關節(jié)式同步帶減速機械臂精度分析與優(yōu)化研究*

夏 力，羅路平，徐 琦

(浙江工業(yè)大學 浙江省特種裝備制造與先進加工技術重點實驗室，浙江 杭州 310014)

0 引 言

隨著我國工業(yè)自動化的發(fā)展，裝備生產線對機械臂的需求日益增多。機械臂的運動精度及可靠性直接決定了整條生產線的性能。而在實際工作中，機械臂存在許多類型的不確定性誤差，會引起機械臂精度低、可靠性差、制造成本高等問題。常見的誤差影響因素主要有桿件形變、運動副間隙、磨損等[1]。在機械臂研制過程中，對其影響因素進行分析優(yōu)化，能有效地提高其精度及可靠性。

運動精度是反映機械臂性能的一個重要指標，運動精度可靠性是指機械臂在規(guī)定的使用條件下和規(guī)定的使用期限中，精確、及時、協(xié)調地完成規(guī)定機械動作的能力[2]。近年來，運動精度可靠性受到了國內外學者的廣泛關注:LIU G F, WU J[3]針對潛艇蓄電池日常維護困難的問題，對蓄電池設計的維修設備進行了運動精度分析，從傳輸誤差的原因出發(fā)，對其進行了理論分析、數值計算和實驗分析;XIE Z[4]通過對6自由度機械臂進行運動學和動力學分析，建立運動方程,給出了基于運動參數的精度可靠性分析結果;劉恩等[5]通過建立含加工和裝配的尺寸誤差和間隙誤差的運動誤差模型，結合可靠性理論，對鉚接機械手運動精度可靠性進行了分析；劉桂峰等[6]通過分析誤差產生原因，針對潛艇蓄電池保養(yǎng)機械臂進行了運動精度分析；張永文[7]通過對運動副間隙進行建模，對含間隙可控噴涂機械臂動態(tài)特性及運動可靠性進行了分析。以上研究均以簡單機械臂或者剛性機械臂作為研究對象，對可靠性的影響因素考慮較少，無法詳盡闡述機械臂可靠性的變化機理;同時，針對的大部分是理想狀態(tài)下的模型，不能如實反映對實際的工程狀況，難以為機械臂后續(xù)任務規(guī)劃提供理論支撐。

本文將以關節(jié)式同步帶減速機械臂為研究對象，針對運動過程中剛柔耦合特性，綜合考慮桿長、間隙和同步帶柔性等因素建立可靠性模型；通過機械臂實驗平臺獲取相應參數的可靠性數據，并運用一階二次矩法求解；將模型求解得到的可靠性指標與實驗獲得的可靠性指標對比以驗證模型準確性；基于靈敏度分析對機械臂精度進行可靠性優(yōu)化，以確定機械臂精度參數。

1 機械臂末端誤差模型

關節(jié)式同步帶機械臂運動示意圖如圖1所示。

圖1 機械臂運動示意圖

該機械臂為串聯二自由度機械臂，其最主要的特征是運用同步帶進行減速傳動。同步帶在傳動過程中，無滑動，能保證恒定的傳動比，預緊力小[8]。在實際使用中，有許多因素會影響同步帶的傳動可靠性，如同步帶的彈性伸長、帶輪傳動的多邊形效應、帶輪的偏心等等。除此之外，機械臂大臂小臂受到加工誤差、受載變形的影響、關節(jié)處受到關節(jié)間隙的影響，都會對機械臂的末端位姿造成影響。

理想狀態(tài)下運動學和動力學方程建立如下：

(1)

1.1 桿長模型的構建

在工程應用中，機械臂大臂和小臂的實際長度主要受制造加工誤差和受載后變形量的影響，所以在對機械臂誤差進行分析時，必須將桿長的變化考慮在內。

實際桿長L為：

L=L0+ΔL

(2)

式中：L0—初始桿長；ΔL—桿長形變量。

根據文獻[9-10]，在考慮初始桿長時將其加工誤差默認為服從正態(tài)分布。因此，由中心極限定理可得到初始桿長的分布為：

(3)

(4)

(5)

式中：L0—加工得到的桿件初始長度；uL0—加工得到的桿件尺寸均值；σL0—加工得到的桿件尺寸標準差。

對關節(jié)式同步帶減速機械臂進行分析，將其等效成截面形狀規(guī)則的桿件，可利用材料力學相關原理計算，由胡克定律知：

(6)

式中：FN—桿件在定位時刻的軸向拉力或壓力；E—材料的彈性模量；A—桿件的橫截面積。

對于桿件的變形量ΔL的標準差σΔL可以表示為：

(7)

因此，變形量ΔL服從以下分布：

(8)

由上述分析可得因此實際桿長的分布為：

uL=uL0+uΔL

(9)

(10)

即：

(11)

1.2 關節(jié)間隙的碰撞力模型的構建

關節(jié)間隙是影響機械臂可靠性的重要因素。在機械臂的分析中，對間隙的處理方式主要有無質量連桿方法、彈簧-阻尼法和動量交換法。

關節(jié)式同步帶減速機械臂正常運轉過程中，由于關節(jié)間隙的存在，軸與軸承接觸碰撞過程中會產生接觸碰撞力Fc，關節(jié)間隙模型如圖2所示。

圖2 關節(jié)間隙模型

該接觸力由兩部分組成：分別是切向摩擦力Ft和法向碰撞力Fn，兩力正交。故本研究采用Lankarani-Ni-

kravesh接觸力模型和Coloumb摩擦力模型進行求解[11-12]：

(12)

1.2.1 法向碰撞力模型

本研究采用摩擦模型來描述軸與軸承之間的法向碰撞力，表達式為：

(13)

1.2.2 切向摩擦力模型

間隙的存在會使得機械臂在轉動時產生摩擦力，摩擦力對機械臂的運動特性有影響，因此在建立含關節(jié)間隙機械臂的動力學方程時必須考慮摩擦力。本文中軸與軸承之間沒有潤滑，是干摩擦，筆者使用Coulomb摩擦模型來描述副元素之間的摩擦力，軸與軸承切向接觸摩擦力為：

(14)

式中：f—摩擦系數；σ—sign(vt)，關于vt的符號函數；Ct—切向阻尼系數。

在計算摩擦力時通常忽略切向阻尼，這時有：

Ft=-fσFn

(15)

1.3 同步帶動力學模型的構建

同步帶的傳動誤差主要包含同步帶彈性變形和齒帶輪傳動的多邊形效應、齒帶輪的偏心等[13-14]。在同步帶減速機械臂中，關節(jié)處減速皮帶過多，得到的方程過于復雜，故本研究將模型進行簡化，主要考慮關節(jié)處的同步帶組。同步帶Vogit模型如圖3所示。

圖3 同步帶Vogit模型

在同步帶分析中，本研究將同步帶離散為具有一定數量的具有質量、慣量的單元，通過彈簧阻尼將相鄰兩個帶單元聯結。同步帶離散化模型如圖4所示。

圖4 同步帶離散化模型

本研究將同步帶離散化，分成n個離散系統(tǒng)單元組成的系統(tǒng)，其中每塊代表一個同步帶離散系統(tǒng)單元。根據力的平衡方程，在輸送帶切向有等式：

(16)

上述同步帶系統(tǒng)離散動態(tài)模型方程用矩陣的形式可表示為：

(17)

1.4 機械臂誤差模型的構建

面對關節(jié)式同步帶減速機械臂這一復雜系統(tǒng)，普通的剛性動力學模型已經不能滿足其特征描述的要求，故筆者采用柔性動力學對其剛柔混合的動態(tài)特性進行描述。將前面得到的實際桿長模型、關節(jié)間隙力學模型和同步帶柔性動力學模型進行耦合，得到耦合柔性多體動力學模型[15]。

根據多體理論，將式(11，12，17)代入式(1)中，得出含桿長誤差、關節(jié)間隙和同步帶柔性耦合的動力學方程為:

(18)

本研究采用D-H法對機械臂進行運動學分析，可得到機械臂末端的運動顯示方程為：

(19)

式中：L1，L2—機械臂大臂和小臂的桿長；θ1，θ2—機械臂大臂和小臂的轉角。

本研究將實際桿長模型、關節(jié)間隙力學模型和同步帶柔性耦合的動力學模型式(18)和機械臂運動顯式方程式(19)聯立在一起，可以得到機械臂誤差模型：

(20)

2 機械臂末端精度可靠性分析

2.1 機械臂末端精度極限狀態(tài)函數

設δi為機械臂末端在X，Y軸上的最大誤差，則其可靠性極限狀態(tài)函數為：

Gi(X,Y)=δi-Ei(X,Y)

(21)

式中：δi—X、Y軸的許用誤差；Ei(X,Y)—X、Y軸的誤差值。

由式(20)可知，當機械臂末端位置坐標X、Y已知時，極限狀態(tài)函數中變量為：

2.2 基于一次二階矩的可靠性分析方法

目前，可靠性研究方法主要有蒙特卡洛法[14]，模糊集法[16]。蒙特卡洛法計算量較大，模糊集對變量的假設適用于模糊不確定性的場合，針對機械臂運動過程中的隨機不確定性變量，筆者使用一階二次矩法對運動精度可靠性進行研究[17]。

假設各變量默認為服從正態(tài)分布，本研究使用一階二次矩方法進行可靠性分析，機械臂的運動精度可靠性分析流程如圖5所示。

圖5 可靠性分析流程圖

Δqi=qo-qi

(22)

(23)

(24)

根據實驗獲取考慮間隙與同步帶柔性機械臂的參數誤差統(tǒng)計分布值，即可計算出機械臂運動參數誤差的均值和方差：

(25)

(26)

基于實驗結果，根據式(25，26)可以計算得到任意時刻機械臂任意輸出的運動參數誤差的均值和方差。

設δi為機械臂末端在X、Y軸上的最大誤差，則其可靠性極限方程為：

Gi(X,Y)=δi-Ei(X,Y)

(27)

本研究設定各參數初值，在Matlab中編寫程序，將變量代入程序開始進行迭代計算；當新一代的數值不滿足判定條件時，繼續(xù)進行迭代計算，直到其滿足判定條件，終止程序，獲得可靠度數據β值；將可靠性數據β值代入標準正態(tài)分布表中，查表可得其可靠度。

2.3 實驗平臺的搭建

為了對機械臂的末端精度可靠性進行研究，本文搭建了實驗平臺，對大臂小臂的角度和角速度和末端誤差進行測量，如圖6所示。

圖6 安裝傳感器機械臂圖

實際機械臂選擇在大臂和小臂的驅動電機處進行傳感器的安裝，在機械臂運動的終點在X、Y方向安裝百分表，測得其末端誤差。根據其數據精度和安裝方式，選用上海開地公司的德國CARLEN絕對值編碼器，其采集精度為0.02°。

編碼器參數如表1所示。

表1 編碼器參數

數據采集系統(tǒng)的設計主要根據編碼器的信號進行設計，根據表1可知：編碼器的信號為SSI信號，通過其配套的角度顯示器將信號處理成RS232信號，再通過U-PORT串口數據線將信號導入計算機，使用AccessPort軟件進行信號的接收，最后使用Matlab進行數據處理。

數據采集系統(tǒng)如圖7所示。

圖7 數據采集系統(tǒng)

2.4 實驗結果分析

根據文獻[18]可知，在實驗次數為100組時能較好地反映數據情況，故筆者對機械臂重復進行100組實驗，得到大臂和小臂的角度、角速度以及末端誤差等數據。首先根據誤差模型運用一階二次矩方法求解可靠度，再通過末端誤差根據概率的知識對其進行末端精度可靠度指標求解，可靠度如表2所示。

表2 模型計算和實驗下的機械臂末端精度可靠度

通過對表2模型進行分析可知：模型計算和實驗狀態(tài)下Y軸末端精度可靠性要略高于X軸，并且誤差模型計算得出的X、Y軸可靠度均大于實驗末端誤差直接測量所得的可靠度；X軸方向的可靠度相對誤差為0.19%，Y軸方向的可靠度相對誤差為0.32%，這主要是由于實驗平臺的搭建過程存在一定的裝配誤差、制造誤差以及電機本身的運動誤差。

3 精度可靠性靈敏度分析及優(yōu)化

3.1 精度可靠性靈敏度分析

由于所有變量的分布類型、分布參數都將對可靠度的靈敏程度產生影響，本研究通過可靠性靈敏度分析確定各誤差的分布參數靈敏度程度。筆者用直接微分法進行靈敏度分析。

對極限狀態(tài)函數分別對各變量進行偏導可得：

(28)

并對可靠度靈敏度進行歸一化處理，得到對應靈敏度系數：

(29)

對各個變量進行偏導求得靈敏度系數，如表3所示。

表3 X、Y軸方向誤差源靈敏度系數

3.2 精度可靠性優(yōu)化

基于誤差靈敏度的分析結果，本研究對精度分配進行優(yōu)化設計。

3.2.1 優(yōu)化目標

以降低制造成本為目標，本研究建立機械臂精度分配優(yōu)化模型[19]:

(30)

式中:x—各項誤差源的誤差值(半公差帶的寬度)，x={xi}；αi—公差特征指數，取αi=2；ki—各設計變量的成本權重系數；λi—將轉角誤差綱量同一化為線誤差綱量的系數。

在設計階段，常常還不能定出制造成本的精確數值，但是可以定性估計，本研究以靈敏度系數為成本權重系數。

3.2.2 約束條件

根據極限思想并結合導軌精度等級情況，本研究以超精密精度等級的半公差帶帶寬(xi-min)為下限，以精度設計要求的最大值為上限對單個誤差源取值:

(31)

3.2.3 基于Matlab遺傳算法的精度優(yōu)化

本研究采用Matlab中Optimization Tool工具包對機械臂進行優(yōu)化，在該工具包中選擇Genetic Algorithm進行精度分配優(yōu)化，配置參數:初始種群數為100，適應度尺度按適應度排序并進行迭代，然后雜交為啟發(fā)式算法，雜交概率0.8，遷移為forward，突變選擇默認。精度分配優(yōu)化結果如表4所示。

表4 優(yōu)化后的各參數分布均值

在所有變量中，大臂和小臂的角速度和轉角取值得到不同程度放大，說明按照優(yōu)化前的精度分配偏于保守;精度優(yōu)化后，總體上，靈敏度系數較大的誤差變量得到不同程度的控制，靈敏度系數較小的誤差因素被適當的放大，符合精度分配的思想。

本研究將優(yōu)化前、后的精度分配值代入到誤差模型以及成本模型進行計算，得出優(yōu)化前后可靠度和成本對比如表5所示。

表5 優(yōu)化前后可靠度和成本對比

由表5可知：優(yōu)化后，機械臂的末端X軸和Y軸的精度可靠度達到了99.71%和99.78%，提升了機械臂的總體精度;與傳統(tǒng)的經驗設計相比，成本由優(yōu)化設計前的205.163減至147.869，降低了27.92%；由此可見：該方法在不僅提升了機械臂末端精度可靠度，還有效地降低了制造成本。

4 結束語

(1)根據機械臂桿長、關節(jié)間隙和同步帶柔性3種誤差影響因素，本文分別對其建立了實際桿長模型、關節(jié)間隙碰撞力學模型和同步帶動力學模型，并結合多體柔體動力學理論，建立了耦合柔體動力學模型；

(2)在動力學模型的基礎上，結合機械臂運動學方程推導出機械臂末端誤差方程，建立了關節(jié)式同步帶減速機械臂精度可靠性模型；

(3)通過實驗平臺獲取相應的可靠性數據，并運用一階二次矩法進行可靠性分析，分析結果表明：未優(yōu)化前X軸和Y軸可靠度基于模型計算和實驗測試的相對誤差為0.16%和0.32%，驗證了可靠性模型的準確性；

(4)對機械臂可靠性模型進行了靈敏度分析，大臂和小臂加速度為主要誤差因素，基于分析結果建立了機械臂制造成本為優(yōu)化目標的精度分配優(yōu)化模型，利用Matlab軟件中遺傳算法進行精度分配優(yōu)化設計，結果表明：機械臂經過優(yōu)化后，X、Y軸可靠度分別從97.05%和97.38%提高至99.71%和99.78%，且與經驗設計相比，制造成本降低了27.92%，為機械臂的加工制造提供了依據。