也談無(wú)理方程的解法

盧永

[摘???要]無(wú)理方程的解法主要有觀察法、直接平方法、挽元法、配方法等.抓住方程特點(diǎn)，實(shí)施恒等變形是解無(wú)理方程的關(guān)鍵.探討無(wú)理方程的解法，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高他們的解題能力.

[關(guān)鍵詞]無(wú)理方程;解法;探討

[中圖分類號(hào)]????G633.6????????[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]????A????????[文章編號(hào)]????1674-6058（2019）35-0014-02

我們知道，根號(hào)下含有未知數(shù)的方程稱為無(wú)理方程.雖然，在初中階段，對(duì)無(wú)理方程的要求不高，只要求學(xué)生掌握含有一個(gè)根號(hào)的無(wú)理方程的解法.但在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常會(huì)遇到一類較為復(fù)雜的無(wú)理方程.因此，掌握求解無(wú)理方程的一些技巧很有必要.教師傳授學(xué)生無(wú)理方程的解法，不僅能拓寬他們的知識(shí)面，更能激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，提高他們的解題能力.那么，無(wú)理方程有哪些解法呢？

一、觀察法

數(shù)學(xué)解題離不開(kāi)觀察，善于觀察，才能獲得最優(yōu)的解法.無(wú)理方程的解法也是如此，對(duì)于某些無(wú)理方程，若按部就班地進(jìn)行求解，往往會(huì)寸步難行.但若改變策略，從觀察方程中的未知數(shù)的取值范圍入手，則可直接判定方程無(wú)解.

[例1]解方程?[4x-9-4-x=1].

解析：要使[x-9]有意義，必須x≥9;要使[4-x]有意義，必須x≤4.顯然不存在同時(shí)滿足這兩個(gè)條件的[x]值.故此方程無(wú)解.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于帶多個(gè)根號(hào)的無(wú)理方程，可以通過(guò)求未知數(shù)的取值范圍來(lái)縮小解的范圍，這對(duì)無(wú)理方程無(wú)解的判斷，特別有效.

二、直接平方法

通過(guò)將原方程合理移項(xiàng)，直接兩邊平方，將無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為有理方程來(lái)解，這是解無(wú)理方程最通用的方法.但必須注意根的檢驗(yàn)，以排除增根.兩邊平方可能擴(kuò)大未知數(shù)的取值范圍.

[例2]解方程?[22x-4-x+5=7].

解析：移項(xiàng)得[22x-4=7+x+5]，兩邊平方并整理得[x-10=2x+5]?，再兩邊平方并整理得[x2-24x+80=0]?.解得[x=20]?或[x=4].經(jīng)檢驗(yàn)，[x=4]是增根.所以，原方程的解為[x=20].

點(diǎn)評(píng)：含一個(gè)根號(hào)的無(wú)理方程，一般可通過(guò)一次兩邊平方將其轉(zhuǎn)化成整式方程.含有兩個(gè)根式的無(wú)理方程，一般需通過(guò)兩次平方才能轉(zhuǎn)化成整式方程.但最后都必須檢驗(yàn)所得的根是否為增根.

三、換元法

當(dāng)無(wú)理方程中有一部分含有未知數(shù)的項(xiàng)相同時(shí)，可將這部分看成一個(gè)整體，利用換元法將方程轉(zhuǎn)化為有理方程來(lái)解.

[例3]解方程?[x+2x-1+x-1x+2=103]?.

解析：因?yàn)閇x+2x-1]與[x-1x+2]互為倒數(shù)，故設(shè)[t=x+2x-1]，則原方程為[t+1t=103]（[t>0]）.解得[t=3]或[t=13]?，所以[x+2x-1=3]或者[x+2x-1]=[13]?.

解得[x=118]?或者[x=-198]?.

經(jīng)檢驗(yàn)[x=-198]是增根，所以原方程的解為[x=118].

點(diǎn)評(píng)：換元法是解無(wú)理方程的主要解法之一，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)解題的整體思想，可以起到化復(fù)雜為簡(jiǎn)單的作用.但利用換元法一定要注意新元的范圍.如本例中[t>0]?.

四、利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)

當(dāng)無(wú)理方程中含有多個(gè)根式時(shí)，有時(shí)可以利用根式的非負(fù)性輕松獲解.在初中數(shù)學(xué)中，二次根式和完全平方式是最常見(jiàn)的非負(fù)代數(shù)式，它們往往是解無(wú)理方程的“突破口”.

[例4]解方程[x+y-1+z-2=12（x+y+z）]?.

解析：?三個(gè)未知量、一個(gè)方程，要有確定的解，則方程的結(jié)構(gòu)必然是極其特殊的.將原方程變形為[x+y+z-2x-2y-1-2z-2=0]，配方得[（x-1）2+（y-1-1）2+（z-2-1）2=0]，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得[x=1，y-1=1，z-2=1]，所以[x=1，y=2，z=3].經(jīng)檢驗(yàn)，[x=1，y=2，z=3]是原方程的根，所以原方程的根為[x=1，y=2，z=3].

點(diǎn)評(píng)：求解這類問(wèn)題關(guān)鍵是配方.配方具有一定的隱蔽性，在求解時(shí)，需仔細(xì)觀察方程的結(jié)構(gòu)特征，挖掘方程中含有的配方信息.

五、利用比例性質(zhì)

有些無(wú)理方程給出的形式比較特別，當(dāng)無(wú)理方程以比例式的形式出現(xiàn)時(shí)，可考慮是否可以利用比例的有關(guān)性質(zhì)加以轉(zhuǎn)化.

[例5]解方程[x+2a-x-2ax-2a+x+2a=x2a]?.

解析：對(duì)于形式為比例式[AB=CD]的方程，如果方程的一邊或兩邊的分式的分子與分母只有一些項(xiàng)的符號(hào)不同，則可用合分比定理化簡(jiǎn)方程.根據(jù)合分比定理得[x+2a-x-2a=x+2ax-2a]，兩邊平方得[x+2ax-2a=x2+4ax+4a2x2-4ax+4a2]，再用合分比定理得[x2a=x2+4a24ax]，化簡(jiǎn)得[x2=4a2].解得[x=±2a].經(jīng)檢驗(yàn)，[x=±2a]是原方程的根，所以原方程的解為[x=±2a].

點(diǎn)評(píng)：比例性質(zhì)主要包含合比定理和分比定理.運(yùn)用定理的目的是盡量減少方程中的根號(hào).對(duì)于以比例式的形式給出的無(wú)理方程，利用比例性質(zhì)來(lái)解往往事半功倍.

六、配方法

配方法作為數(shù)學(xué)解題的最基本的方法之一，有著廣泛的應(yīng)用.配方的目的是整體換元.因此，它往往與換元法“相伴而行”，它們的目的一致，都是將原方程簡(jiǎn)化.

[例6]解方程?[x+x+2+2x2+2x=4-2x].

解析：注意到[x？x+2=x2+2x]，于是原方程可化為[（x+2x2+2x+x+2）+（x+x+2）-6=0].即[（x+x+2）2+（x+x+2）-6=0]，

所以[（x+x+2-2）（x+x+2+3）=0].因?yàn)閇x+x+2+3>0]，所以[x+x+2-2=0]，移項(xiàng)得[x-2=-x+2]，解得[x=14]，經(jīng)檢驗(yàn)[x=14]是原方程的根，所以原方程的根為[x=14].

點(diǎn)評(píng)：本題配方的目的是將原無(wú)理方程變形成兩個(gè)無(wú)理式的乘積形式.這類問(wèn)題的變形，對(duì)學(xué)生的能力要求較高，要求學(xué)生學(xué)會(huì)合理拆分，合理搭配.

七、多次換元法

對(duì)于含有多個(gè)根式的無(wú)理方程，當(dāng)常規(guī)方法無(wú)法求解時(shí)，一般可采用特殊的方法.如可根據(jù)根號(hào)下的多項(xiàng)式之間的關(guān)系，采用多次換元法，從而將根號(hào)去掉，化為有理方程.

[例7]解方程[2x2-1+x2-3x-2=2x2+2x+3]?[+x2-x+2].

解析：我們注意到[（2x2-1）-（x2-3x+2）=（2x2+2x+3）-（x2-x+2）]，則可設(shè)

[u=2x2-1，v=x2-3x-2]，

[w=2x2+2x+3，t=x2-x+2].

則[u2-v2=w2-t2]，?① [u+v=w+t].??②

因?yàn)閇u+v=w+t=0]無(wú)解，

①÷②得[u-v=w-t].?③

②+③得[u=w]，即[2x2-1=2x2+2x+3].

解得[x=-2].經(jīng)檢驗(yàn)，[x=-2]是原方程的根，所以原方程的根為[x=-2].

點(diǎn)評(píng)：遇到這類問(wèn)題時(shí)，先別急著下筆，可細(xì)心觀察各個(gè)根號(hào)里面的多項(xiàng)式之間的內(nèi)在聯(lián)系，然后再“對(duì)癥下藥”.

從以上幾例無(wú)理方程的解法可以看出，抓住方程特點(diǎn)，實(shí)施恒等變形是解題的關(guān)鍵.至于選擇何種方法，應(yīng)具體問(wèn)題具體分析，選擇合適的方法才最有效.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）