解決函數(shù)客觀壓軸題的良策

杜言言

[摘???要]探討函數(shù)客觀壓軸題的解題策略，以幫助學生領會函數(shù)壓軸題的背景、解法、立意等內(nèi)涵，掌握函數(shù)壓軸題的思想方法與技巧，從而有效突破難點.

[關(guān)鍵詞]函數(shù);壓軸題;性質(zhì);結(jié)論

[中圖分類號]????G633.6????????[文獻標識碼]????A????????[文章編號]????1674-6058（2019）35-0023-02

在高考數(shù)學命題中，函數(shù)壓軸題往往以客觀題的形式出現(xiàn)，正因為是壓軸題，其難度不言而喻.數(shù)學解題，必須講究方法.方法得當，事半功倍.?那么解決函數(shù)客觀壓軸題有何良策呢？

一、善用性質(zhì)，合理轉(zhuǎn)化

善于利用函數(shù)性質(zhì)合理轉(zhuǎn)化是解決函數(shù)問題的關(guān)鍵，例如可將函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為不等關(guān)系，函數(shù)的奇偶性轉(zhuǎn)化為恒等式，而對于函數(shù)的對稱性，可從函數(shù)f?（x）滿足f?（a+x）=?f?（b-x），得到其圖像的對稱軸x=?[a+b2];而從函數(shù)f?（x）滿足f?（a+x）+f?（b-x）=c，可得到其圖像的對稱中心是[a+b2，c2].

[例1]若函數(shù)y=f?（x）的定義域為R，并且滿足條件[fx+32=-f（x）]，又知函數(shù)[y=fx-34]是奇函數(shù)，則給出下面四個命題，其中是真命題的序號為___________.

①函數(shù)f?（x）是以3為周期的周期函數(shù);?②函數(shù)f?（x）的圖像的對稱中心是[-34，0];③函數(shù)f?（x）在定義域R上是偶函數(shù);④函數(shù)f?（x）在定義域R上單調(diào).

解析：因為f?（x+3）=f?[x+32+32]?=-[fx+32]?=f?（x），所以函數(shù)f?（x）是周期函數(shù)，且它的周期為3，故①正確;因為函數(shù)[fx-34]是奇函數(shù)，它的圖像的對稱中心為[0，0]，所以f?（x）圖像的對稱中心是[-34?，0]，故②正確;由于f?（x）圖像的對稱中心是[-34，0]，-[34=-x+-32+x2]，故f?[-x=]-f?[-32+x]?，又[f-32+x]=[-f-32+x+32=-fx]，所以f?[-x]=f?[x]，故③正確;因為f?（x）在R上是偶函數(shù)，所以它不可能單調(diào)，故④錯誤.于是可得真命題的序號為①②③.

二、妙用結(jié)論，如虎添翼

給出最值函數(shù)的定義：若a，b?[∈R]，則min[a，b]=[a，a≤bb，ba].對于某些最值問題，巧妙運用性質(zhì)“（1）?min[a，b≤a+b2≤maxa，b]?”和“（2）[mina，b≤]?[ab≤maxa，b]（a>0，b>0）”，可讓解題如虎添翼，快速獲解.

[例2]設max?[a，b]?=?[a，a≥bb，b>a]，若向量a，[b]，[c]滿足?|[a]|=1，|[b]|=2，[a]·[b]=0，[c]=λ[a]+μ[b]?（λ，μ都是非負數(shù)，且[λ]+[μ=1]），則當max?[c·a，c·b]取最小值時，|[c]|=（）.

A.?[255]??????????????B.??[223]???????????C.?1 ? D.?[52]

解析：如圖1，設[OA=a]，[OB=b]，?則a=?[1，0?，b=0，2]，[∴λ≥0，μ≥]0，[λ+μ=1，∴0≤λ≤1].又[c=λa+μb]，[∴c·a=（λa+b-λb）·a=λ];[c·b=（λa+b-λb）·b=4-4λ].由[λ=4-4λ]，得[λ=45]?.

[∴maxc·a，c·b]=[λ，45≤λ≤1，4-4λ，0≤λ<45.]令[fλ]?=[λ，45≤λ≤1，4-4λ，0≤λ<45?，]則?[fλ]?[∈?][45，4?].?∴[fλ][min]=?[45]，此時?[λ=45]，[μ]=?[15]，?[∴]c?=[45]a+[15]b=[45，25]，∴|?c?|=[452+252]=[255].??選A.

三、合理拆分，參變分離

若一個方程或不等式由幾個基本初等函數(shù)組成，當整體處理有困難或難度較大時，可嘗試采用拆分函數(shù)的方法去解決.實際上，參變分離是拆分函數(shù)的一種特殊情況，參變分離較多運用在帶參數(shù)的二次方程或不等式中，而拆分函數(shù)則有更大的運用范圍.

[例3]已知函數(shù)f?[x]=xlnx?-?ae[x]?（e為自然對數(shù)的底數(shù)）有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是?????????????.

解析：由題易知?f?[′][x]=1+lnx?-?ae[x]，令f?[′][x]?=0，得a=[1+lnxex]，函數(shù)f?（x）有兩個極值點，則需f′（x）=0有兩個實數(shù)根，等價于a=[1+lnxex]有兩個實數(shù)根，等價于直線y=a與y=[1+lnxex]的圖像有兩個交點.令g（x）=[1+lnxex]，則g′（x）=[1x-1-lnxex]，令h（x）=[1x]-1-ln?x（x>0），得h（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，且h（1）=0，所以當x∈（0，1）時，h（x）>0，故g′（x）>0，g（x）為增函數(shù);當x∈（1，+∞）時，h（x）<0，故g′（x）<0，g（x）為減函數(shù)，所以????g（x）max=g（1）=?[1e]，又當x?→?+∞時，???g（x）→0，所以g（x）的圖像如圖2所示，故0?

評注：將原函數(shù)拆分為兩個函數(shù)，一靜一動，在動態(tài)變化中，可找到參數(shù)的取值范圍，這種解法離不開函數(shù)圖像.

四、構(gòu)造函數(shù)，修橋筑路

構(gòu)造函數(shù)是數(shù)學的一種重要思想方法，它體現(xiàn)了數(shù)學的發(fā)現(xiàn)、類比、化歸、猜想、實驗和歸納等思想.構(gòu)造函數(shù)的主要步驟：

（1）分析：分析已知條件，聯(lián)想函數(shù)模型;（2）構(gòu)造：構(gòu)造輔助函數(shù)，轉(zhuǎn)化問題本質(zhì);（3）回歸：解析所構(gòu)函數(shù)，回歸所求問題.在客觀題中，主要用于比較兩式大小和解不等式.

[例4]已知定義在R上的可導函數(shù)f?[x]的導函數(shù)為[f???′x]，滿足[f???′x]?

解析：∵f?（x+2）為偶函數(shù)，∴f?（x+2）的圖像關(guān)于x=0對稱，∴[fx]的圖像關(guān)于x=2對稱，∴f?（4）=?f?（0）=1.

設g?[x]?=?[fxex]（x∈R），則[g′x]?=?[f?′xex-fxexex2=f?′x-fxex]，又∵[f?′x<][fx]，∴[g′x]?

∵[fx<][ex][？]?g?[x]?=?[fxex]?<1，而g[0]?=?[f0e0]?=1，

∴[fx<][ex][？]g?[x]0.

所以原不等式的解集是[x|x>0].

評注：在解題中若遇到有關(guān)不等式、方程及最值之類問題，可設法建立起目標函數(shù)，并確定變量的限制條件，用函數(shù)的觀點加以分析，從而找到科學的解題途徑.

[??參???考???文???獻??]

[1]??顧德成，徐小琴.一道高考函數(shù)壓軸題的多角度分析[J].數(shù)學教學通訊，2019（9）：80-82.

[2]??石禮標.一類高考壓軸題的本質(zhì)探源：高觀點探究函數(shù)不等式問題[J].高中數(shù)學教與學，2018（9）：36-38.

（特約編輯???安???平）