基于擴頻的復合混沌優(yōu)選序列生成方法

田明浩,徐曉丹,劉 芳,馮永新

(沈陽理工大學 通信與網(wǎng)絡工程中心,沈陽 110159)

目前,混沌非線性動力學系統(tǒng)因具有類似于白噪聲的統(tǒng)計特性、確定性、類隨機性等特點,并且易產(chǎn)生、易復制、對初始值極端敏感而被廣泛應用于擴頻通信領域[1]。隨著對混沌序列的深入研究,傳統(tǒng)一維混沌偽隨機序列存在一定的局限性,序列生成方式過于簡單,隨機性差,復雜性低,容易被敵方破解[2]。因此,如何改善混沌偽隨機序列性能成為近年來該研究領域的焦點[3]。鑒于此,本文提出一種復合混沌優(yōu)選序列,該序列通過用kent映射輸出控制chebyshev序列的系統(tǒng)參數(shù),分段logistic映射輸出來控制chebyshev映射的初值,chebyshev映射輸出再反控分段logistic映射初值,最后將chebyshev和kent序列進行異或得到復合混沌序列,再選取合適的初值及分形參數(shù)得到復合混沌優(yōu)選序列。

通過分析發(fā)現(xiàn)該序列提高了序列的復雜度,并且具有良好的平衡性、隨機性和相關性。

1 傳統(tǒng)一維混沌映射

目前,由于一維混沌映射其產(chǎn)生方式簡單,生成序列眾多而被廣泛應用于擴頻通信中,現(xiàn)在比較常見的、統(tǒng)計性能較好的一維混沌映射主要有以下3種,其表達式以及初值和系統(tǒng)參數(shù)的取值范圍如下。

(1)a階chebyshev映射的表達式為

Xn+1=cos(acos-1Xn),-1≤Xn≤1

(1)

式中：初值Xn的取值范圍為[-1,1]；Xn+1是系統(tǒng)輸出；系統(tǒng)參數(shù)a取值范圍是a≥2時,該混沌系統(tǒng)處于混沌狀態(tài),當a≥4時該系統(tǒng)達到滿映射狀態(tài)[4]。

(2)Kent映射的表達式為

(2)

式中：初值Xn的取值范圍為(0,1)；Xn+1是系統(tǒng)輸出；系統(tǒng)參數(shù)a取值范圍在(0,1)時,該混沌系統(tǒng)處于混沌狀態(tài),根據(jù)文獻[4-5]可知,在a=0.4997時的混沌狀態(tài)最好[4-5]。

(3)分段logistic映射的表達式為

(3)

式中：初值Xn的取值范圍為[-1,1]；Xn+1是系統(tǒng)輸出；系統(tǒng)參數(shù)a取值范圍在(0,2]時,該混沌系統(tǒng)處于混沌狀態(tài),經(jīng)過實驗可得,該系統(tǒng)在a∈(1.8,2]時都可以達到滿映射的狀態(tài)[6]。

2 復合混沌優(yōu)選序列產(chǎn)生方法

基于上述三種一維混沌映射作為擴頻偽隨機序列數(shù)量眾多,統(tǒng)計特性較好,但其實現(xiàn)方式單一,復雜度低,隨機性較差的特點,提出了一種復合混沌優(yōu)選序列,其產(chǎn)生原理是:將chebyshev映射和分段logistic映射進行初值互控,并采用kent映射對chebyshev映射進行參數(shù)控制,再將二者的輸出進行異或生成復合混沌序列,經(jīng)過實驗,選取合適的初值以及分形參數(shù),得到復合優(yōu)選混沌序列。其原理框圖如圖1所示。

由圖1看出,該混沌系統(tǒng)可以看作由三大部分組成,第一部分為初值控制模塊,第二部分為參數(shù)控制模塊,第三部分為疊加模塊?；?chebyshev映射的初值和分形參數(shù)的取值范圍都比較廣,所以選用其作為中心序列,其初值和分形參數(shù)分別由分段logistic映射和kent映射控制,這里初值和參數(shù)是根據(jù)查閱文獻和大量實驗篩選得出的。

在第一部分，中由于分段logistic映射的初值取值范圍和chebyshev映射的初值范圍相同,所以選用分段logistic映射的輸出來控制chebyshev映射的初值,為增加序列的不可預測性,用chebyshev映射的輸出反控制分段logistic映射的初值,給定分段logistic映射初值為0.76,系統(tǒng)參數(shù)為2。

第二部分中采用均勻性較好的kent映射控制chebyshev映射的分形參數(shù),來增加參數(shù)的多變性,給定kent映射的初值為0.76,系統(tǒng)參數(shù)為0.4997,chebyshev映射的系統(tǒng)參數(shù)設置為ac=4+4f1。

第三部分中將chebyshev映射的輸出與kent映射的輸出進行二值化后異或,既產(chǎn)生了復合混沌優(yōu)選序列。

圖1 復合混沌優(yōu)選序列原理框圖

3 復合混沌優(yōu)選序列的性能分析

通信系統(tǒng)中偽隨機序列性能的好壞會影響通信系統(tǒng)的性能[7-8],而偽隨機序列的性能主要由復雜度、平衡性、游程特性、相關性和隨機性這幾個特性來體現(xiàn),其中,平衡性、游程特性和相關性可以歸為PN序列(Pseudo-noise Sequence)檢驗,所以復合混沌優(yōu)選序列作為混沌偽隨機序列,也要分析這些特性。

在理論分析的基礎上,基于Matlab 2015a 仿真軟件,使用Matlab語言對序列的復雜性、PN序列檢驗和隨機性等方面進行分析驗證,這里的PN序列檢驗指的是對序列的平衡性、游程特性和相關性進行檢驗。

3.1 復雜性分析

序列的復雜性會影響序列的隨機性和不確定性；復雜度越高,隨機性和不確定性越好。序列的復雜性可用近似熵(approximate entropy，ApEn)來衡量[9-11],不同序列長度對序列復雜性的影響以及不同混沌序列的復雜性情況如表1所示。

表1 序列復雜性

由表1中可以看出,隨著混沌序列長度的增加,混沌序列的復雜度增加,并且同一序列長度下混合混沌序列的ApEn值最大,即它的復雜度最高,表現(xiàn)出了更好的隨機性和不確定性。

3.2 PN序列檢驗

PN序列檢驗就是檢驗混沌序列作為偽隨機序列是否滿足Golomb提出的三點隨機性公設,分別是平衡性、游程特性和相關性[12]。

因為序列的平衡性和載波抑制度有密切聯(lián)系,平衡性差的序列會導致載波泄露,易使信息暴露、丟失、被截獲、破解等,所以一般要求混沌偽隨機序列的平衡度E<0.02[13]?；煦缧蛄性诔踔捣秶鷥?nèi)平衡度的平均值如表2所示。

表2 平衡度均值

由表2可以看出,復合混沌序列有均衡的0-1比,并且滿足E<0.02的要求,滿足Golomb偽隨機假設的第一條件。

游程特性是表征碼序列隨機性的一個重要方面,表3是混沌序列的游程統(tǒng)計結果,混沌序列長度L設為3000。

表3 序列游程特性

由表3可以看出,序列長度為L的“0”串和“1”串個數(shù)大致相等,且占整個二進制序列總游程個數(shù)的1/2L,滿足Golomb偽隨機假設的第二條件。

因混沌偽隨機序列的相關性對通信系統(tǒng)非常重要,要分析的因素較多,所以下面要對混沌序列的相關性展開具體的分析。

混沌序列作為偽隨機序列,要有良好的相關性能,自相關值需近似于δ函數(shù),以利于擴頻碼的檢測與同步；而互相關值需接近于0[13],以有效地抑制不同擴頻碼之間的干擾,這對通信中的多址應用十分重要[14]。理論中無限長度的混沌序列能滿足上述條件,但實際上混沌序列使用時都需要截短處理,這樣會影響混沌序列的相關性。除此之外,混沌序列的初值也會影響序列的相關性,經(jīng)過大量測試后發(fā)現(xiàn)復合混沌序列在初值為0.76時的相關性能較好,所以以此初值產(chǎn)生的混沌序列來進行測試。

(1)自相關性

設混沌序列S的長度為N,則自相關函數(shù)為[15]

(4)

式中:k為序列點;n為偏移點數(shù);R(n)為自相關峰值。

自相關峰值最大值[15]

(5)

式中Rmax為自相關峰值最大值。

自相關旁瓣最大值[15]

(6)

式中Rmax1為自相關旁瓣最大值。

圖2為復合混沌序列和幾種一維混沌序列在不同序列長度下的自相關峰值比的對比圖。

圖2 序列長度對自相關峰值比的影響圖

由圖2可看出,幾種混沌序列的自相關峰值比都隨著序列長度的增加而逐漸增大；在較短的長度下,幾種混沌序列的自相關峰值比相差較小；隨著長度的增加,漸漸出現(xiàn)差異,并且,復合混沌序列的自相關峰值比逐漸高于其它混沌序列,表現(xiàn)出良好的自相關性。

(2)互相關性

設混沌序列S1和S2的長度為N,則互相關函數(shù)為[15]

(7)

式中：k為序列點；n為偏移點數(shù)；C(n)為互相關峰值。

互相關峰值最大值為[15]

(8)

式中Cmax為互相關峰值最大值。

互相關均方值為[15]

(9)

式中σc為互相關均方值。

圖3、圖4分別為復合混沌序列和幾種一維混沌序列的互相關最大峰值及均方值在不同序列長度下的變化曲線圖。

圖3 序列長度對互相關最大峰值的影響圖

圖4 序列長度對互相關均方值的影響圖

從圖3的整體趨勢可看出,隨著序列長度的增加,這幾種混沌序列的互相關最大值都越來越接近于零,復合混沌優(yōu)選序列的互相關最大值與其它序列相差不大,且大部分處于其它序列下方。

從圖4可看出,這幾種序列的互相關均方值基本相同,并且整體趨勢都是隨著序列長度的增加越來越接近于零。

這兩個圖說明復合混沌優(yōu)選序列同樣具有良好的互相關性。

結合以上分析,復合混沌優(yōu)選序列具有類似δ-like的性質(zhì),其自相關函數(shù)有尖銳的相關峰,互相關峰值接近于零,說明復合混沌序列的相關性能良好,滿足Golomb偽隨機假設的第三條件[15]。

3.3 隨機性分析

除上述性能檢驗之外,作為偽隨機序列,還需要檢驗其隨機性。在通信系統(tǒng)中,序列隨機性能跟系統(tǒng)的信息安全性能息息相關,隨機性能良好的偽隨機序列,系統(tǒng)的信息安全性也好。因此對混合混沌序列也要進行隨機性分析[16]。

檢驗復合混沌序列的隨機性能常用的是NIST測試[17],由確定系統(tǒng)和算法產(chǎn)生的序列,最主要的測試包括其頻數(shù)測試、游程測試、譜測試和近似熵測試[18]。按照NIST測試的要求,為保證測試結果的可靠性和準確性,每個被測序列的長度應為103～107。因此,選取每個序列長度為106[19]。

表4是混沌序列的隨機性測試結果.

由表4可以看出,分段logistic映射和kent映射部分測試項沒有通過；chebyshev映射雖然通過全部測試,但測試值較低；而復合混沌映射不僅完全通過了這幾項測試,并且每一項測試值都高于其它混沌序列,說明復合混沌映射的隨機性更好。

表4 隨機性能測試結果

4 結束語

針對單一的一維混沌偽隨機序列實現(xiàn)簡單、復雜度低、隨機性差、在擴頻通信中容易被反向破解的問題,本文提出用多種一維混沌映射相互控制并進行異或疊加的方法,構成一個復合混沌優(yōu)選序列。對比于單一的混沌序列,這種多映射的參數(shù)互控的復合混沌優(yōu)選序列不僅明顯提高了序列的復雜度和隨機性,而且也滿足PN序列檢驗的要求,能夠作為偽隨機序列應用到擴頻通信中。