平面應(yīng)力狀態(tài)的解析法和應(yīng)力圓法詳解

陸仁強(qiáng)

摘要：材料力學(xué)是土木類專業(yè)學(xué)生必修的一門專業(yè)基礎(chǔ)課，對(duì)于后續(xù)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)具有重要的基礎(chǔ)作用。但是材料力學(xué)由于其力學(xué)研究過程的復(fù)雜性和抽象性，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中存在較大的困難，而且感覺枯燥無味。筆者通過對(duì)材料力學(xué)課程的多年講授，總結(jié)了一套簡(jiǎn)單易懂的教學(xué)方法，本文以“平面應(yīng)力狀態(tài)任意方向面上應(yīng)力”的求法為例，通過例題講述及結(jié)論分析，教學(xué)效果反思發(fā)現(xiàn)能夠讓學(xué)生很容易的理解該部分內(nèi)容。本文的教學(xué)成果和方法，對(duì)于地方高校應(yīng)用型專業(yè)課程的講授具有一定的示范作用，可值得同類課程的借鑒采用。

關(guān)鍵詞：平面應(yīng)力狀態(tài);解析法;應(yīng)力圓法

1 平面應(yīng)力狀態(tài)的概念及表示

研究一個(gè)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，通常圍繞該點(diǎn)作一微小單元體，稱為單元體，一般情形下，微元的不同方位面上的應(yīng)力各不相同，用任意截面把該微元體截開，則截開面上也存在正應(yīng)力和切應(yīng)力，過一點(diǎn)處的所有方位面的應(yīng)力集合，稱為該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。

平面應(yīng)力狀態(tài)：微元各個(gè)面上所受應(yīng)力的作用線都處于同一平面內(nèi)，這種應(yīng)力狀態(tài)稱為平面應(yīng)力狀態(tài)。根據(jù)立體幾何知識(shí)可知，圖1所示的空間應(yīng)力狀態(tài)要轉(zhuǎn)變?yōu)槠矫鎽?yīng)力狀態(tài)，則σx、σy、σz三者中至少有一個(gè)為0，即（τzy、τzx）、（τxy、τxz）、（τyx、τyz）三對(duì)中至少有一對(duì)為0，由于通常習(xí)慣于用x、y平面，故假設(shè)σz和（τzy、τzx）等于0，這樣，圖1的空間應(yīng)力狀態(tài)就可以表示為圖2所示的平面應(yīng)力狀態(tài)了。

2 平面應(yīng)力狀態(tài)的解析法

如圖3所示，假設(shè)用任意一個(gè)截面把圖中的平面應(yīng)力狀態(tài)截開以后，得到右邊部分，截開面稱為方向面，設(shè)方向面的法線方向?yàn)閚。

根據(jù)微元的局部平衡，列靜力學(xué)平衡方程：∑Fx=0∑Fy=0

畫應(yīng)力圓的技巧：1）若知道圓心坐標(biāo)和半徑，可畫圓;2）若知道任何一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)也可以畫圓。

假設(shè)某應(yīng)力狀態(tài)為下圖4a圖，畫出的應(yīng)力圓為圖4b圖，也就是說圖4a和圖4b是等價(jià)的。下面先說明應(yīng)力圓與方向面（即圖4a和圖4b）之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系：

（1）點(diǎn)面對(duì)應(yīng)關(guān)系。在應(yīng)力狀態(tài)中指的是方向面，而到了應(yīng)力圓中指的是點(diǎn)。比如（σx、τx），對(duì)應(yīng)的是圖4a中的左側(cè)面，而對(duì)應(yīng)到圖4b的應(yīng)力圓，找到坐標(biāo)值為（σx、τx）的點(diǎn)為A點(diǎn)，也就是應(yīng)力圓中的A點(diǎn)對(duì)應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)中的左側(cè)面。同理，圖4a中（σy、τy）所在的下側(cè)面，對(duì)應(yīng)到圖4b應(yīng)力圓中的B點(diǎn)。

（2）二倍角關(guān)系。圖4a中的左側(cè)面（σx、τx）和下側(cè)面（σy、τy）為垂直關(guān)系，即夾角為90°，而到了圖4b所示的應(yīng)力圓中，其所對(duì)應(yīng)的A點(diǎn)和B點(diǎn)卻在同一條直徑上，即夾角為180°，這就是所謂的“二倍角關(guān)系”，即：在應(yīng)力狀態(tài)中兩個(gè)方向面的夾角若為α，則在應(yīng)力圓中所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)點(diǎn)所在半徑的夾角將是2α。

（3）轉(zhuǎn)向一致關(guān)系。在圖4a所示的應(yīng)力狀態(tài)中，若以左側(cè)面（σx、τx）為參考面，則下側(cè)面（σy、τy）與之呈逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的90°關(guān)系，對(duì)應(yīng)到圖4b所示的應(yīng)力圓中，A點(diǎn)所在半徑繞圓心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°即到了B點(diǎn)所在的半徑，這叫做“轉(zhuǎn)向一致”，即：應(yīng)力狀態(tài)中兩個(gè)方向面的位置與應(yīng)力圓中對(duì)應(yīng)的兩個(gè)點(diǎn)的位置關(guān)系是一致的。

簡(jiǎn)記為：點(diǎn)面對(duì)應(yīng)、轉(zhuǎn)向相同、夾角兩倍。

下面以例題為例說明應(yīng)力圓的畫法及應(yīng)用：

例題在圖示xy坐標(biāo)系下，單元體的最大主應(yīng)力σ1大致指向（）。

（A）第一象限，靠近x軸（B）第一象限，靠近y軸

（C）第二象限，靠近x軸（D）第二象限，靠近y軸

解：

（1）確定應(yīng)力圓的畫法方式，可通過一條直徑畫圓，也可以通過圓心坐標(biāo)及半徑值畫圓，本題采取第一種方式，由圖可知，左側(cè)面與下側(cè)面呈90°，在應(yīng)力圓上就恰好對(duì)應(yīng)一條直徑上的兩個(gè)端點(diǎn);

（2）已知左側(cè)面上的應(yīng)力值（σx>0、τ<0），在應(yīng)力圓坐標(biāo)系上找到相應(yīng)坐標(biāo)點(diǎn)設(shè)為A點(diǎn)，已知下側(cè)面上的應(yīng)力值（σy<0、τ>0），在應(yīng)力圓坐標(biāo)系上找到相應(yīng)坐標(biāo)點(diǎn)設(shè)為B點(diǎn);

（3）連接AB點(diǎn)便得到應(yīng)力圓的一條直徑，將該直徑繞中點(diǎn)轉(zhuǎn)一圈便可得到應(yīng)力圓，如圖。

通過應(yīng)力圓可得到的一些信息：

應(yīng)力圓與橫坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)C、D對(duì)應(yīng)的方向面即為主平面（因?yàn)槠淝袘?yīng)力τ=0），左邊交點(diǎn)C的正應(yīng)力對(duì)應(yīng)最小主應(yīng)力σ3，右邊交點(diǎn)D的正應(yīng)力對(duì)應(yīng)最大主應(yīng)力σ1。

根據(jù)上述應(yīng)力圓可知，從A點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)到最大主應(yīng)力σ1所對(duì)應(yīng)的D點(diǎn)，轉(zhuǎn)動(dòng)的角度肯定小于90°，而對(duì)應(yīng)到應(yīng)力狀態(tài)中就肯定小于45°（根據(jù)二倍角關(guān)系）。故可得答案選A（注：題目問的單元體的最大主應(yīng)力σ1大致指向，指的是最大主應(yīng)力σ1所在的方向面的方向角）。

4 總結(jié)

本文以“平面應(yīng)力狀態(tài)的解析法和應(yīng)力圓法”為例，通過例題講解了應(yīng)力圓法的繪制及應(yīng)用解題的具體過程。該教學(xué)方法通俗易懂，沒有太多的理論講授，將理論貫穿于例題講解的過程中，學(xué)生聽起來不覺得枯燥乏味，也簡(jiǎn)單易懂。故本文提出的教學(xué)方法值得同類地方本科院校應(yīng)用型課程的教學(xué)借鑒和推廣采用。

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