四邊形中位線的研究與開發(fā)

錢志祥

[摘???要]以一道典例為載體對(duì)四邊形中位線進(jìn)行探究與變式，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神，提高學(xué)生舉一反三的能力.

[關(guān)鍵詞]四邊形;中位線;變式

[中圖分類號(hào)]????G633.6????????[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]????A????????[文章編號(hào)]????1674-6058（2019）35-0036-02

三角形的中位線定理在解決幾何問題中有著十分廣泛的應(yīng)用，如果題中出現(xiàn)多個(gè)中點(diǎn)，可考慮使用三角形的中位線定理來解答.與三角形中位線類似，把連接四邊形一組對(duì)邊中點(diǎn)的線段稱為“四邊形中位線”，四邊形中位線沒有什么性質(zhì)，但當(dāng)四邊形另一組對(duì)邊相等或?qū)蔷€相等時(shí)，會(huì)產(chǎn)生一些有趣的結(jié)論.下面就一道典例進(jìn)行探究.

原始模型：另一組對(duì)邊相等的四邊形中位線.

[例1]如圖1，在四邊形ABCD中，AB=CD，M、N、P分別是AD、BC、BD的中點(diǎn)，試判斷△PMN的形狀.

解析：∵在四邊形ABCD中，M、N、P分別是AD、BC、BD的中點(diǎn)，∴PN，PM分別是△CDB與△DAB的中位線，∴PM=?[12]?AB，PN=?[12]?DC，∵AB?=?CD，∴PM?=?PN，∴△PMN是等腰三角形.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于另一組對(duì)邊相等的“四邊形中位線”有：對(duì)角線中點(diǎn)與不相等對(duì)邊兩中點(diǎn)構(gòu)成的三角形是等腰三角形.這個(gè)結(jié)論是由三角形中位線推得的結(jié)論.在四邊形中要利用三角形中位線，需要把四邊形分割成三角形，其基本方法就是連接對(duì)線角.

變式1.將四邊形中位線及相等兩邊延長相交.

[例2]如圖2，在四邊形ABCD中，AB=CD，M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，延長BA、NM、CD分別交于點(diǎn)E、F.求證：∠BEN=∠NFC.

證明：如圖3，連接AC，取AC的中點(diǎn)G，連接NG，MG，∵點(diǎn)M，G，N分別是邊AD，AC，BC的中點(diǎn)，∴MG、NG分別是△ADC與△ABC的中位線，∴NG∥AB，MG∥CF，∴∠BEN?=?∠FNG，∠CFN?=?∠NMG，∵NG?=?[12]?AB，MG?=?[12]?CD，?AB?=?CD，∴NG?=MG，∴∠MNG?=∠GMN，∵∠MNG=∠BEN，∠GMN=∠CFN，∴∠BEN=∠NFC.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于另一組對(duì)邊相等的四邊形中位線有：將四邊形中位線及相等對(duì)邊延長相交而成的銳角相等.

變式2：對(duì)角線相等的四邊形中位線.

[例3]如圖4，在四邊形ADBC中，AB與CD相交于點(diǎn)O，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接EF，分別交CD、AB于點(diǎn)M、N，試判斷△OMN的形狀.

解析：如圖5，取AC的中點(diǎn)P，連接PF，PE，∵點(diǎn)F、P?是AD、AC的中點(diǎn)，∴PF是△ADC的中位線，∴PF=[12CD]，PF∥CD，同理：PE=[12AB]，PE∥AB，∴∠PEF=∠ANF，∠PFE=∠CME，∵AB=CD，∴PE=PF，∴∠PFE=∠PEF，∴∠OMN=∠ONM，∴△OMN為等腰三角形.

點(diǎn)評(píng)：在對(duì)角線相等的四邊形中位線問題中，取一邊中點(diǎn)構(gòu)造三角形中位線，目的是利用已知中相等的兩條線段.另一方面，對(duì)角線相等的四邊形中位線與兩條對(duì)角線圍成的三角形是等腰三角形.

變式3：將另一組對(duì)邊相等的四邊形的相鄰兩邊放在同一直線上.

[例4]如圖6，在△ABC中，D為AC上一點(diǎn)，AB=CD，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，連接NF并延長交BA延長線于點(diǎn)E，G為EF的中點(diǎn)，求證：AG⊥NE.

證明：如圖7，連接BD，取BD的中點(diǎn)為O，連接FO，NO，∵F是AD的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，∴NO是△BCD的中位線，F(xiàn)O是△ABD的中位線，∴NO?=?[12]?CD，F(xiàn)O?=?[12]?AB，NO∥AC，OF∥AB，∵AB=CD，∴NO=FO，∴∠OFN=∠ONF，∵OF∥AB，∴∠OFN=∠AEF，∵ON∥AC，∴∠ONF=∠CFN=∠AFE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∵G為EF的中點(diǎn)，∴AG⊥NE.

點(diǎn)評(píng)：本題是“另一組對(duì)邊相等的四邊形中位線”問題的“變種”，雖然用三角形的基本圖形來遮擋，但仍屬于四邊形的中位線，我們應(yīng)仍按四邊形中位線模式來解答，同時(shí)我們還發(fā)現(xiàn)，將另一組對(duì)邊相等的四邊形，相等的兩邊和四邊形中位線延長可以得到一個(gè)特殊的三角形——等腰三角形.

變式4：賦予另一組對(duì)邊相等的四邊形一個(gè)特殊的角度.

[例5]如圖8，在△ABC中，[AC>AB]，D點(diǎn)在AC上，AB=CD，N、F分別是BC，AD的中點(diǎn)，連接NF并延長，與BA的延長線交于點(diǎn)E，若∠NFC?=?60°，連接ED，判斷△AED的形狀并證明.

解析：如圖9，連接BD，取BD的中點(diǎn)H，連接HF、HN，∵F是AD的中點(diǎn)，∴HF∥AB，HF?=?[12]?AB，同理，HN∥CD，HN=?[12]?CD，∵AB=CD，∴HF=HN，∴∠HNF=∠HFN，∵∠NFC=60°，∴∠HNF=60°，∴∠HNF=∠HFN=60°，∴△NHF是等邊三角形，∴∠3=∠NFC=∠AFE=60°，∴△AEF是等邊三角形.∵AF=FD，∴EF=FD，∴AF=FD?=EF，∴∠AED=90°，∴△AED是直角三角形.

點(diǎn)評(píng)：此題是對(duì)原始模型的又一次擴(kuò)展，賦予原始模型一個(gè)特殊的角度，但不管如何，作輔助線的方法仍沒有變，證明之初的思路與步驟基本相同.在幾何問題中，掌握一些基本圖形及基本圖形的解法與應(yīng)用，對(duì)于解答復(fù)雜幾何問題將有很大的幫助.

總之，變式就是創(chuàng)新.在變式中，教師要抓住“思維訓(xùn)練”這條主線，通過變化問題情境或變化思維角度，提高學(xué)生的應(yīng)變能力，同時(shí)不能為變而變，要遵循學(xué)生的心理認(rèn)知規(guī)律，通過一題多變，發(fā)現(xiàn)其中不變的規(guī)律和發(fā)展的方向.

（特約編輯????安???平）