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    展開(kāi)與折疊 轉(zhuǎn)化與互逆

    2019-01-03 06:59:48許辰宇
    初中生世界·七年級(jí) 2019年12期
    關(guān)鍵詞:對(duì)面正方體圓柱

    在學(xué)習(xí)“展開(kāi)與折疊”的過(guò)程中,可能有不少小伙伴無(wú)法在腦海中抽象出立體圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)化過(guò)程。其實(shí)這對(duì)我們的空間想象能力提出了較高的要求。現(xiàn)在我把我的一些發(fā)現(xiàn)整理如下,希望能幫助大家學(xué)習(xí)。

    “展開(kāi)與折疊”包含了兩個(gè)關(guān)鍵詞:展開(kāi)、折疊,這兩個(gè)詞本身是一種互逆的關(guān)系。

    首先,我們從圖形的展開(kāi)說(shuō)起。展開(kāi)就是將某個(gè)幾何體的表面適當(dāng)剪開(kāi)并平鋪的過(guò)程,形成的平面圖形稱(chēng)為幾何體的展開(kāi)圖。在小學(xué)階段,我們?cè)私獾綀A柱的展開(kāi)圖是兩個(gè)圓和一個(gè)長(zhǎng)方形(如圖1)。

    圖1

    進(jìn)入初中后,我們談到圖形的展開(kāi),就不得不提到一個(gè)非常重要的幾何體——正方體。正方體的展開(kāi)圖可能是大家的一個(gè)困惑點(diǎn)。其實(shí)正方體的展開(kāi)圖種類(lèi)并不多,只有11種。根據(jù)展開(kāi)圖中每一層的正方形個(gè)數(shù)(從上往下數(shù)),我們可以把它們分成4類(lèi),即“141型(如圖2)”“231型(如圖3)”“ 222型(如圖4)”“33型(如圖5)”。

    圖2

    圖3

    圖4 圖5

    當(dāng)然,在某些展開(kāi)圖中也隱藏著一些數(shù)量關(guān)系。比如圖1中,圓的周長(zhǎng)與矩形的長(zhǎng)是相等的。因?yàn)槿绻麑⒄归_(kāi)圖折疊還原為圓柱,圓的一周與矩形的長(zhǎng)是完全重合的。這里就涉及另一個(gè)關(guān)鍵詞——折疊。將展開(kāi)后的平面圖形折疊成立體圖形,形成幾何體的過(guò)程,就是折疊。如果將8個(gè)相同的正三角形沿如圖6所示的虛線折疊,則會(huì)得到一個(gè)正八面體。

    圖6

    相較于“展開(kāi)”結(jié)果的多樣性,折疊結(jié)果則具有唯一性。對(duì)一個(gè)平面展開(kāi)圖實(shí)施不同的方法折疊,還原成幾何體,這個(gè)幾何體有且只有一個(gè)。在這個(gè)還原的過(guò)程中,會(huì)衍生出一類(lèi)問(wèn)題,比如求正方體展開(kāi)圖重新折疊成正方體時(shí),原來(lái)的展開(kāi)圖上哪兩個(gè)面是相對(duì)的?在解決這類(lèi)問(wèn)題之前,我們首先要明白一個(gè)基本規(guī)律:在正方體展開(kāi)圖中,相對(duì)的兩個(gè)面不可能是“相連”的,應(yīng)該是“分隔”的;如果展開(kāi)圖中兩個(gè)面是“相連”的,那么折疊后的它們一定是相鄰的面,而不是對(duì)面。

    運(yùn)用這個(gè)規(guī)律,我們逐個(gè)剖析,可以把正方體的11種展開(kāi)圖中的“對(duì)面”分布情況標(biāo)注如下(如圖7)。字母相同的兩個(gè)面是對(duì)面。

    圖7

    “展開(kāi)”是將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形;“折疊”是將平面圖形轉(zhuǎn)化為立體圖形。這其中蘊(yùn)含著轉(zhuǎn)化和互逆的數(shù)學(xué)思想方法。我們?cè)诮鉀Q實(shí)際問(wèn)題時(shí),經(jīng)常會(huì)把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形來(lái)解決,也會(huì)借助平面圖形折疊成立體圖形,練習(xí)空間想象能力。

    希望我的一點(diǎn)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)?zāi)転榇蠹业膶W(xué)習(xí)帶來(lái)幫助。

    教師點(diǎn)評(píng)

    “展開(kāi)與折疊”是蘇科版《數(shù)學(xué)》教材七年級(jí)上冊(cè)的學(xué)習(xí)內(nèi)容,是在小學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)上對(duì)圖形的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)。在小學(xué)階段,同學(xué)們已經(jīng)初步認(rèn)識(shí)了正方體、圓柱、圓錐等立體圖形,從直觀上對(duì)展開(kāi)與折疊有了一定的認(rèn)識(shí),但對(duì)展開(kāi)與折疊前后立體圖形與平面圖形的位置、數(shù)量之間的關(guān)系認(rèn)識(shí)不足,直觀想象能力有待進(jìn)一步訓(xùn)練提高。許辰宇同學(xué)在平時(shí)的學(xué)習(xí)中,注重自主探索,及時(shí)歸納、總結(jié)學(xué)習(xí)中的小規(guī)律、小發(fā)現(xiàn),形成有借鑒意義的小成果,值得同學(xué)們學(xué)習(xí)。眾所周知,正方體與其展開(kāi)圖之間的相互轉(zhuǎn)化是學(xué)習(xí)的重點(diǎn),許辰宇同學(xué)以最具代表性的“正方體”為例,歸納總結(jié)了4類(lèi)共11種展開(kāi)圖,便于記憶使用。文章最后給出正方體展開(kāi)圖的互為對(duì)面情況的標(biāo)記,有助于同學(xué)們探尋對(duì)面的規(guī)律,理解并掌握展開(kāi)圖的特征。相信他的這篇小文章會(huì)對(duì)同學(xué)們的圖形學(xué)習(xí)有一定的幫助。

    (指導(dǎo)教師:孫 凱)

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