基于三方作戰(zhàn)的Lanchester模型研究?

（海軍航空大學(xué) 煙臺 264001）

1 引言

1914年，英國工程師F.W.Lanchester提出Lanchester方程［1］。該類方程首次使用數(shù)學(xué)方法定量分析戰(zhàn)爭結(jié)果與作戰(zhàn)雙方兵力規(guī)模和火力強(qiáng)弱的關(guān)系，許多學(xué)者針對該類方程的線性率和平方率進(jìn)行了系統(tǒng)的研究［2～4］，并針對不同的情況對方程進(jìn)行補(bǔ)充與拓展［5～12］。在之前的研究中，大多研究對象為兩方作戰(zhàn)［13～17］，對于三方作戰(zhàn)的研究處于起步階段［18］。在在當(dāng)前錯綜復(fù)雜的世界格局里，一些國家和地區(qū)不可避免地會出現(xiàn)內(nèi)亂和多方混戰(zhàn)的情況，比如波斯尼亞內(nèi)戰(zhàn)、伊拉克內(nèi)戰(zhàn)和敘利亞動亂［19］，由于缺少理論分析工具，會使國家在分析、處理這種局勢尤其在對戰(zhàn)爭結(jié)果預(yù)測中出現(xiàn)一定的偏差。本文基于這樣的背景下對三方作戰(zhàn)進(jìn)行分析，嘗試得到一些有意義的結(jié)果。

2 三方作戰(zhàn)Lanchester模型

2.1 經(jīng)典Lanchester作戰(zhàn)模型

經(jīng)典Lanchester作戰(zhàn)模型中使用B和R表示參戰(zhàn)雙方的兵力，則B(t)和R(t)表示作戰(zhàn)雙方在t時刻的部隊規(guī)模，其具體形式如式（1）所示：

其中 F(x，y)和G(x，y)表示在t時刻 B和 R的戰(zhàn)斗損傷兵力數(shù)，α和β為非戰(zhàn)斗減員系數(shù)，U(t)和V(t)為B和R的增援率。

在不考慮自然環(huán)境、士氣、等條件，方程組（1）可轉(zhuǎn)化為線性率和平方率，分別如式（2）和式（3）所示：

式（2）中al和bl分別表示R和B的損傷系數(shù)，即單位數(shù)量的一方在單位時間內(nèi)對另一方打擊造成被打擊方損傷的單位數(shù)。式（3）中as和bs與式（2）中的al和bl意義相同。線性率主要適用于間接瞄準(zhǔn)的面射擊情況，即雙方由于地形等因素影響導(dǎo)致無法精確瞄準(zhǔn)而只能對區(qū)域進(jìn)行射擊的情況，適用于表示游擊隊作戰(zhàn)損傷情況，平方率主要適用于在規(guī)?；瘓F(tuán)軍隊?wèi)?zhàn)斗條件，用于擬合正規(guī)軍作戰(zhàn)損傷情況。

2.2 基于經(jīng)典方程的三方Lanchester作戰(zhàn)模型

作戰(zhàn)對象由兩方拓展到三方需要考慮以下因素：一是要考慮參戰(zhàn)部隊的性質(zhì)，從而確定使用線性率或者平方率。二是要考慮部隊之間的關(guān)系，由于一方要考慮同時對兩方作戰(zhàn)，使用的武器和分配的兵力并不完全相同，需考慮兵力分配問題。三是三方作戰(zhàn)隨著時間的演化會有多種結(jié)果，需分情況分析。

在不考慮士氣、通信和網(wǎng)絡(luò)等條件下建立基于平方率的三方Lanchester作戰(zhàn)模型如式（4）所示：

式中：Ii(t)，i=1，2，3表示第 i方在第 t時刻的部隊規(guī)模。 aij，i，j=1，2，3 表示第 j方對第 i方的損傷系數(shù)，這是由戰(zhàn)斗所使用的武器裝備決定的，yij，i，j=1，2，3 表示第 j方對第 i方的兵力分配系數(shù)，這是由作戰(zhàn)策略和兵力分布決定的。Ui(t)，i=1，2，3 為第 i方的增援率。 τ1表示三方作戰(zhàn)第一階段結(jié)束時間。該模型考慮的作戰(zhàn)三方皆為正規(guī)軍，故以經(jīng)典Lanchester平方率為基礎(chǔ)進(jìn)行拓展。

當(dāng)作戰(zhàn)三方皆為游擊隊時，在不考慮其他因素下建立三方作戰(zhàn)Lanchester如式（5）所示：

式（5）與式（4）的參數(shù)意義相同。對于式（4）和式（5），有以下約束條件：Ii(0)≥0=1，aij＞0，i，j=1，2，3。對于三方作戰(zhàn)的任何一方部隊，其部隊規(guī)模是有限的，故其必須在初始時刻部隊規(guī)模大于等于0才可使得模型有意義，且一方分兵對抗兩方作戰(zhàn)其兵力系數(shù)的總和為1，損傷系數(shù)也不可為負(fù)，否則與戰(zhàn)爭的實(shí)際情況不符。

2.3 混合戰(zhàn)情況下三方Lanchester作戰(zhàn)模型

目前在現(xiàn)實(shí)中的多方作戰(zhàn)，并不是完全的同種性質(zhì)部隊間的對抗，常常會出現(xiàn)游擊隊和正規(guī)軍之間的作戰(zhàn)，而正規(guī)軍常常為本國或他國的政府軍，游擊隊則為本國的反政府武裝或者是極端組織軍隊。此時的作戰(zhàn)已經(jīng)屬于混合戰(zhàn)的范疇，需要重新建立模型。

Deithman.S.J于1962年以Lanchester線性率和平方率為依據(jù)，建立Lanchester混合戰(zhàn)模型［20］，假設(shè)藍(lán)方為正規(guī)軍，紅方為游擊隊，在不考慮自然環(huán)境、士氣和增援等情況下建立模型如下：

式中am和bm分別表示藍(lán)方和紅方的損傷系數(shù)。由于游擊隊活動范圍大，隱蔽性高，與正規(guī)軍交戰(zhàn)時常采用機(jī)動靈活的戰(zhàn)術(shù)，導(dǎo)致正規(guī)軍對游擊隊的打擊多為間接瞄準(zhǔn)的面射擊，故游擊隊?wèi)?yīng)符合線性率。而正規(guī)軍多在開闊地帶，所受游擊隊的范圍打擊，故符合平方率。

在三方作戰(zhàn)中混合率模型分為兩種形式，一種是兩方為正規(guī)軍，一方為游擊隊，其模型如下所示：

式中，J(t)表示在t時刻游擊隊的規(guī)模；Ii(t)，i=1，2表 示 在 t時 刻 正 規(guī) 軍 的 規(guī) 模 ；bi，i=1，2表示游擊隊對第i方正規(guī)軍的損傷系數(shù)；aji，i，j=0，1，2，i≠j表示第 i方正規(guī)軍對第 j方的損傷系數(shù)；V(t)和Ui(t)，i=1，2表示游擊隊和政府軍的增援率。

第二種為兩方為游擊隊，一方為正規(guī)軍，其模型如下所示：

式中，Ji(t)，i=1，2表示在t時刻游擊隊的規(guī)模；I(t) 表 示 在 t 時 刻 正 規(guī) 軍 的 規(guī) 模 ；bji，i，j=0，1，2，i≠j表示第 i方游擊隊對第 j方的損傷系數(shù)，ai，i=1，2表示正規(guī)軍對第i方游擊隊的損傷系數(shù)，Vi(t)，U(t)，i=1，2 表示游擊隊和政府軍的增援率。

2.4 作戰(zhàn)結(jié)果的情況分析

由于三方作戰(zhàn)與兩方作戰(zhàn)相比結(jié)果更為復(fù)雜，需將作戰(zhàn)分為兩個階段，第一階段為三方初期作戰(zhàn)階段，時間范圍為[0，τ1)，此時三方皆在作戰(zhàn)，到達(dá)時間點(diǎn)τ1時，此時在戰(zhàn)場上最多有兩方作戰(zhàn)，也就是說，在第一階段戰(zhàn)斗結(jié)束后，至少有一方部隊被消滅。第二階段為決勝作戰(zhàn)階段，時間范圍為[τ1，τ2)，此時戰(zhàn)場上最多存在兩方勢力，三方作戰(zhàn)模型轉(zhuǎn)化為經(jīng)典Lanchester作戰(zhàn)模型，當(dāng)?shù)竭_(dá)時間點(diǎn)τ2時，此時戰(zhàn)場上最多有一方，此時戰(zhàn)斗結(jié)束，僅存的一方獲得戰(zhàn)斗勝利。

同時由于參數(shù)設(shè)置的不同，最終的作戰(zhàn)結(jié)果會出現(xiàn)以下五種情況：1）在作戰(zhàn)第一階段作戰(zhàn)三方在一定的時間內(nèi)同時被消滅，此時作戰(zhàn)沒有勝利方。2）在作戰(zhàn)第一階段作戰(zhàn)三方在一定的時間保持穩(wěn)定共存，此時作戰(zhàn)會一直繼續(xù)直到出現(xiàn)影響平衡的第三方因素出現(xiàn)從而改變作戰(zhàn)結(jié)果。3）在作戰(zhàn)第一階段有一方被消滅，到達(dá)第二階段剩余兩方保持穩(wěn)定共存。4）在作戰(zhàn)第一階段有一方被消滅，到達(dá)第二階段有一方被消滅，剩余一方獲勝。5）在作戰(zhàn)第一階段作戰(zhàn)三方中兩方被同時消滅，剩余一方獲勝。

3 多方Lanchester作戰(zhàn)模型

根據(jù)經(jīng)典和三方Lanchester作戰(zhàn)模型，在不考慮自然環(huán)境、士兵士氣、指揮方式、敵我情報、策略、通信等條件下，將參與作戰(zhàn)的部隊分為正規(guī)軍部隊和游擊隊，但兩兩之間互相為敵，建立多方Lanchester作戰(zhàn)模型如下：

假設(shè)參戰(zhàn)部隊有m方正規(guī)軍和n方游擊隊，正規(guī)軍陣地位于開闊地形間，便于其火力的展開，符合Lanchester平方率的適用條件，游擊隊陣地位于山地中且活動范圍較廣受到的攻擊為間接的“面射擊”，符合Lanchester線性率的適用條件，且交戰(zhàn)過程中沒有第三方因素的影響，模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中Ii(t)表示第i方正規(guī)軍在t時刻的部隊規(guī)模；Jj(t)表示第 j方游擊隊在t時刻的部隊規(guī)模；ais和am+j，s表示第s方正規(guī)軍對第i方正規(guī)軍和對第 j方游擊隊的損傷系數(shù)；bil和bm+j，l表示第l方游擊隊對第i方正規(guī)軍和第 j方游擊隊的損傷系數(shù)；yis和 ym+j，s表示第s方正規(guī)軍對第i方正規(guī)軍和第 j方游擊隊的兵力分配系數(shù)；zil和zm+j，l表示第l方游擊隊對第i方正規(guī)軍和第 j方游擊隊的兵力分配系數(shù)。

當(dāng)已知各個參戰(zhàn)部隊的部隊規(guī)模、使用武器與戰(zhàn)略戰(zhàn)術(shù)的情況下，可以使用上述多方Lanchester作戰(zhàn)模型進(jìn)行模擬分析并得到宏觀上的結(jié)果。

4 三方Lanchester作戰(zhàn)模型在游擊作戰(zhàn)應(yīng)用

當(dāng)前形勢下，在中東、非洲等地區(qū)常常存在三方甚至是多方作戰(zhàn)，發(fā)生這種戰(zhàn)爭的起因往往是由于一國國內(nèi)政局動蕩并受到外部勢力的干預(yù)，導(dǎo)致原來國內(nèi)的一些政府軍發(fā)生叛亂變?yōu)榉凑溲b，這些反政府武裝往往會從平民中募集部隊使得反政府武裝往往具有游擊隊性質(zhì)，同時對于一些邊界地區(qū)，其他國家也會派遣部隊爭奪，這就造成了在一個區(qū)域內(nèi)，兩方正規(guī)軍和一方游擊隊的三方作戰(zhàn)。同時，游擊隊的部隊規(guī)模較小，人員素質(zhì)較低，同時武器裝備較弱，在三方作戰(zhàn)中很難取得優(yōu)勢。通過混合戰(zhàn)情況下三方Lanchester作戰(zhàn)模型并對其改進(jìn)，得到游擊隊取勝的臨界條件。

4.1 基于混合戰(zhàn)情況下游擊隊獲勝條件

假設(shè)參戰(zhàn)三方中有兩方為正規(guī)軍，一方為游擊隊且兩方正規(guī)軍部隊規(guī)模不相等但正規(guī)軍所使用的武器裝備相同。同時，不考慮自然環(huán)境、士氣、通信、增援等因素，則根據(jù)式（7）定義參數(shù)：U1(t)=U2(t)=V(t)=0，I1(0)=3，I2(0)=2，a01=a21=1，a02=a12=1，y01=y02=0.3，y10=y20=0.7，z10=z20=0.5，J(0)的取值范圍為[0.1，10]，bi，i=1，2 取值范圍為 [0.5，3]。利用四階隱式Runge-Kutta法并使用Matlab軟件進(jìn)行數(shù)值模擬，仿真結(jié)果如圖1所示。

圖1 游擊隊損傷系數(shù)與部隊規(guī)模臨界曲線

圖1 為通過數(shù)值模擬后得到的游擊隊損傷系數(shù)與部隊規(guī)模臨界曲線，從曲線中可以得到四種區(qū)域，其中紅線下方部分表示較大規(guī)模正規(guī)軍勝利區(qū)域，綠線上方表示游擊隊勝利區(qū)域，紅線與綠線之間表示游擊隊和較大規(guī)模正規(guī)軍同時被消滅區(qū)域，黑線下方表示較小規(guī)模正規(guī)軍和游擊隊同時被消滅區(qū)域。從圖中可以看出，若使得游擊隊在三方作戰(zhàn)中獲得勝利，在與正規(guī)軍損傷系數(shù)相同時需要比較大規(guī)模正規(guī)軍高出1.5倍的部隊規(guī)模，而當(dāng)部隊規(guī)模與正規(guī)軍相當(dāng)時，需要比正規(guī)軍高出1.7倍的損傷系數(shù)，故如果游擊隊不使用合作策略很難取得最后戰(zhàn)斗的勝利。

4.2 基于合作策略的混合戰(zhàn)模型

從上文的可知，游擊隊和規(guī)模較小的正規(guī)軍在三方作戰(zhàn)中很難取得勝利，故引入合作策略，使得兩方在作戰(zhàn)第一階段進(jìn)行合作，建立模型如下：

其中，λ表示游擊隊與正規(guī)軍的不信任因子，其它參數(shù)意義與式（7）相同，λ與游擊隊部隊規(guī)模有關(guān)即：

從模型可知，隨著游擊隊部隊規(guī)模的減小，與正規(guī)軍合作時不信任因子越小，游擊隊與正規(guī)軍合作后因不信任造成的傷亡越小，需要說明的是，不信任因子在式（10）中為常量，即不信任因子的值從游擊隊和正規(guī)軍開始合作起便固定下來，不再改變。在第一階段戰(zhàn)斗結(jié)束后，根據(jù)戰(zhàn)斗結(jié)果，使用經(jīng)典Lanchester方程得到最終三方作戰(zhàn)結(jié)果。

4.3 合作策略的混合戰(zhàn)模型仿真

在保持4.1節(jié)中正規(guī)軍的參數(shù)不變的情況下，假設(shè)游擊隊初始部隊規(guī)模J(0)=1，游擊隊的損傷系數(shù)為bi=0.7，i=1，2。通過圖1可知，此時游擊隊無法取得戰(zhàn)斗勝利，先討論兩種情況，一種為從戰(zhàn)斗開始時游擊隊和正規(guī)軍便合作，此時λ=0.1，另一種為當(dāng)游擊隊部隊規(guī)模為初始規(guī)模的0.5倍時游擊隊和正規(guī)軍開始合作，此時λ=0。使用Matlab對以上兩種情況進(jìn)行數(shù)值模擬仿真。

圖2 λ=0.1時第一階段作戰(zhàn)結(jié)果圖

圖3 λ=0.1時第二階段作戰(zhàn)結(jié)果圖

圖2 和圖3分表示在游擊隊未損傷時即作戰(zhàn)開始時游擊隊便和正規(guī)軍合作的作戰(zhàn)結(jié)果，從模擬的結(jié)果可知，在t=1.4時第一階段結(jié)束，與游擊隊合作的正規(guī)軍被消滅，此時剩余兩方在戰(zhàn)場上，使用經(jīng)典Lanchester混合戰(zhàn)模型，在t=10時，正規(guī)軍被消滅，游擊隊勝利。在使用合作策略的情況下，游擊隊取得了在無策略情況無法取得的勝利。

圖4 λ=0時第一階段未合作時作戰(zhàn)結(jié)果圖

圖5 λ=0時第一階段合作時作戰(zhàn)結(jié)果圖

圖6 λ=0時第二階段作戰(zhàn)結(jié)果圖

圖4 表示游擊隊和正規(guī)軍未合作時的三方戰(zhàn)斗結(jié)果，在時，游擊隊規(guī)模為初始規(guī)模的0.5倍，此時游擊隊與正規(guī)軍合作，不信任因子。圖5表示游擊隊與正規(guī)軍合作后的三方作戰(zhàn)結(jié)果在時，與游擊隊合作的正規(guī)軍被消滅，此時三方作戰(zhàn)轉(zhuǎn)化為兩方作戰(zhàn)，適用Lanchester混合戰(zhàn)模型。圖6表示第二階段的作戰(zhàn)結(jié)果，當(dāng)時游擊隊的部隊規(guī)模趨于0，此時認(rèn)為游擊隊被消滅，戰(zhàn)斗結(jié)束，正規(guī)軍獲得勝利。雖然游擊隊與正規(guī)軍進(jìn)行合作，但由于合作時間選擇失誤，導(dǎo)致在第一階段結(jié)束時較強(qiáng)正規(guī)軍損失較少使得游擊隊在第二階段被正規(guī)軍消滅，說明合作的時機(jī)選定很重要，根據(jù)多次仿真模擬得到當(dāng)游擊隊損耗為初始規(guī)模的0.6倍時與正規(guī)軍合作，此時，在第二階段與正規(guī)軍同時被消滅，此條件為合作策略下游擊隊獲得三方作戰(zhàn)勝利的臨界條件。仿真結(jié)果如圖7、圖8和圖9所示。

圖7 臨界條件下合作第一階段未合作時作戰(zhàn)結(jié)果圖

圖8 臨界條件下合作第一階段合作時作戰(zhàn)結(jié)果圖

圖9 臨界條件下合作第二階段作戰(zhàn)結(jié)果圖

游擊隊若想最終取得三方作戰(zhàn)勝利則必須在其部隊規(guī)模被消耗為初始規(guī)模的0.6倍前與較弱正規(guī)軍合作，超過臨界點(diǎn)合作雖然不信任因子較低，但較強(qiáng)正規(guī)軍在前期作戰(zhàn)保存了大量的部隊導(dǎo)致最后戰(zhàn)斗無法勝利。

5 結(jié)語

對于傳統(tǒng)兩方作戰(zhàn)，三方作戰(zhàn)相對來說更加復(fù)雜，結(jié)果更難預(yù)測，本文建立的三方作戰(zhàn)模型在不考慮自然環(huán)境、士氣、信息、網(wǎng)絡(luò)等因素的影響下，根據(jù)參戰(zhàn)部隊的性質(zhì)確定模型的具體形式，引入兵力分配系數(shù)明確參戰(zhàn)三方的各自的兵力分配情況，使得模型的計算結(jié)果可以更加貼合實(shí)際情況。同時，考慮了基于混合戰(zhàn)的三方作戰(zhàn)中有游擊隊和較弱正規(guī)軍合作的情況，引入不信任因子，并求得了臨界條件，宏觀地預(yù)測了戰(zhàn)爭的最終結(jié)果。并且將三方作戰(zhàn)模型推廣到多方作戰(zhàn)，建立多方Lanchester作戰(zhàn)模型，對于解決多方作戰(zhàn)問題有一定的指導(dǎo)意義。