基于SGED分布的變參數(shù)ARIMA+EARCH動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)模型的研究
——以滬深5只個(gè)股的滾動(dòng)預(yù)測(cè)為例

韓 晴 齊祥會(huì)

（西北大學(xué)，陜西 西安 710000）

一、引言

波動(dòng)性是股票市場(chǎng)最為重要特性之一，因此，探討其波動(dòng)規(guī)律、把握其運(yùn)行趨勢(shì)成為當(dāng)今學(xué)術(shù)界與實(shí)務(wù)界研究的熱點(diǎn)。

股票收益率波動(dòng)模型的研究主要有：ARMA類模型、ARCH類模型及二者的混合模型，模型中波動(dòng)誤差分布的假定主要有正態(tài)分布、T分布、GED分布和SKT分布。國(guó)內(nèi)外大量研究表明，收益率序列波動(dòng)通常具有集聚性、分布的尖峰厚尾性以及有偏性。本文以5只股票為例，通過(guò)對(duì)股票日對(duì)數(shù)收益率序列的分析，發(fā)現(xiàn)股票日對(duì)數(shù)收益率波動(dòng)存在明顯的“尖峰厚尾”現(xiàn)象、波動(dòng)集聚和非對(duì)稱特征。通過(guò)建立收益率序列的ARIMA模型處理中期記憶特征，然后再利用EGARCH模型處理異方差的非對(duì)稱以及波動(dòng)率聚集特征，采用S-GED分布解決股票收益率波動(dòng)的“尖峰厚尾”現(xiàn)象以及有偏分布問(wèn)題，就能夠很好地解決股票收益率的這些特性，取得較理想的擬合及預(yù)測(cè)效果。

本文利用Skew-GED （SGED）分布下的變參數(shù)ARIMA+EGARCH動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)模型對(duì)滬深市場(chǎng)5只股票收益率進(jìn)行預(yù)測(cè)，為股票收益率預(yù)測(cè)和股票投資提供一種思路。任何一種預(yù)測(cè)方法都要回歸現(xiàn)實(shí)，接受實(shí)踐的檢驗(yàn)，本文的預(yù)測(cè)部分證明了該模型具有一定的預(yù)測(cè)精度，在一定程度上能夠?yàn)橥顿Y者和金融市場(chǎng)相關(guān)人員及機(jī)構(gòu)提供決策依據(jù)。

二、股票收益率預(yù)測(cè)建模

（一）模型建立原理

1.進(jìn)行股票收益率的預(yù)測(cè)。在股票市場(chǎng)中，準(zhǔn)確的股票收益率預(yù)測(cè)是市場(chǎng)交易各方共同關(guān)心的重要問(wèn)題。多數(shù)金融研究針對(duì)的是資產(chǎn)收益率而不是資產(chǎn)價(jià)格。Campbell，Lo和MacKinlay（1997）給出了使用收益率的兩個(gè)主要理由：第一，對(duì)普通投資者來(lái)說(shuō)，資產(chǎn)收益率完全體現(xiàn)了該資產(chǎn)的投資機(jī)會(huì)，且與其投資規(guī)模無(wú)關(guān)；第二，收益率序列比價(jià)格序列更容易處理，因?yàn)榍罢哂懈玫慕y(tǒng)計(jì)性質(zhì)。本文對(duì)上述各個(gè)指數(shù)的對(duì)數(shù)收益率進(jìn)行分析和預(yù)測(cè)。

2.ARIMA+EGRACH混合模型構(gòu)建。由于影響股票市場(chǎng)的因素十分復(fù)雜，僅靠建立單一的股票收益率預(yù)測(cè)模型來(lái)提高預(yù)測(cè)精度是非常困難的。本文提出了ARIMA+EGRACH模型運(yùn)用滾動(dòng)時(shí)間窗口來(lái)提高股票收益率預(yù)測(cè)精度的新思路。首先，ARIMA模型能有效地處理金融時(shí)間序列的記憶特征；其次，由于GARCH模型中，正的和負(fù)的沖擊對(duì)條件方差的影響是對(duì)稱的，因此GARCH模型不能刻畫(huà)收益率條件方差波動(dòng)的非對(duì)稱性。故本文選用改進(jìn)后的EGARCH模型來(lái)挖掘和分析預(yù)測(cè)收益率序列的內(nèi)在規(guī)律。通過(guò)使用ARIMA模型構(gòu)成EGARCH模型中均值方程，由此構(gòu)成“ARIMA+EGRACH”模型，并通過(guò)滾動(dòng)時(shí)間窗參數(shù)估計(jì)的持續(xù)最優(yōu)化，以期提高預(yù)測(cè)精度。

對(duì)個(gè)股對(duì)數(shù)收益率序列建立一個(gè)變參數(shù)的ARIMA（p，d，q）模型。

一般的ARMA（p，q）模型的形式為：

如果把ARMA模型廣到允其AR多項(xiàng)式以1作為它的單位根，則模型就變成了眾所周知的自回歸就和滑動(dòng)平均（ARIMA）模型，如果存在單位根，則模型非平穩(wěn)，若不存在單位根個(gè)模型平穩(wěn)。

對(duì)個(gè)股對(duì)數(shù)收益率及個(gè)股價(jià)格波動(dòng)率構(gòu)建一般的EGARCH模型。

EGARCH模型是指數(shù)GARCH模型，是不要求非負(fù)的限制的一種模型，能對(duì)正負(fù)擾動(dòng)項(xiàng)進(jìn)行非對(duì)稱處理。EGARCH模型是放松了對(duì)GARCH模型的參數(shù)非負(fù)約定。

股票價(jià)格的波動(dòng)常常表現(xiàn)為杠桿效應(yīng)現(xiàn)象。相同單位的利空消息對(duì)波動(dòng)的影響常常比利好消息來(lái)得大，這種非對(duì)稱影響稱為杠桿效應(yīng)，因而EGARCH模型能有效地分析杠桿效應(yīng)。

為了反映金融市場(chǎng)波動(dòng)的非對(duì)稱性，Nelson（1991）提出了EGARCH模型，對(duì)均值方程和波動(dòng)率方程進(jìn)行聯(lián)合估計(jì)，可以表示為

用分段函數(shù)重新表示g（ηt） ，容易看出其非對(duì)稱性：

式中，當(dāng)γ≠0時(shí)，說(shuō)明干擾對(duì)股價(jià)的影響是非對(duì)稱的；當(dāng)γ〈0時(shí)，說(shuō)明金融產(chǎn)品價(jià)格波動(dòng)受負(fù)外部沖擊的影響大于受正外部沖擊的影響，而此時(shí)的γ被稱為杠桿效應(yīng)。在實(shí)際應(yīng)用中一般將式（*）簡(jiǎn)化為

大量的金融實(shí)證研究表明，金融市場(chǎng)的時(shí)間序列具有尖峰厚尾、有偏的特征。為了更好解決尖峰后尾問(wèn)題，許多學(xué)者使用了t分布和GED分布，都增強(qiáng)了模型對(duì)金融數(shù)據(jù)的刻畫(huà)能力。但是這些分布屬于對(duì)稱分布，依然不能有效刻畫(huà)數(shù)據(jù)的有偏特征；同時(shí)，由于偏度和峰度并不是完全獨(dú)立，因此，對(duì)于股票價(jià)格序列的分析客觀上要求采用可以刻畫(huà)尖峰厚尾、有偏特征的分布進(jìn)行分析。

為了刻畫(huà)這種非對(duì)稱性，國(guó)外提出了一些前沿的分布來(lái)解決這樣的問(wèn)題。Fernandez和steel提出了將任意一個(gè)單峰、對(duì)稱分布轉(zhuǎn)變成偏態(tài)分布的一般方法。S-GED分布作為GED分布的擴(kuò)展，它是在GED分布基礎(chǔ)上加入一個(gè)偏態(tài)參數(shù)λ得到的。其定義如下：

如果序列滿足上述3項(xiàng)條件，并且均值為0，方差為1，則其服從一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的S-GED。

Zt分布可以寫(xiě)成：

當(dāng)偏度指標(biāo)λ=1時(shí)，其表示的是一種對(duì)稱的分布函數(shù)形式；當(dāng)λ〈1時(shí)，表示該分布是左偏的；當(dāng)λ〉1時(shí)，表示分布右偏。參數(shù)v控制收益分布尾數(shù)“胖瘦”程度。在λ=1條件下，當(dāng)v〈2時(shí)，尾部比正態(tài)更厚，當(dāng)v=2時(shí)，SGED分布退化為正態(tài)分布；當(dāng)v〈2時(shí)，尾部比正態(tài)更薄。本文利用SGED來(lái)綜合刻畫(huà)股票收益率的“有偏”和“厚尾”特征。

表1 SGED的參數(shù)取值及其特征

聯(lián)立ARIMA模型及EGRACH模型。通過(guò)使用ARIMA模型構(gòu)成EGARCH模型中均值方程，得到以下的聯(lián)立方程∶

（二）ARIMA+EGRACH模型參數(shù)設(shè)定

1.ARIMA模型參數(shù)設(shè)定。ARIMA（p,d,q）過(guò)程涉及 p，d，q三個(gè)參數(shù)的設(shè)置，其中d代表使得原時(shí)間序列平穩(wěn)時(shí)所做的差分次數(shù)，要對(duì)所選的5只個(gè)股股票對(duì)數(shù)收益率進(jìn)行預(yù)測(cè)，首先檢驗(yàn)各自的對(duì)數(shù)收益率序列平穩(wěn)性，對(duì)于股票收益率的ARIMA（p,d,q）過(guò)程中d常取0，本文也在之后進(jìn)行實(shí)證檢驗(yàn)說(shuō)明取d=0的合理性。實(shí)質(zhì)上，此時(shí)的ARIMA（p,0,q）過(guò)程等同于ARMA（p,q）過(guò)程。

ARIMA（p,d,q）過(guò)程p是自相關(guān)截尾數(shù)，q是偏自相關(guān)的截尾數(shù)。關(guān)于p、q參數(shù)的選擇，本策略使用R軟件進(jìn)程序自動(dòng)最優(yōu)選擇，先設(shè)定p、q的大致范圍0到5，再通過(guò)R程序語(yǔ)言使用AIC信息準(zhǔn)測(cè)選擇出能使AIC最小的p、q值。

2.EGRACH模型參數(shù)設(shè)定。股票收益率具有平穩(wěn)性特征,存在波動(dòng)集聚性,具有顯著尖峰后尾特征,日對(duì)數(shù)收益率序列存在ARCH效應(yīng),收益率的波動(dòng)具有明顯的杠桿效應(yīng)。通過(guò)比較,得出EGARCH（1,1）模型最能模擬股票日收益率的波動(dòng)實(shí)際。因此參數(shù)設(shè)定為（1,1）。

三、基于ARIMA-EGRACH模型的股票收益率預(yù)測(cè)實(shí)證

（一）數(shù)據(jù)來(lái)源

本文用R軟件從雅虎財(cái)經(jīng)網(wǎng)（http∶//finance.yahoo.com）和wind金融數(shù)據(jù)庫(kù)在線提取滬深市場(chǎng)5只股票的日行情數(shù)據(jù)如下：

?

（二）股票收益率的數(shù)據(jù)處理

1.股票收益率圖形分析——以600570.ss為例。從股票的收益率時(shí)序圖中可以看出：股票收益率具有波動(dòng)集聚和杠桿效應(yīng)。從股票的收益率分布圖中可以看出：股票收益率具有尖峰厚尾、偏態(tài)特征。從股票的收益率QQ圖中可以看出：股票收益率分布均非正態(tài)分布。

圖1 股票對(duì)數(shù)收益率報(bào)描述性統(tǒng)計(jì)

2.對(duì)數(shù)收益率的描述統(tǒng)計(jì)。通過(guò)進(jìn)一步觀察對(duì)數(shù)收益率的描述統(tǒng)計(jì)量和JB檢驗(yàn)可以看出：5只股票的對(duì)數(shù)收益率均呈現(xiàn)有偏，尖峰厚尾的特征，并且JB檢驗(yàn)的p值均小于1%，拒絕正態(tài)分布假設(shè)，即5只股票的對(duì)數(shù)收益率分布均非正態(tài)分布。

表2 對(duì)數(shù)收益率分布的假設(shè)檢驗(yàn)

3.股票收益率平穩(wěn)性檢驗(yàn)。通過(guò)對(duì)數(shù)收益率平穩(wěn)性檢驗(yàn)，得出5只個(gè)股股票的對(duì)數(shù)收益率均為平穩(wěn)時(shí)間序列，即ARIMA（p,d,q）過(guò)程中d=0。

表3 股票收益率平穩(wěn)性檢驗(yàn)

4.股票收益率序列中期記憶性檢驗(yàn)——以600570.ss為例。如圖所示，收益率序列和收益率絕對(duì)值序列均序列相關(guān)，即需要用ARMA解決中期長(zhǎng)記憶性，同時(shí)，由Box-Ljung檢驗(yàn)結(jié)果p值為0.02375，拒絕原假設(shè)，也可以看出序列存在中期長(zhǎng)記憶性；從圖3和圖4可以看出，序列存在異方差。

圖2 股票對(duì)數(shù)收益率序列中期記憶性和ARCH效應(yīng)分析

5.股票收益率GARCH效應(yīng)檢驗(yàn)。由ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)結(jié)果可以看出，序列存在明顯的ARCH效應(yīng)。綜上，單獨(dú)用ARMA模型或單獨(dú)用GARCH模型擬合數(shù)據(jù)都是不充分的，需要將二者結(jié)合起來(lái)進(jìn)行建模。

表4 股票對(duì)數(shù)收益率ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)

（三）變參數(shù)ARIMA+EGARCH動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)模型實(shí)證

本文應(yīng)用R軟件編寫(xiě)ARIMA+EGARCH動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)模型實(shí)證部分的代碼，此處以500個(gè)數(shù)據(jù)為時(shí)間窗為例，重點(diǎn)說(shuō)明建模過(guò)程：其一，建立滾動(dòng)窗口長(zhǎng)度（windowlength），一年365天的交易日期長(zhǎng)度約為250天，故滾動(dòng)窗口長(zhǎng)度從500中擇優(yōu)選取。其二，建立forecasts vector來(lái)儲(chǔ)存股票收益率預(yù)測(cè)值。其三，利用循環(huán)語(yǔ)句對(duì)ARIMA模型中的p，q參數(shù)進(jìn)行擇優(yōu)，范圍為（0,5），即在25種組合中以AIC值作為判斷依據(jù)找出最優(yōu)參數(shù)，即利用編程程序進(jìn)行自動(dòng)參數(shù)優(yōu)化。其四，將參數(shù)尋優(yōu)后的ARIMA模型設(shè)定為EGARCH（1,1）模型的均值方程，利用組合模型進(jìn)行后一天股票收益率預(yù)測(cè)。其五，推進(jìn)分析，本文采用的是動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)，只進(jìn)行一期預(yù)測(cè)，在由實(shí)際值預(yù)測(cè)出第一期的值之后，將第一期真實(shí)值和歷史數(shù)據(jù)重新組成新的序列再進(jìn)行第二期的預(yù)測(cè)，以此遞推。最后將預(yù)測(cè)值和真實(shí)值進(jìn)行對(duì)比。

圖3 滾動(dòng)預(yù)測(cè)收益率直方圖（紅色收益率為正，綠色收益率為負(fù)）

圖4 滾動(dòng)預(yù)測(cè)累計(jì)收益率和買(mǎi)入持有累積收益率對(duì)比

由以上結(jié)果可知，直觀來(lái)看，使用ARIMA+EARCH動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)模型總體效果較好，滾動(dòng)預(yù)測(cè)累計(jì)收益率在后期更是遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)簡(jiǎn)單的買(mǎi)入持有策略的累積收益率。用下表對(duì)ARIMA+EARCH動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)模型績(jī)效最進(jìn)一步的評(píng)估：

表5 ARIMA+EARCH動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)模型回測(cè)績(jī)效評(píng)價(jià)

由上表，與簡(jiǎn)單的買(mǎi)入持股票策略相比ARIMA+EARCH動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)模型應(yīng)用下的交易策略獲勝率有所提高，同時(shí)年化收益率及年化夏普比率也有提高。但同時(shí)需要注意的是該策略下回撤率問(wèn)題并沒(méi)有得到較好解決，即發(fā)生虧損后的最大可能損失還處于較高水平，主要原因是，該動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)策略重在建模與預(yù)測(cè)效果，若應(yīng)用于實(shí)盤(pán)還需要進(jìn)行進(jìn)一步的止損優(yōu)化。

四、結(jié)論及建議

（一）結(jié)論及意義

本文通過(guò)對(duì)股票數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)和計(jì)量分析，驗(yàn)證股票對(duì)數(shù)收益率序列有偏“尖峰厚尾”分布以及波動(dòng)率聚集、杠桿效應(yīng)等特征以后，通過(guò)分析及建模，選用改進(jìn)后的基于滾動(dòng)時(shí)間窗的變參數(shù)ARIMA+EARCH動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)模型來(lái)挖掘和分析預(yù)測(cè)收益率序列的內(nèi)在規(guī)律,通過(guò)參數(shù)實(shí)時(shí)優(yōu)化來(lái)得到最佳擬合效果，并進(jìn)行預(yù)測(cè)，同時(shí)；通過(guò)滾動(dòng)時(shí)間窗來(lái)避免過(guò)度擬合的問(wèn)題等可能影響客觀現(xiàn)實(shí)的錯(cuò)誤干擾，最終通過(guò)和買(mǎi)入持有累計(jì)收益率對(duì)比可知，該模型能很好擬合現(xiàn)實(shí)收益率的變化，具有較好的預(yù)測(cè)效果，可以為投資者和相關(guān)人員機(jī)構(gòu)提供一種較好的與預(yù)測(cè)工具和手段。

（二）不足及改進(jìn)建議

其一，由于數(shù)據(jù)時(shí)間周期較長(zhǎng)，通過(guò)r語(yǔ)言來(lái)計(jì)算信號(hào)和預(yù)測(cè)耗費(fèi)很時(shí)間，因此本文中選用的參數(shù)是實(shí)時(shí)最優(yōu)的，但時(shí)間窗不一定是最優(yōu)的時(shí)間窗，采用了大多數(shù)研究所使用的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度來(lái)擬合，后續(xù)還有待進(jìn)一步優(yōu)化。

其二，本文重點(diǎn)在于建模及預(yù)測(cè)，沒(méi)有加入止損，若要變?yōu)閷?shí)盤(pán)交易策略，還需加入止損操作等風(fēng)險(xiǎn)控制手段以更好服務(wù)投資者。

其三，若出現(xiàn)金融危機(jī)等極端事件可能存在模型風(fēng)險(xiǎn)，還需輔助其他判斷等。