基于二階平滑的巡航導(dǎo)彈航路跟蹤控制

路 浩,吝 科,石敏超

(空軍西安飛行學(xué)院 理論訓(xùn)練系,西安 710306)

本文針對(duì)巡航導(dǎo)彈航路的精確跟蹤問(wèn)題,基于“提前轉(zhuǎn)彎式”的航路段切換[1]的思想,把巡航導(dǎo)彈的航路平滑分解為多個(gè)相鄰航路段的平滑過(guò)渡問(wèn)題,將對(duì)稱極多項(xiàng)式曲線引入到巡航導(dǎo)彈航路平滑過(guò)程中,生成滿足巡航導(dǎo)彈性能約束的二階平滑航路;然后采用反饋線性化方法建立巡航導(dǎo)彈線性化模型,基于“虛擬目標(biāo)”的軌跡跟蹤思想,將航路跟蹤問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)虛擬導(dǎo)彈的跟蹤控制問(wèn)題,設(shè)計(jì)了軌跡跟蹤最優(yōu)控制器;最后通過(guò)仿真驗(yàn)證了所提方法的有效性和優(yōu)越性。

1 基于對(duì)稱極多項(xiàng)式曲線的航路平滑

對(duì)稱極多項(xiàng)式曲線計(jì)算簡(jiǎn)單,與直線段連接時(shí)曲率連續(xù)且有界,能夠滿足巡航導(dǎo)彈的性能約束,本文將對(duì)稱極多項(xiàng)式曲線引入巡航導(dǎo)彈的航路平滑過(guò)程,生成可精確跟蹤的平滑航路。

1.1 對(duì)稱極多項(xiàng)式曲線

如圖1所示的是平面上的一條對(duì)稱極多項(xiàng)式曲線,圖中O為極點(diǎn),OA為極軸,(r,φ)為極坐標(biāo),R為曲線端點(diǎn)處的極徑長(zhǎng),Φ為曲線的2個(gè)端點(diǎn)處的極徑之間的夾角。

該對(duì)稱極多項(xiàng)式曲線的方程[2]為

(1)

由式(1)可知,r(φ)=r(Φ-φ),曲線r=r(φ)關(guān)于φ=Φ/2對(duì)稱,點(diǎn)(r,φ)處切線的方向角α和曲率κ分別為

(2)

(3)

式中:r′和r″分別為極徑r對(duì)極角φ的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)。由式(1)可得:

(4)

(5)

將φ=0和φ=Φ分別代入式(1)、式(4)和式(5),并根據(jù)式(3)可知,κ(0)和κ(Φ)均為0,則對(duì)稱極多項(xiàng)式曲線與直線連接時(shí),整條曲線滿足曲率連續(xù)的條件。同時(shí),對(duì)式(3)求導(dǎo),得到曲率對(duì)極角的變化率為

(6)

式中:r?為極徑r對(duì)極角φ的三階導(dǎo)數(shù)。可由r″求導(dǎo)得到:

(7)

則由極值定理和曲線的對(duì)稱性可知,當(dāng)φ=Φ/2,曲率κ取得最大值[2]:

(8)

1.2 三維航路平滑方法

航路規(guī)劃算法得到的初始航路是由三維空間中的一系列航路點(diǎn)通過(guò)直線段連接而成的[3]。對(duì)于給定的初始航路{S,P1,P2,…,Pn,E},其中S為導(dǎo)彈發(fā)射點(diǎn),E為目標(biāo)點(diǎn),三維坐標(biāo)點(diǎn)Pi(xi,yi,zi),i=1,2,…,n,為巡航導(dǎo)彈的第i個(gè)中間航路點(diǎn),如圖2所示。

當(dāng)巡航導(dǎo)彈沿著這種折線航路運(yùn)動(dòng)時(shí),由于相鄰航路段沒(méi)有經(jīng)過(guò)平滑處理,就會(huì)存在航路段切換的問(wèn)題,即何時(shí)轉(zhuǎn)彎飛往下一航路段。根據(jù)飛行過(guò)程中對(duì)中間航路點(diǎn)處理方式的不同,航路段切換方式可分為2種[1]:一是過(guò)點(diǎn)轉(zhuǎn)彎,即當(dāng)巡航導(dǎo)彈飛過(guò)一個(gè)航路段的終點(diǎn)后,調(diào)整航向飛往下一個(gè)航路段;二是提前轉(zhuǎn)彎,即當(dāng)巡航導(dǎo)彈接近一個(gè)航路段的終點(diǎn)時(shí),調(diào)整航向飛往下一個(gè)航路段,如圖3所示。

所謂“提前轉(zhuǎn)彎式”的二階航路平滑,就是用曲率連續(xù)且滿足巡航導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)性能限制的曲線段航路替換存在夾角的相鄰航路段的部分航路,使曲線和相鄰的2個(gè)航路段相切,實(shí)現(xiàn)航路曲線的二階平滑過(guò)渡,如圖4所示。

由于相鄰的航路段必定在同一個(gè)平面內(nèi),無(wú)論是二維航路平滑,還是三維航路平滑,都可以歸結(jié)為確定平面上的對(duì)稱極多項(xiàng)式曲線方程的問(wèn)題。這樣巡航導(dǎo)彈航路平滑就轉(zhuǎn)化為在給定的最小轉(zhuǎn)彎半徑rmin條件下,建立極坐標(biāo)系,并求解參數(shù)R和Φ的過(guò)程。

如圖5所示,PiPi+1和Pi+1Pi+2是待平滑的相鄰航路段;Pi,Pi+1和Pi+2在慣性系中的坐標(biāo)分別為(xi,yi,zi),(xi+1,yi+1,zi+1)和(xi+2,yi+2,zi+2)。采用對(duì)稱極多項(xiàng)式曲線對(duì)其進(jìn)行平滑處理,首先定義巡航導(dǎo)彈曲線運(yùn)動(dòng)的平面為PiPi+1和Pi+1Pi+2所在直線確定的平面,則該平面的單位法向量bp為

(9)

式中:‖·‖表示向量的模。

以Pi為坐標(biāo)系原點(diǎn),tp=LPiPi+1/‖LPiPi+1‖為切向量,bp為副法向量,并通過(guò)右手定則得到主法向量np=bp×tp,建立曲線運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系fp,該坐標(biāo)系可表示為

fp=(tpnpbp)

(10)

在曲線運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系fp下,航路點(diǎn)Pi的坐標(biāo)值為(0,0,0)。根據(jù)坐標(biāo)系fp和慣性坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系,可以得到航路點(diǎn)Pi+1和Pi+2在坐標(biāo)系fp中的坐標(biāo)值分別為

(11)

(12)

(13)

根據(jù)式(3)可知,對(duì)稱極多項(xiàng)式曲線的2個(gè)端點(diǎn)處的切線與極徑的夾角均為π/2,則對(duì)稱極多項(xiàng)式曲線的參數(shù)Φ為

Φ=π-β

(14)

由于巡航導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)性能的限制,巡航導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)運(yùn)動(dòng)時(shí)有一個(gè)最小轉(zhuǎn)彎半徑rmin的限制,因此平滑航路的曲率半徑必須大于或等于rmin,即:

(15)

為使平滑后航路與初始航路之間的偏差盡可能得小,選擇κmax=1/rmin,則:

(16)

(17)

2 軌跡跟蹤控制

在現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)中,戰(zhàn)場(chǎng)態(tài)勢(shì)瞬息萬(wàn)變,為取得較好的攻擊效果和較高的毀傷效能,常常對(duì)巡航導(dǎo)彈的打擊時(shí)間進(jìn)行較為明確的限制。那么,在航路跟蹤過(guò)程中,巡航導(dǎo)彈所要跟蹤的就是具有具體時(shí)間參數(shù)的期望航路,即進(jìn)行軌跡跟蹤。

2.1 巡航導(dǎo)彈線性化運(yùn)動(dòng)模型

根據(jù)文獻(xiàn)[4],三維空間中的巡航導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)可用如下的仿射非線性系統(tǒng)描述:

(18)

式中:狀態(tài)向量X=(xyzvψθ)T;(x,y,z)為巡航導(dǎo)彈在慣性坐標(biāo)系中的位置;v,ψ和θ分別為巡航導(dǎo)彈的速度、彈道偏角和彈道傾角;控制向量u=(nxnynz)T,nx,ny和nz分別為巡航導(dǎo)彈過(guò)載在彈道坐標(biāo)系各軸上的分量;f(X)和G(X)分別為

根據(jù)文獻(xiàn)[5],系統(tǒng)(18)是可全狀態(tài)反饋線性化的,則可以通過(guò)微分同胚:

(19)

和狀態(tài)反饋?zhàn)儞Q:

(20)

使得系統(tǒng)(18)轉(zhuǎn)換為如下的線性系統(tǒng):

(21)

2.2 軌跡跟蹤控制問(wèn)題描述

航路跟蹤控制問(wèn)題主要研究如何控制巡航導(dǎo)彈使其沿預(yù)定航路飛行,以充分發(fā)揮航路規(guī)劃的作用,保證飛行的安全性,提高巡航導(dǎo)彈的突防概率,是巡航導(dǎo)彈摧毀目標(biāo)的關(guān)鍵。針對(duì)有明確時(shí)間要求的攻擊任務(wù),巡航導(dǎo)彈航路跟蹤控制的目標(biāo)就是采用某種控制策略,使導(dǎo)彈能夠穩(wěn)定地跟蹤具有時(shí)間參數(shù)的飛行軌跡,盡可能地使巡航導(dǎo)彈與期望飛行軌跡之間的偏差最小。

如圖6所示,空間曲線C表示巡航導(dǎo)彈的期望飛行軌跡,借鑒基于“虛擬目標(biāo)”的軌跡跟蹤的思想[6],假設(shè)有一個(gè)沿期望軌跡飛行的虛擬導(dǎo)彈,它在慣性坐標(biāo)系中的位置和姿態(tài)可描述為(xd(t)yd(t)zd(t)vd(t)θd(t)ψd(t))T以導(dǎo)彈發(fā)射時(shí)刻為初始時(shí)刻,即t=0。為使虛擬導(dǎo)彈始終沿著期望軌跡飛行,則要求t=0時(shí)刻,虛擬導(dǎo)彈的初始位置位于航路起點(diǎn),運(yùn)動(dòng)方向沿著規(guī)劃航路的切線方向。在基于對(duì)稱極多項(xiàng)式曲線的平滑航路上,直線段航路的方向角容易求得,曲線段航路的方向角則根據(jù)式(2)進(jìn)行計(jì)算后轉(zhuǎn)換到慣性坐標(biāo)系中獲得;而虛擬導(dǎo)彈的速度則根據(jù)作戰(zhàn)任務(wù)的要求和平滑航路的長(zhǎng)度進(jìn)行確定,假設(shè)在攻擊過(guò)程中虛擬導(dǎo)彈速度大小保持不變。那么,虛擬導(dǎo)彈的飛行軌跡,即巡航導(dǎo)彈所要跟蹤的參考軌跡由下式產(chǎn)生:

(22)

若t時(shí)刻衛(wèi)星定位系統(tǒng)和慣性導(dǎo)航系統(tǒng)實(shí)時(shí)測(cè)得的巡航導(dǎo)彈的實(shí)際位置為(x(t),y(t),z(t)),則軌跡跟蹤控制的目標(biāo)就是設(shè)計(jì)控制器使巡航導(dǎo)彈的實(shí)際位置和期望位置(xd(t),yd(t),zd(t))之間的偏差趨向于并保持為0。

2.3 軌跡跟蹤控制器設(shè)計(jì)

根據(jù)前文描述,巡航導(dǎo)彈航路跟蹤問(wèn)題可以歸結(jié)為對(duì)隨時(shí)間變化的期望位置,即期望軌跡的跟蹤問(wèn)題。那么,本文所要解決的關(guān)鍵問(wèn)題就是為巡航導(dǎo)彈設(shè)計(jì)跟蹤控制器,使得:

(23)

式中:p(t)=(x(t)y(t)z(t))T為巡航導(dǎo)彈的實(shí)際位置;pd(t)=(xd(t)yd(t)zd(t))T為其期望位置。

定義跟蹤誤差e=(xe(t)ye(t)ze(t))T為慣性坐標(biāo)系下巡航導(dǎo)彈當(dāng)前位置和期望位置之差,即:

e=p-pd

(24)

(25)

將式(25)描述為狀態(tài)空間形式,有:

(26)

(27)

由于系統(tǒng)(27)中x,y,z3個(gè)通道是相互獨(dú)立的,為簡(jiǎn)化求解過(guò)程,可以為3個(gè)通道分別設(shè)計(jì)控制器,則系統(tǒng)(27)就轉(zhuǎn)化為3個(gè)獨(dú)立的系統(tǒng):

(28)

根據(jù)最優(yōu)控制理論,對(duì)于二次型性能指標(biāo):

(29)

由于系統(tǒng)(28)可控,最優(yōu)控制量為

(30)

Pj(t)為二階正定對(duì)稱陣,滿足黎卡提方程:

(31)

3 仿真實(shí)例

為驗(yàn)證本文方法的有效性和優(yōu)越性,針對(duì)三維空間的航路點(diǎn)P1(0,500,200),P2(1 000,500,100)和P3(2 000,1 000,250),分別采用圓弧線和對(duì)稱極多項(xiàng)式曲線進(jìn)行航路平滑,并進(jìn)行航路跟蹤仿真。

圖7分別給出了2種方法的平滑航路的局部水平投影,圖8給出了2條航路的曲率曲線。從圖中可以看出,對(duì)稱極多項(xiàng)式曲線的曲率按照從0到最大值再到0的規(guī)律變化,能夠?qū)崿F(xiàn)與初始折線航路的二階平滑過(guò)渡,符合巡航導(dǎo)彈的動(dòng)力學(xué)特性;同時(shí),由于在求解對(duì)稱極多項(xiàng)式的過(guò)程中能夠得到曲率最大值的顯式表達(dá)式,進(jìn)而對(duì)航路曲線最大曲率進(jìn)行限制,所生成的平滑航路能夠保證滿足巡航導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)性能的約束。

巡航導(dǎo)彈初始位置位于P1點(diǎn),初始速度方向指向P2點(diǎn),最小轉(zhuǎn)彎半徑為1 km,速度變化范圍為220～300 m/s,3個(gè)控制通道的慣性時(shí)間常數(shù)均為0.9 s,虛擬導(dǎo)彈的速度為260 m/s。圖9分別給出了初始折線航路、圓弧線航路和對(duì)稱極多項(xiàng)式航路上的實(shí)際跟蹤軌跡;圖10給出了法向過(guò)載變化曲線;圖11給出了航路跟蹤距離誤差。

從仿真結(jié)果可以看出,在初始航路和圓弧線連接航路上,由于巡航導(dǎo)彈無(wú)法提供航路精確跟蹤的需用過(guò)載,在航路的切換過(guò)程中產(chǎn)生了較大的軌跡跟蹤誤差。與之相比,在基于對(duì)稱極多項(xiàng)式曲線的平滑航路上,由于航路平滑的過(guò)程中考慮到過(guò)載的約束和變化特性,在航路的過(guò)渡段巡航導(dǎo)彈能夠提供軌跡跟蹤所需過(guò)載,且能夠獲得虛擬導(dǎo)彈的位置、速度和加速度等信息,在非線性最優(yōu)控制器的作用下能夠保持對(duì)虛擬導(dǎo)彈的穩(wěn)定跟蹤,使得巡航導(dǎo)彈沿期望航路飛行。

4 結(jié)束語(yǔ)

航路曲線的曲率連續(xù)是巡航導(dǎo)彈能夠精確跟蹤的前提條件,是航路可飛性的重要保證。本文首先詳細(xì)討論并分析了對(duì)稱極多項(xiàng)式曲線的幾何特性,采用“提前轉(zhuǎn)彎式”的航路平滑方法,把巡航導(dǎo)彈航路平滑問(wèn)題分解為多個(gè)相鄰航路段的平滑過(guò)渡問(wèn)題,并將對(duì)稱極多項(xiàng)式曲線引入航路平滑過(guò)程中,提出了一種基于對(duì)稱極多項(xiàng)式曲線的平滑航路生成方法。然后采用基于微分幾何理論的反饋線性化方法建立了巡航導(dǎo)彈精確線性化模型,降低了系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)的難度;針對(duì)有明確時(shí)間要求的攻擊任務(wù),假設(shè)存在一枚沿平滑航路運(yùn)動(dòng)的虛擬導(dǎo)彈,將巡航導(dǎo)彈航路跟蹤問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)虛擬導(dǎo)彈的跟蹤控制問(wèn)題,并采用線性二次最優(yōu)控制理論設(shè)計(jì)了巡航導(dǎo)彈軌跡跟蹤控制器。仿真結(jié)果表明,基于對(duì)稱極多項(xiàng)式曲線的平滑航路曲率半徑均滿足導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)性能約束,且實(shí)現(xiàn)了飛行航路的二階平滑過(guò)渡,進(jìn)而能夠?qū)崿F(xiàn)巡航導(dǎo)彈對(duì)平滑航路的精確跟蹤。