2 剛性道面彎沉盆重心距離法流程圖Fig.2 Flowchart of improved AREA back-calculation method

3 方法分析

3.1 算例描述

規(guī)范中建議傳感器的間距宜為0.3 m[11]，考慮到板中彎沉盆的邊界應(yīng)小于1.8 m，選用的各測(cè)點(diǎn)信息如表1所示.參照規(guī)范中的算例[11]，假定典型的道面結(jié)構(gòu)各參數(shù)取值如下：水泥混凝土板的厚度為0.4 m，彈性模量為36 GPa，泊松比為0.15,地基反應(yīng)模量為115 MN·m-3,0.3 m直徑的圓形均布荷載為140 kN.根據(jù)式(1)計(jì)算不同測(cè)點(diǎn)的理論彎沉值如表1所示.

3.2 可靠性分析設(shè)計(jì)

在彎沉盆面積指數(shù)法中，假設(shè)公式(3)、(4)中側(cè)重使用的指定距離處彎沉值ω為第一個(gè)測(cè)點(diǎn)的彎沉值ω0，采用MATLAB編寫Winkler地基模型及剛性路面結(jié)構(gòu)參數(shù)的反演方法.以算例中假定的道面結(jié)構(gòu)參數(shù)“真值”為基準(zhǔn)，對(duì)彎沉盆面積指數(shù)法和改進(jìn)的剛性道面彎沉盆重心距離法處理FWD測(cè)試誤差的能力進(jìn)行分析.其中，F(xiàn)WD彎沉測(cè)試的誤差包括系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差，當(dāng)前國(guó)際主流FWD設(shè)備的測(cè)量精度為(2±2%)μm，實(shí)測(cè)彎沉值與理論彎沉值的關(guān)系式如下[18]:

表1 計(jì)算得到不同測(cè)點(diǎn)的理論彎沉值Tab.1 Calculated deflections of different sensors

(9)

式中：wm表示FWD誤差作用下的實(shí)測(cè)彎沉值；wt表示彎沉測(cè)試的理論值；r1、r2、r3、r4是0～1的隨機(jī)數(shù).根據(jù)式(9)，對(duì)表2中每一測(cè)點(diǎn)的彎沉值加入隨機(jī)誤差，模擬生成100組的實(shí)測(cè)彎沉盆，分析在測(cè)量誤差作用下兩種方法的可靠性.

3.3 結(jié)果分析

3.3.1傳感器數(shù)量

由表1可知，傳感器的數(shù)量最多為6個(gè)，而不同傳感器數(shù)量影響反演方法處理誤差的能力.在傳感器為3～6個(gè)時(shí)，100次試驗(yàn)下改進(jìn)的剛性道面彎沉盆重心距離法得到的結(jié)構(gòu)參數(shù)統(tǒng)計(jì)值如表2所示.可見(jiàn)，無(wú)論是板的彈性模量還是地基反應(yīng)模量，隨著傳感器數(shù)量的增加，得到結(jié)構(gòu)參數(shù)均值更貼近于真實(shí)值，且標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù)更小.這是因?yàn)殡S著傳感器數(shù)量的增加，彎沉盆的重心受各個(gè)測(cè)點(diǎn)共同作用，重心距離值更為穩(wěn)定，故各點(diǎn)彎沉值的誤差對(duì)重心的影響將更小.因此，采用6個(gè)傳感器的彎沉盆可提高反演對(duì)誤差的處理能力.

3.3.2方法的可靠性

在都使用6個(gè)傳感器的情況下，彎沉盆面積指數(shù)法和剛性道面彎沉盆重心距離法在100次試驗(yàn)后得到的結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)比如圖3所示.虛線是縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)值相等的線，實(shí)線是回歸擬合線.可見(jiàn)，在結(jié)構(gòu)參數(shù)的大小上，兩種反演方法得到的結(jié)果無(wú)明顯區(qū)別；通過(guò)擬合線發(fā)現(xiàn),兩者的相關(guān)系數(shù)為0.2左右，無(wú)明顯的相關(guān)關(guān)系.而從橫縱坐標(biāo)的跨度來(lái)看，無(wú)論是K還是E，剛性道面彎沉盆重心距離法的跨度范圍更窄，這表明改進(jìn)后更接近于真實(shí)值(E=36 GPa,K=115 MN·m-3).

100次試驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)值如表3所示，剛性道面彎沉盆重心距離法的均值更接近于真實(shí)值，標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù)更小.由此可見(jiàn)，本文提出剛性道面彎沉盆重心距離法的可靠性更強(qiáng)，更能有效處理FWD測(cè)量的誤差.

表2 不同傳感器數(shù)量下的結(jié)構(gòu)參數(shù)統(tǒng)計(jì)值Tab.2 Statistical structural parameters with different number of sensors

a 板的回彈模量

b 地基反應(yīng)模量圖3 兩種方法的結(jié)構(gòu)參數(shù)反演結(jié)果對(duì)比Fig.3 Comparison of structural parameters of two methods

表3 不同傳感器數(shù)量下的結(jié)構(gòu)參數(shù)統(tǒng)計(jì)值Tab.3 Statistical structural parameters with different number of sensors

4 回歸模型

通過(guò)上述分析可知，剛性道面彎沉盆重心距離法要比傳統(tǒng)的彎沉盆面積指數(shù)法更能有效處理測(cè)試誤差，但由前文分析可看出，反演方法涉及到多個(gè)高等復(fù)雜函數(shù)，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)不太方便.為提高剛性道面彎沉盆重心距離法在工程實(shí)踐中的可操作性，本文通過(guò)SPSS軟件，擬合了Winkler地基模型上剛性道面彎沉盆重心距離法的回歸模型，如式(10)～(14)所示，相應(yīng)的系數(shù)取值如表4所示.公式(11)、(13)采用了五次多項(xiàng)式擬合，得到的相關(guān)系數(shù)為1，故式(10)～(14)得到的回歸模型可無(wú)偏精準(zhǔn)地?cái)M合原模型.

表4 回歸模型的系數(shù)取值表Tab.4 Coefficient values of regression model

注：表中回歸系數(shù)僅為相對(duì)剛度半徑l處于0～2 m的情況.

(10)

l=a1s5+a2s4+a3s3+a4s2+a5s+a6，R2=1

(11)

(12)

di=ei1l5+ei2l4+ei3l3+ei4l2+ei5l+ei6，

R2=1,i=0,1,2,3,4,5

(13)

(14)

5 實(shí)例應(yīng)用

以華東地區(qū)某4C機(jī)場(chǎng)停機(jī)坪和某4D機(jī)場(chǎng)跑道的剛性道面為例，采用落錘式彎沉儀車實(shí)地采集 FWD彎沉實(shí)測(cè)數(shù)據(jù).分別各選取其中典型的5個(gè)彎沉盆，彎沉測(cè)試結(jié)果及道面板厚等基礎(chǔ)數(shù)據(jù)如表5所示.其中，F(xiàn)WD均布荷載半徑為0.15 m，荷載為140 kN.

采用不同的反演方法得到各彎沉盆下的結(jié)構(gòu)參數(shù)，如表6所示，其中誤差和為由結(jié)構(gòu)參數(shù)正算得到的彎沉盆與實(shí)測(cè)彎沉盆在各測(cè)點(diǎn)的誤差累積值.可見(jiàn)，剛性道面彎沉盆重心距離法在擬合精度上比傳統(tǒng)的彎沉盆面積指數(shù)法有更大的提高，且與文獻(xiàn)[15]改進(jìn)方法和文獻(xiàn)[13]改進(jìn)方法相比，擬合精度也有較大的提升.綜上所述，實(shí)例分析表明本文提出的剛性道面彎沉盆重心距離法實(shí)用性更強(qiáng)，更具合理性.

表5 某4C和4D機(jī)場(chǎng)水泥混凝土板板中實(shí)測(cè)彎沉FWD數(shù)據(jù)Tab.5 Test results of deflections by FWD in 4C and 4D airport pavement of China

注：測(cè)試荷載已等效為140 kN.

表6 4種方法機(jī)場(chǎng)道面的參數(shù)反演結(jié)果Tab.6 Comparisons of back-calculations of four methods

6 結(jié)論

(1) 系統(tǒng)梳理了彎沉盆面積指數(shù)法的模型體系及參數(shù)反演的計(jì)算過(guò)程，部析其彎沉信息利用率低以及處理測(cè)量誤差能力差等問(wèn)題.以彎沉盆重心距離指標(biāo)替代方法中的面積指數(shù)，并以理論彎沉盆與實(shí)測(cè)彎沉盆之間擬合誤差最小化為原則，對(duì)傳統(tǒng)彎沉盆面積指數(shù)法進(jìn)行針對(duì)性的改進(jìn).

(2) 剛性道面彎沉盆重心距離法，綜合利用彎沉盆各個(gè)測(cè)點(diǎn)的信息，推算得到唯一的相對(duì)剛度半徑；并根據(jù)擬合誤差的最小化，反演唯一的地基反應(yīng)模量和板的彈性模量.這從根本上解決了傳統(tǒng)的彎沉盆面積指數(shù)法僅匹配指定測(cè)點(diǎn)彎沉值而忽略其他測(cè)點(diǎn)的片面性，并從理論上解決了結(jié)構(gòu)參數(shù)反演時(shí)存在多解性等問(wèn)題.

(3) 剛性道面彎沉盆重心距離法最佳應(yīng)利用6個(gè)傳感器信息，數(shù)值模擬試驗(yàn)結(jié)果表明，該方法能有效處理FWD測(cè)試誤差并提高反演結(jié)果的可靠性.采用五次多項(xiàng)式建立了無(wú)偏的回歸模型，大大提高反演的效率，增強(qiáng)了實(shí)踐應(yīng)用的便利性.

(4) 對(duì)FWD實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行反演實(shí)證對(duì)比分析，結(jié)果表明提出方法的反演誤差更小，與實(shí)測(cè)彎沉盆擬合程度更高，反演方法更具合理性，具備良好的應(yīng)用潛力.未來(lái)仍需進(jìn)一步對(duì)比研究該方法與其他類別方法的優(yōu)缺點(diǎn).