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    解決函數(shù)客觀壓軸題的良策

    2019-01-07 01:36:28杜言言
    中學教學參考·理科版 2019年12期
    關(guān)鍵詞:壓軸題結(jié)論性質(zhì)

    杜言言

    [摘???要]探討函數(shù)客觀壓軸題的解題策略,以幫助學生領會函數(shù)壓軸題的背景、解法、立意等內(nèi)涵,掌握函數(shù)壓軸題的思想方法與技巧,從而有效突破難點.

    [關(guān)鍵詞]函數(shù);壓軸題;性質(zhì);結(jié)論

    [中圖分類號]????G633.6????????[文獻標識碼]????A????????[文章編號]????1674-6058(2019)35-0023-02

    在高考數(shù)學命題中,函數(shù)壓軸題往往以客觀題的形式出現(xiàn),正因為是壓軸題,其難度不言而喻.數(shù)學解題,必須講究方法.方法得當,事半功倍.?那么解決函數(shù)客觀壓軸題有何良策呢?

    一、善用性質(zhì),合理轉(zhuǎn)化

    善于利用函數(shù)性質(zhì)合理轉(zhuǎn)化是解決函數(shù)問題的關(guān)鍵,例如可將函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為不等關(guān)系,函數(shù)的奇偶性轉(zhuǎn)化為恒等式,而對于函數(shù)的對稱性,可從函數(shù)f?(x)滿足f?(a+x)=?f?(b-x),得到其圖像的對稱軸x=?[a+b2];而從函數(shù)f?(x)滿足f?(a+x)+f?(b-x)=c,可得到其圖像的對稱中心是[a+b2,c2].

    [例1]若函數(shù)y=f?(x)的定義域為R,并且滿足條件[fx+32=-f(x)],又知函數(shù)[y=fx-34]是奇函數(shù),則給出下面四個命題,其中是真命題的序號為___________.

    ①函數(shù)f?(x)是以3為周期的周期函數(shù);?②函數(shù)f?(x)的圖像的對稱中心是[-34,0];③函數(shù)f?(x)在定義域R上是偶函數(shù);④函數(shù)f?(x)在定義域R上單調(diào).

    解析:因為f?(x+3)=f?[x+32+32]?=-[fx+32]?=f?(x),所以函數(shù)f?(x)是周期函數(shù),且它的周期為3,故①正確;因為函數(shù)[fx-34]是奇函數(shù),它的圖像的對稱中心為[0,0],所以f?(x)圖像的對稱中心是[-34?,0],故②正確;由于f?(x)圖像的對稱中心是[-34,0],-[34=-x+-32+x2],故f?[-x=]-f?[-32+x]?,又[f-32+x]=[-f-32+x+32=-fx],所以f?[-x]=f?[x],故③正確;因為f?(x)在R上是偶函數(shù),所以它不可能單調(diào),故④錯誤.于是可得真命題的序號為①②③.

    二、妙用結(jié)論,如虎添翼

    給出最值函數(shù)的定義:若a,b?[∈R],則min[a,b]=[a,a≤bb,ba].對于某些最值問題,巧妙運用性質(zhì)“(1)?min[a,b≤a+b2≤maxa,b]?”和“(2)[mina,b≤]?[ab≤maxa,b](a>0,b>0)”,可讓解題如虎添翼,快速獲解.

    [例2]設max?[a,b]?=?[a,a≥bb,b>a],若向量a,[b],[c]滿足?|[a]|=1,|[b]|=2,[a]·[b]=0,[c]=λ[a]+μ[b]?(λ,μ都是非負數(shù),且[λ]+[μ=1]),則當max?[c·a,c·b]取最小值時,|[c]|=().

    A.?[255]??????????????B.??[223]???????????C.?1 ? D.?[52]

    解析:如圖1,設[OA=a],[OB=b],?則a=?[1,0?,b=0,2],[∴λ≥0,μ≥]0,[λ+μ=1,∴0≤λ≤1].又[c=λa+μb],[∴c·a=(λa+b-λb)·a=λ];[c·b=(λa+b-λb)·b=4-4λ].由[λ=4-4λ],得[λ=45]?.

    [∴maxc·a,c·b]=[λ,45≤λ≤1,4-4λ,0≤λ<45.]令[fλ]?=[λ,45≤λ≤1,4-4λ,0≤λ<45?,]則?[fλ]?[∈?][45,4?].?∴[fλ][min]=?[45],此時?[λ=45],[μ]=?[15],?[∴]c?=[45]a+[15]b=[45,25],∴|?c?|=[452+252]=[255].??選A.

    三、合理拆分,參變分離

    若一個方程或不等式由幾個基本初等函數(shù)組成,當整體處理有困難或難度較大時,可嘗試采用拆分函數(shù)的方法去解決.實際上,參變分離是拆分函數(shù)的一種特殊情況,參變分離較多運用在帶參數(shù)的二次方程或不等式中,而拆分函數(shù)則有更大的運用范圍.

    [例3]已知函數(shù)f?[x]=xlnx?-?ae[x]?(e為自然對數(shù)的底數(shù))有兩個極值點,則實數(shù)a的取值范圍是?????????????.

    解析:由題易知?f?[′][x]=1+lnx?-?ae[x],令f?[′][x]?=0,得a=[1+lnxex],函數(shù)f?(x)有兩個極值點,則需f′(x)=0有兩個實數(shù)根,等價于a=[1+lnxex]有兩個實數(shù)根,等價于直線y=a與y=[1+lnxex]的圖像有兩個交點.令g(x)=[1+lnxex],則g′(x)=[1x-1-lnxex],令h(x)=[1x]-1-ln?x(x>0),得h(x)在(0,+∞)上為減函數(shù),且h(1)=0,所以當x∈(0,1)時,h(x)>0,故g′(x)>0,g(x)為增函數(shù);當x∈(1,+∞)時,h(x)<0,故g′(x)<0,g(x)為減函數(shù),所以????g(x)max=g(1)=?[1e],又當x?→?+∞時,???g(x)→0,所以g(x)的圖像如圖2所示,故0?

    評注:將原函數(shù)拆分為兩個函數(shù),一靜一動,在動態(tài)變化中,可找到參數(shù)的取值范圍,這種解法離不開函數(shù)圖像.

    四、構(gòu)造函數(shù),修橋筑路

    構(gòu)造函數(shù)是數(shù)學的一種重要思想方法,它體現(xiàn)了數(shù)學的發(fā)現(xiàn)、類比、化歸、猜想、實驗和歸納等思想.構(gòu)造函數(shù)的主要步驟:

    (1)分析:分析已知條件,聯(lián)想函數(shù)模型;(2)構(gòu)造:構(gòu)造輔助函數(shù),轉(zhuǎn)化問題本質(zhì);(3)回歸:解析所構(gòu)函數(shù),回歸所求問題.在客觀題中,主要用于比較兩式大小和解不等式.

    [例4]已知定義在R上的可導函數(shù)f?[x]的導函數(shù)為[f???′x],滿足[f???′x]?

    解析:∵f?(x+2)為偶函數(shù),∴f?(x+2)的圖像關(guān)于x=0對稱,∴[fx]的圖像關(guān)于x=2對稱,∴f?(4)=?f?(0)=1.

    設g?[x]?=?[fxex](x∈R),則[g′x]?=?[f?′xex-fxexex2=f?′x-fxex],又∵[f?′x<][fx],∴[g′x]?

    ∵[fx<][ex][?]?g?[x]?=?[fxex]?<1,而g[0]?=?[f0e0]?=1,

    ∴[fx<][ex][?]g?[x]0.

    所以原不等式的解集是[x|x>0].

    評注:在解題中若遇到有關(guān)不等式、方程及最值之類問題,可設法建立起目標函數(shù),并確定變量的限制條件,用函數(shù)的觀點加以分析,從而找到科學的解題途徑.

    [??參???考???文???獻??]

    [1]??顧德成,徐小琴.一道高考函數(shù)壓軸題的多角度分析[J].數(shù)學教學通訊,2019(9):80-82.

    [2]??石禮標.一類高考壓軸題的本質(zhì)探源:高觀點探究函數(shù)不等式問題[J].高中數(shù)學教與學,2018(9):36-38.

    (特約編輯???安???平)

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