基于三坐標(biāo)測量機(jī)的立方鏡標(biāo)定精度分析

倪愛晶 郭 慶 趙 婕 于望竹 蔡子慧 楊 純

(北京衛(wèi)星制造廠有限公司，北京 100094)

1 引 言

航天器總裝是將航天器上各分系統(tǒng)裝配在一起，形成一個(gè)能夠完成特定任務(wù)的完整系統(tǒng)[1]。航天器裝配精度對其功能的實(shí)現(xiàn)有著直接影響，裝配過程需嚴(yán)格保證重要部件的安裝位置與方向，因此總裝過程需依賴測量手段保證裝配精度，測量對象涉及多種有效載荷，如天線系統(tǒng)、設(shè)備、相機(jī)等。由于各分系統(tǒng)尺寸大、結(jié)構(gòu)復(fù)雜，測量過程中難免出現(xiàn)遮擋導(dǎo)致的不可測量情況。因此，航天器總裝中通常引入立方鏡作為工藝基準(zhǔn)，通過提前標(biāo)定立方鏡和有效載荷的姿態(tài)關(guān)系，來確定有效載荷的安裝位置和姿態(tài)。

航天器總裝用立方鏡是經(jīng)過精密加工的規(guī)則的正方體，根據(jù)邊長的不同分為多種規(guī)格。立方鏡6個(gè)表面的平面度都極高，且表面中心處刻有十字刻線，精度達(dá)微米級。任意相鄰面的垂直度可達(dá)±3″[2]。立方鏡表面的法線可通過經(jīng)緯儀、三坐標(biāo)測量機(jī)等測量設(shè)備進(jìn)行測量獲得，利用多個(gè)面的法線便可構(gòu)造立方鏡坐標(biāo)系。因此，航天器研制過程中，通常使用立方鏡坐標(biāo)系表示重要部件的空間位置。

由于裝配的最后階段只能通過測量獲取到有效載荷上立方鏡坐標(biāo)系，而精度測量和調(diào)整的對象是有效載荷。因此在分系統(tǒng)裝配前需要通過測量并建立立方鏡坐標(biāo)系及產(chǎn)品自身機(jī)械坐標(biāo)系，從而獲得立方鏡坐標(biāo)系與機(jī)械坐標(biāo)系的關(guān)系矩陣，通常我們將此過程稱為立方鏡的標(biāo)定?；跍y量精度方面的考慮，測量范圍1m以內(nèi)時(shí)，立方鏡的標(biāo)定通常使用三坐標(biāo)測量機(jī)。由于立方鏡的標(biāo)定結(jié)果作為航天器裝配的輸入條件直接影響裝配精度，因此有必要對基于三坐標(biāo)測量機(jī)的立方鏡標(biāo)定精度進(jìn)行分析。而立方鏡坐標(biāo)系由立方鏡表面法向確定，所以立方鏡標(biāo)定精度可以通過立方鏡相鄰面夾角的測量精度進(jìn)行分析。

本文利用試驗(yàn)采樣的方法，對立方鏡相鄰面夾角的重復(fù)性精度進(jìn)行了評估。在此基礎(chǔ)上，使用蒙特卡羅仿真法和解析法對立方鏡標(biāo)定的精度進(jìn)行了評估。最終結(jié)合試驗(yàn)數(shù)據(jù)和仿真數(shù)據(jù)對基于三坐標(biāo)測量機(jī)的立方鏡標(biāo)定給出了具體建議。

2 立方鏡采樣試驗(yàn)

以精度±5″、邊長20mm的立方鏡為試驗(yàn)對象，使用三坐標(biāo)測量機(jī)測量立方鏡上3個(gè)互相垂直的平面，所用型號的坐標(biāo)測量機(jī)示值誤差為(2.2+3L/1000)μm，20mm測量范圍內(nèi)，測量精度約為3μm。立方鏡采樣試驗(yàn)分為3個(gè)步驟，分別是在立方鏡3個(gè)互相垂直的表面上測量4點(diǎn)/面、9點(diǎn)/面、25點(diǎn)/面，如表1和圖1所示。每個(gè)步驟采樣重復(fù)6次，試驗(yàn)中的采樣均使用三坐標(biāo)測量機(jī)的自動(dòng)測量功能，重復(fù)采樣使用相同的測量程序。用每個(gè)面的測點(diǎn)擬合平面，分別得到立方鏡的面1、面2、面3，評價(jià)相鄰面的夾角，以夾角的重復(fù)測量精度評判立方鏡標(biāo)定的重復(fù)性精度。

表1 立方鏡采樣試驗(yàn)Tab.1Tests with different sampling strategies of cube-mirror

圖1 立方鏡采樣試驗(yàn)Fig.1Tests with different sampling strategies of Cube-mirror

3 試驗(yàn)結(jié)果與分析

利用立方鏡平面上測點(diǎn)擬合平面，計(jì)算每次采樣的相鄰面夾角，分別得到4點(diǎn)/面、9點(diǎn)/面、25點(diǎn)/面試驗(yàn)時(shí)面1與面2夾角、面1與面3、面2與面3夾角共3個(gè)夾角數(shù)值，如表2、表3、表4所示。從表中數(shù)據(jù)可以看出，4點(diǎn)/面、9點(diǎn)/面、25點(diǎn)/面試驗(yàn)的極差都比較大，接近8″，從實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)值來看，3組試驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差相差較小，從平均值數(shù)值看，25點(diǎn)/面的6次采樣的均值與理論值最為接近?？梢?，單純從數(shù)值上難以分辨幾組試驗(yàn)的效果，也沒有規(guī)律可循。

利用表2、表3、表4中夾角數(shù)據(jù)繪制折線圖，分別如圖2、圖3、圖4所示，圖中橫軸為采樣次數(shù)，縱軸為相鄰面夾角θ數(shù)值。每幅圖中有3條折線、2條虛線和3條細(xì)實(shí)線。3條折線表達(dá)立方鏡3個(gè)互相垂直被測表面的3組相鄰面夾角，兩條虛線表達(dá)精度±5″立方鏡的理論夾角區(qū)間(89.998 61°,90.001 39°)，細(xì)實(shí)線表達(dá)夾角折線的平均值。從折線圖可以看出，4點(diǎn)/面和9點(diǎn)/面采集測點(diǎn)時(shí)，3條夾角折線分布在(89.996°,90.004°)區(qū)間內(nèi)，明顯不能被理論夾角區(qū)間包絡(luò)，且3條夾角折線的平均線只有1條在理論夾角區(qū)間內(nèi)。而25點(diǎn)/面的3條夾角折線分布在(89.999°,90.002°)區(qū)間內(nèi)，大部分能夠被理論夾角區(qū)間包絡(luò)，最關(guān)鍵的是3條夾角折線的平均線均在理論夾角區(qū)間內(nèi)。

表24點(diǎn)/面立方鏡夾角

Tab.2Thecube-mirrorangleof4points/surface(°)

表3 9點(diǎn)/面立方鏡夾角Tab.3 Cube-mirror angle of 9 points/surface (°)

表4 25點(diǎn)/面立方鏡夾角Tab.4 Cube-mirror angle of 25 points/surface (°)

圖2 4點(diǎn)/面立方鏡夾角Fig.2 Cube-mirror angle of 4 points/surface

圖3 9點(diǎn)/面立方鏡夾角Fig.3 Cube-mirror angle of 9 points/surface

圖4 25點(diǎn)/面立方鏡夾角Fig.4 Cube-mirror angle of 25 points/surface

從3組試驗(yàn)數(shù)據(jù)和夾角折線圖可以得出以下結(jié)果：

(1)不同采樣點(diǎn)數(shù)的多次試驗(yàn)中立方鏡相鄰面夾角極差、實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差與采樣點(diǎn)數(shù)相關(guān)性不大，其數(shù)值不會(huì)隨著采樣點(diǎn)數(shù)的增多而變?。?/p>

(2)25點(diǎn)/面試驗(yàn)的3條夾角折線大部分能夠被理論夾角區(qū)間包絡(luò)，而4點(diǎn)/面和9點(diǎn)/面的3條夾角折線與理論夾角區(qū)間重合區(qū)域較少；

(3)25點(diǎn)/面試驗(yàn)的3條夾角折線的平均線均在理論夾角區(qū)間內(nèi)，而4點(diǎn)/面和9點(diǎn)/面的3條夾角折線的平均線只有1條在理論夾角區(qū)間內(nèi)。

4 基于蒙特卡羅法的不確定度評定

從試驗(yàn)結(jié)果可以看出，試驗(yàn)得到的數(shù)值并不能充分表達(dá)立方鏡夾角的測量精度。為了進(jìn)一步地分析立方鏡夾角測量精度，將夾角測量不確定度作為衡量立方鏡標(biāo)定精度的指標(biāo)。測量不確定度表征合理賦予的被測量之值的分散性，是與測量結(jié)果相關(guān)聯(lián)的參數(shù)，是反映測量結(jié)果是否可靠的一個(gè)重要參數(shù)[3]。測量不確定度評定主要有蒙特卡羅仿真法和GUM中的解析法。

蒙特卡羅(Monte-Carlo)仿真法，簡稱MCM方法，其以大數(shù)定律和中心極限定理為理論基礎(chǔ)[4]?；贛CM方法估計(jì)夾角測量不確定度的流程[5]為：設(shè)夾角θ與測點(diǎn)(xi，yi，zi)的函數(shù)關(guān)系為θ=f(xi，yi，zi)，利用MATLAB軟件中的normrnd函數(shù)產(chǎn)生多維符合正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)作為隨機(jī)誤差注入到測點(diǎn)坐標(biāo)上，然后通過函數(shù)模型計(jì)算θ。相同的模擬仿真過程執(zhí)行m次，就可以得到θ的m個(gè)可能的測量值，對θ={θi|i=1，2，…，m}進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，就可以得到θ的測量不確定度。

設(shè)立方鏡相鄰兩個(gè)平面方程分別為

A1x+B1y+z+C1=0

(1)

A2x+B2y+z+C2=0

(2)

立方鏡相鄰面夾θ為

(3)

設(shè)每個(gè)測點(diǎn)的不確定為u0，則

uxi=uyi=uzi=u0

u0主要由測量機(jī)示值誤差引起。所用型號的坐標(biāo)測量機(jī)示值誤差為(2.2+3L/1000)μm，立方鏡測量范圍為20mm，綜合考慮測量重復(fù)性誤差等因素，得到測量機(jī)誤差約為3μm，服從正態(tài)分布，則單點(diǎn)測量不確定度u0=3/3=1μm。

因此，蒙特卡羅仿真時(shí)，利用MATLAB程序產(chǎn)生一組樣本容量為1000000的隨機(jī)數(shù)，且隨機(jī)誤差服從如下分布

σ～N(0，0.001)mm

將立方鏡兩個(gè)表面的25個(gè)測點(diǎn)/面的測點(diǎn)坐標(biāo)作為輸入，通過注入產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)，得到1000000組測點(diǎn)坐標(biāo)，每組包含25個(gè)測點(diǎn)。利用奇異值分解法分別計(jì)算每組測點(diǎn)對應(yīng)的A、B等參數(shù)，再利用數(shù)學(xué)模型計(jì)算夾角θ，對1000000組的夾角θ求實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差，得到夾角θ的不確定度為0.002861°。為了給解析法求解夾角不確定度提供輸入，計(jì)算了兩個(gè)平面方程中的A、B的相關(guān)系數(shù)，分別為-0.0286和0.7632。

為了獲得夾角測量不確定度與每個(gè)平面測量點(diǎn)數(shù)的關(guān)系，利用蒙特卡羅仿真方法計(jì)算了4個(gè)測點(diǎn)/面、9個(gè)測點(diǎn)/面、36個(gè)測點(diǎn)/面、49個(gè)測點(diǎn)/面、64個(gè)測點(diǎn)/面等多種情況下的各個(gè)參數(shù)的不確定度及夾角不確定度，計(jì)算數(shù)據(jù)如表5所示。

表5 不同測點(diǎn)數(shù)量的測量不確定度Tab.5 Measurement uncertainty of different sampling strategies

從表中數(shù)據(jù)可以看出，夾角測量不確定度隨著測點(diǎn)數(shù)量的增加而減小，最小接近0.002 0°。但是其減幅隨著測點(diǎn)數(shù)量增加呈減小趨勢。

5 基于解析法的不確定度評定

解析法是GUM導(dǎo)則[6]提供的不確定度評價(jià)方法，是一種基于不確定度傳播規(guī)律的方法，GUM中對不確定度的解析法評估提供了定義和標(biāo)準(zhǔn)程序。使用解析法評定測量不確定度的基礎(chǔ)是輸出量與輸入量的模型。針對本文的立方鏡夾角測量不確定度計(jì)算，公式(3)即是表達(dá)輸出量-夾角與輸入量-測點(diǎn)坐標(biāo)的模型。由于立方鏡3組相鄰面夾角不確定度評價(jià)方法相同，因此以其中一組夾角(關(guān)聯(lián)的兩個(gè)表面與第4節(jié)計(jì)算所用的表面相同)為例，使用解析法評定夾角不確定度。

根據(jù)GUM中不確定度解析計(jì)算法，對式(3)的每個(gè)分量求偏導(dǎo)，可得夾角θ的不確定度uθ

(4)

式中:uA1、uA2、uB1、uB2——分別為平面方程中參數(shù)的不確定度；rA1B1——參數(shù)A1與B1之間的相關(guān)系數(shù)；rA2B2——參數(shù)A2與B2之間的相關(guān)系數(shù)。

從式(4)中可以看出，計(jì)算夾角θ的不確定度首先要確定夾角計(jì)算數(shù)學(xué)模型中A1、B1、A2、B2各參數(shù)的不確定度、傳遞系數(shù)及參數(shù)之間的相關(guān)系數(shù)。設(shè)測點(diǎn)坐標(biāo)為(xi，yi，zi)，則根據(jù)最小二乘原理，平面方程中的待定參數(shù)A、B、C由式(5)～式(7)確定。通常假設(shè)測點(diǎn)的三維坐標(biāo)xi、yi、zi之間互不相關(guān)，則參數(shù)A、B的不確定度可由式(8)、式(9)求得。

A=n∑zi∑yi∑xi∑xizi∑xiyi∑yi∑yizi∑y2in∑xi∑yi∑xi∑x2i∑xiyi∑yi∑xiyi∑y2i

(5)

B=n∑xi∑zi∑xi∑x2i∑xizi∑yi∑xiyi∑izin∑xi∑yi∑xi∑x2i∑xiyi∑yi∑xiyi∑y2i

(6)

C=∑zi∑xi∑yi∑xizi∑x2i∑xiyi∑yizi∑xiyi∑y2in∑xi∑yi∑xi∑x2i∑xiyi∑yi∑xiyi∑y2i

(7)

(8)

(9)

將兩個(gè)表面的25個(gè)測點(diǎn)/面的測點(diǎn)坐標(biāo)及測量不確定度帶入式(5)～式(9)中，可得

uA1=0.000 037 035

uB1=0.000 037 016

uA2=0.000 392 74

uB2=0.001 744 3

利用以上獲得的A1、B1、A2、B2不確定度數(shù)據(jù)及第4節(jié)獲得的平面方程參數(shù)間的相關(guān)系數(shù)，計(jì)算式(4)，可得uθ=0.002 866°。

可見，與解析法計(jì)算求得的夾角θ的不確定度相差很微小，兩種算法求得的結(jié)果一致性較高。

6 結(jié)束語

立方鏡作為航天器產(chǎn)品的工藝基準(zhǔn)，在航天器產(chǎn)品的部裝和總裝過程中起到了關(guān)鍵作用，裝配前通過提前標(biāo)定目標(biāo)立方鏡和有效載荷的關(guān)系矩陣，即可在產(chǎn)品裝配狀態(tài)下實(shí)現(xiàn)對不可測的有效載荷的間接測量，從而達(dá)到獲得和調(diào)整有效載荷的安裝位置和姿態(tài)的目的。立方鏡和有效載荷的關(guān)系矩陣的標(biāo)定是影響有效載荷裝配精度的主要因素，分析立方鏡自身的測量精度有著重要意義。本文利用立方鏡夾角測量重復(fù)性試驗(yàn)及夾角測量不確定度的解析法和蒙特卡羅方法對立方鏡測量精度進(jìn)行分析，通過立方鏡采樣試驗(yàn)數(shù)據(jù)及理論方法計(jì)算得到的不確定度可以得到以下幾點(diǎn)結(jié)論：

(1)不同采樣點(diǎn)數(shù)的多次試驗(yàn)中可以看出，立方鏡相鄰面夾角極差、實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差與采樣點(diǎn)數(shù)相關(guān)性不大，其數(shù)值不會(huì)隨著采樣點(diǎn)數(shù)的增多而變小，但25點(diǎn)/面試驗(yàn)的3條夾角折線大部分能夠被理論夾角區(qū)間包絡(luò)，且3條夾角折線的平均線均在理論夾角區(qū)間內(nèi);

(2)立方鏡相鄰面夾角的測量不確定度隨著采樣點(diǎn)的數(shù)量增多而減小，但不確定度的降幅隨著采樣點(diǎn)數(shù)的增多呈減小趨勢；

(3)基于蒙特卡羅法和解析法的立方鏡相鄰面夾角測量不確定度評定結(jié)果相差微小，兩種評定夾角測量不確定度的方法一致性較好；

(4)當(dāng)利用本文提及的三坐標(biāo)測量機(jī)對立方鏡平面測量且采點(diǎn)數(shù)達(dá)到64點(diǎn)/面時(shí)，立方鏡相鄰面夾角的測量不確定度約為0.002 0°;

(5)從多次測量試驗(yàn)數(shù)據(jù)和理論分析獲得的夾角測量不確定度可以看出，多次試驗(yàn)測量獲得的立方鏡相鄰面夾角均落在90°±2uθ區(qū)間內(nèi)，試驗(yàn)數(shù)據(jù)和理論分析結(jié)果是一致的。

基于以上數(shù)據(jù)和結(jié)論，針對航天器產(chǎn)品的工藝基準(zhǔn)立方鏡的測量提出以下幾點(diǎn)建議：

(1)應(yīng)首先根據(jù)立方鏡標(biāo)定精度指標(biāo)要求評估使用三坐標(biāo)測量機(jī)標(biāo)定立方鏡的精度是否符合指標(biāo)要求；

(2)應(yīng)當(dāng)根據(jù)立方鏡標(biāo)定精度指標(biāo)要求，合理選擇三坐標(biāo)測量機(jī)和采樣方案；

(3)當(dāng)大密度的立方鏡平面采樣點(diǎn)數(shù)難以實(shí)施時(shí)，應(yīng)評估最少采樣點(diǎn)數(shù)，且立方鏡的采樣應(yīng)重復(fù)多次，以多次采樣的平均值作為立方鏡標(biāo)定輸入條件。