數(shù)學(xué)史融入函數(shù)概念教學(xué)的探索

閆麗麗

函數(shù)的概念是高中階段數(shù)學(xué)的核心概念，函數(shù)的思想和方法貫穿高中數(shù)學(xué)的始終.然而，函數(shù)概念因其高度概括性、符號(hào)的抽象性、表達(dá)形式的多樣性、應(yīng)用對(duì)象的多變性和思維水平的高要求成為高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，也是高一新生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中需要跨越的第一個(gè)障礙.這就對(duì)教師提出了更高的要求.只有深入地理解教學(xué)內(nèi)容，全面體會(huì)教材的編寫意圖，針對(duì)學(xué)生的認(rèn)知水平和思維發(fā)展規(guī)律，設(shè)計(jì)合理的教學(xué)情境，才能實(shí)現(xiàn)有效教學(xué).在此，筆者將曾經(jīng)的迷惑和探索的感悟與大家分享.

一、函數(shù)概念的發(fā)展歷程之“迷”

每個(gè)數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生都有它現(xiàn)實(shí)或理論發(fā)展的需要，函數(shù)概念也是這樣.致力于運(yùn)動(dòng)研究的科學(xué)家們，在天體位置、航海測(cè)量、炮彈射程等問題中，探究?jī)蓚€(gè)變量之間的關(guān)系，這正是函數(shù)產(chǎn)生和發(fā)展的背景.1692年德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲首次使用“function”一詞，用函數(shù)表示隨曲線的變化而改變的幾何量，如坐標(biāo)、切線等;1718年瑞士數(shù)學(xué)家約翰·貝努利在萊布尼茲函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，強(qiáng)調(diào)函數(shù)要用公式表示;1755年瑞士數(shù)學(xué)家歐拉將函數(shù)定義為“如果某些變量，一個(gè)變量的函數(shù)是由這個(gè)變量和一些數(shù)即常數(shù)以任何方式組成的解析表達(dá)式”，這是解析式函數(shù)，有很大的局限.突破這一局限的是杰出的德國數(shù)學(xué)家狄利克雷.1837年狄利克雷提出：“如果對(duì)x的每一個(gè)確定值，y總有一個(gè)確定的值與之對(duì)應(yīng)，那么y是x的函數(shù).”這個(gè)定義較清楚地說明了函數(shù)的內(nèi)涵，只要有一個(gè)法則，使得取值范圍內(nèi)的每一個(gè)x值，有一個(gè)確定的y和它對(duì)應(yīng)就行，不管這個(gè)法則是公式、圖像、表格還是其他形式.這與初中所學(xué)的函數(shù)定義已經(jīng)接近.十九世紀(jì)末，隨著集合概念的出現(xiàn)，函數(shù)概念進(jìn)而用更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)募虾蛯?duì)應(yīng)語言表達(dá)，形成了高中學(xué)習(xí)的函數(shù)概念.綜上所述，函數(shù)概念的發(fā)展與生產(chǎn)、生活以及科學(xué)技術(shù)的實(shí)際需要緊密相關(guān)，而且隨著研究的深入，函數(shù)概念不斷得到嚴(yán)謹(jǐn)化、精確化的表達(dá)，科技在進(jìn)步，函數(shù)概念還在繼續(xù)發(fā)展.

二、函數(shù)概念的理解之“迷”

學(xué)生初學(xué)時(shí)會(huì)有疑惑：為什么初中和高中所學(xué)的函數(shù)概念不一樣呢？教師一般會(huì)回答：只是看問題的角度不同，初中階段的概念是運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)下的變量間的依賴關(guān)系，而高中階段的概念是集合觀點(diǎn)下的對(duì)應(yīng)關(guān)系，它們的實(shí)質(zhì)是一樣的.

筆者對(duì)函數(shù)概念有了更深層地理解，是在學(xué)習(xí)了A.Sfard提出的數(shù)學(xué)概念的二重性理論之后.對(duì)許多數(shù)學(xué)概念，若將其看作是一個(gè)靜態(tài)的整體性的實(shí)體，那么它就具備對(duì)象的特點(diǎn)，若是將其看作是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算或變換，則體現(xiàn)了過程的特點(diǎn).A.Sfard認(rèn)為數(shù)學(xué)概念具有兩個(gè)側(cè)面，從過程角度看是一種操作性概念，從對(duì)象角度看是一種結(jié)構(gòu)性概念，二者在概念形成過程中是先操作后結(jié)構(gòu)的，這是符合人類認(rèn)知規(guī)律的，而最終在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中是共存的，在不同的時(shí)機(jī)發(fā)揮不同的作用.函數(shù)概念正是這樣具備過程與操作性和對(duì)象與結(jié)構(gòu)性雙重特征的概念，從過程側(cè)面理解函數(shù)是從一個(gè)變量得到另一個(gè)變量的方法，從一個(gè)集合到另一個(gè)集合的對(duì)應(yīng)，從對(duì)象側(cè)面理解函數(shù)可以是有序數(shù)對(duì)的集合，兩個(gè)數(shù)集間的關(guān)系.

三、教學(xué)情境設(shè)計(jì)之“迷”

新課改后的幾版教材對(duì)函數(shù)概念的處理方式存在很大的差異，但是教師應(yīng)該“用教材教，而不是教教材”.因此，面對(duì)眾多的教學(xué)素材和多樣的教學(xué)思路，教師應(yīng)針對(duì)學(xué)生的認(rèn)知水平和思維能力的差異，提出不同的教學(xué)方案.現(xiàn)將筆者實(shí)踐方案中的幾個(gè)片段與大家分享.

片段1 映射概念

原大綱版教材采用的方式是奧蘇伯爾的概念同化策略：先映射后函數(shù)，但因映射本身是一個(gè)相當(dāng)抽象的概念，用它來構(gòu)建函數(shù)概念，實(shí)現(xiàn)從一般到特殊的演繹，對(duì)學(xué)生思維能力要求較高.新課改后，只有湘教版采用這種方式，其他各版教材都采用了先函數(shù)后映射的方式.這種方式體現(xiàn)了概念的形成，與初中所學(xué)函數(shù)知識(shí)銜接自然，更符合一般學(xué)生的學(xué)習(xí)心理，也更接近學(xué)生從具體到抽象、從特殊到一般的思維習(xí)慣.函數(shù)是特殊的映射，可以把映射看作函數(shù)概念的推廣，也可以用映射概念來幫助理解函數(shù).映射可安排在第二課時(shí)完成，這樣的安排凸顯了函數(shù)的核心地位，淡化了映射，也符合課程目標(biāo).

片段2 情境引入

為了讓學(xué)生能更好地理解抽象的函數(shù)概念，各版教材都采用利用豐富的背景實(shí)例創(chuàng)設(shè)問題情境的方式引入.在問題的引導(dǎo)下，歸納出函數(shù)的概念，引導(dǎo)學(xué)生感受函數(shù)概念的原發(fā)現(xiàn)過程，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)的眼光看問題”和“數(shù)學(xué)思維”.人教版和蘇教版的三個(gè)實(shí)例都是選自運(yùn)動(dòng)（隨時(shí)間變化炮彈高度）、自然界（臭氧層空洞面積的變化）和經(jīng)濟(jì)生活（恩格爾系數(shù)變化），以解析法、圖像法、列表法三種不同方式表示，既可以讓學(xué)生感受函數(shù)的廣泛應(yīng)用，又可以使學(xué)生意識(shí)到對(duì)應(yīng)關(guān)系不僅可以是明確的解析式，也可以是形象直觀的曲線或表格，還可以是抽象的描述.

片段3 認(rèn)識(shí)符號(hào)

函數(shù)定義中采用的符號(hào)對(duì)學(xué)生來說是陌生的，掌握好它有利于函數(shù)概念的理解.函數(shù)從對(duì)象整體的角度看是集合間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，表示為f：A→B;從過程的角度看是變量間的依賴關(guān)系，記為y=f（x），表示“y是x的函數(shù)”.符號(hào)f（a）與f（x）既有區(qū)別，又有聯(lián)系.要掌握這些符號(hào)，可以先通過解析法表示的具體函數(shù)體會(huì)，再在例題中鞏固，這樣的學(xué)習(xí)任務(wù)與學(xué)生的思維最近發(fā)展區(qū)相適應(yīng)，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和信心.

片段4 融入數(shù)學(xué)史

仔細(xì)對(duì)比研究會(huì)發(fā)現(xiàn)：學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的過程和函數(shù)概念的發(fā)展歷程有著相似之處，都經(jīng)過了四個(gè)階段：從實(shí)際問題中發(fā)現(xiàn)變量間的依賴關(guān)系→用數(shù)學(xué)表達(dá)式描述變量間關(guān)系→發(fā)現(xiàn)更多樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系→集合表示的對(duì)應(yīng)關(guān)系.教師可以在課堂小結(jié)環(huán)節(jié)簡(jiǎn)要講解“函數(shù)概念的發(fā)展歷程”，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)過程的相似性和初中函數(shù)概念的局限性，使學(xué)生更深刻地理解概念的實(shí)質(zhì);將有關(guān)函數(shù)發(fā)展史的“閱讀與思考”結(jié)合“實(shí)習(xí)作業(yè)”布置為周末小論文，開拓學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值和文化價(jià)值.通過這些活動(dòng)，把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài)，可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心.

總之，教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)遵循激發(fā)動(dòng)機(jī)和興趣的情意原則：創(chuàng)設(shè)問題情境引導(dǎo)學(xué)習(xí)，激活思維，激發(fā)求知欲;鋪設(shè)恰當(dāng)?shù)恼J(rèn)知階梯，呈現(xiàn)與學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)相適應(yīng)的學(xué)習(xí)任務(wù)，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情.形成式概念的教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)遵循學(xué)生的學(xué)習(xí)過程與知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程有機(jī)整合的過程原則：還原概念的原發(fā)現(xiàn)過程;還原思維的發(fā)展過程，構(gòu)建一條“從具體到抽象、從特殊到一般、由此及彼、由表及里、從片面到全面”的思維通道.