連續(xù)復利錯誤面面觀

一、從六個方面看所謂連續(xù)復利的錯誤

各種教材中關于連續(xù)復利的基本思路和敘述是[1-16]：

設本金為A0，年利率為r，則t年的本利和為

A(t)=A0(1+r)t

(1)

如果每年結算m次，每次計算利率為r/m，則有復利分期計算公式

Am(t)=A0(1+r/m)mt

(2)

令m→+∞，則得所謂連續(xù)復利計算公式

A(t)=A0ert

(3)

而把公式A=A0(1+r)t看作離散的、不連續(xù)的計算公式，一些書中還把這種方法用到了細胞分裂、樹木生長、鐳的衰變、化學反應和國民經濟增長等事物的計算上。

1988年北京科學出版社出版的遠山啟的中文翻譯本《通俗數學》中對由(2)推導(3)說，“當還息的次數無限增多時，其結果就是要在瞬間還利息。即連續(xù)的還利息的復利法。由此，數學家雅科布·伯努利(1654—1705)把它稱為“連續(xù)復利法””[2]，就是說，這種所謂的連續(xù)復利計算存在有300多年了。

我們批駁連續(xù)復利的文章《關于所謂增長率的連續(xù)計算問題》1988年發(fā)表在《數學的實踐與認識》上[13]，30年過去了，這種所謂連續(xù)復利計算仍廣泛存在于經濟數學[1,4,9]、工程經濟學[6]、金融學[7,10]、財務管理[8]、衍生工具[11]等課程教材中，存在于b-s期權定價模型、資金流現值等公式的計算中，1997年諾貝爾經濟學獎授予了b-s期權定價模型的創(chuàng)立和發(fā)展者，b-s期權定價模型中關于連續(xù)復利的應用自然就推進了這種錯誤的流傳，所以就更有必要對這種方法進行一次全面的剖析。

(一)所謂的連續(xù)復利公式推導在數學上不成立

連續(xù)復利公式的推導在數學上是不存在的。

根據A(t)=A0(1+r)t，利用任何數學知識都不能推導出A(t)=A0ert。根據A(t)=A0(1+r)t推導出A(t)=A0ert，就是根據A=A0(1+r)t推導出A(t)=A0ert=A0[1+(er-1)]t，當r=100%時，就是根據A(t)=A0(1+100%)t推導出A(t)=A0et100%=A0[1+(e-1)]t=A0(1+171.828%)t，這當然是錯誤的。

公式(2)中的r為名義年利率，一年計算兩次的半年期的名義年利率與一年計算四次的三個月期的名義年利率的含義是不同的，就是說，一年內計息次數變化，相應的名義年利率的含義也在變化，所以，對(2)求極限的過程就是不斷改變r含義的過程，無論在社會科學還是自然科學中，在推導問題的過程中變換概念含義都是不允許的。

總之，所謂的連續(xù)復利公式的推導在數學上不成立。

(二)所謂連續(xù)復利在計算復利上的構成上是錯誤的

從公式(1)到所謂復利分期計算公式(2)的推導表面上是一步，而人的思維過程實際上有四步，而且這四步都是含糊不清的、甚至是錯誤的。

第一步：沒有說公式(1)中的年利率r與資金連續(xù)增值規(guī)律有沒有關系，沒有說公式(1)能長期廣泛應用是否有合理性。明確的含義反而是，公式(1)用于利息計算不是連續(xù)的、是離散的；在不到一年的時間內是不產生利息的或說是不知道按什么規(guī)律產生利息，特別明確的含義是，公式(1)中的時間變量t不能取連續(xù)實數，公式(1)中的年利率r不是資金隨時間連續(xù)“利生利”的結果。

第二步：將一年分成m次計算，每經過1個1/m年資金總額都有一個增加了的值，m是任意整數，當m=365時，就說明了資金總額每天都在增長，當m=365×24×60×60時，就說明資金總額分分秒秒都在增長，實際上這就已經把利息隨時間增長的計算連續(xù)化了，也只有在資金連續(xù)增值時，這種分期計算才可以進行，這就是毫無根據地、不知不覺中將離散的、不連續(xù)的公式(1)變成了資金總額或利息是連續(xù)增長的了。

第三步：每次計算的利率取為r/m，這是按利率與時間成正比計算，是一種單利思維，這就是在將一年內利息的離散計算變成連續(xù)計算的基礎上，進一步改變成了按單利方式連續(xù)增長，這無疑又是一步錯誤思維。

第四步：將離散的、不連續(xù)的(1)式無根據地改變成按單利方法增長后，實際是在1/m年按單利計算一次得出Am(1/m)=A0(1+r/m)后就又想起來了“利生利”，按復利計算，一年計算m次，一年后的資金總量就是Am(1)=A0(1+r/m)m，t年計算mt次，這就構成了所謂的復利分期計算公式Am(t)=A0(1+r/m)mt，這是又一步的混亂思維。

在構成(2)式四步思維中，每一步的思維都是混亂甚至錯誤的，連續(xù)復利公式(3)就是在這樣混亂、錯誤的基礎上構成的，所以，連續(xù)復利公式(3)是不可能正確的。

(三)所謂的連續(xù)復利公式的推導在經濟應用中不存在

例如，2017年秋中國銀行儲蓄，一年期儲蓄的年利率是0.0175，半年期的(名義)年利率是0.0155，三個月期的(名義)年利率是0.0135，名義年利率rm隨一年中的計息次數m增加而減小，符合銀行儲蓄實際應用的這一公式不是(2)式，而是

Am=A0(1+rm/m)mt

(4)

在其它資金借貸涉及利息計算的工作中，借用期長短，利率的多少，計息方法都是出借方和借入方事先同意的，改變利率、改變資金的借用期、改變利率的計算方法必須經雙方同意。在資金使用權轉讓期間即時雙方同意調整一下利率，由(1)到(2)式這種推導也不存在特別的用處，(2)式表達的數值隨m增大而增大，由(1)推到(2)式的計算為資金的出借方提高了收入，一般來講，借入方是不會同意的，這種從(1)式到(2)式的計算在銀行儲蓄外的其它基本的生活實際中是不存在的。

在銀行儲蓄中，在基本的借貸關系中，由(1)式到(2)式這種計算都是不存在的，由(2)式推導連續(xù)復利公式(3)的含義也就必定不存在。

(四)普通利率本身就是資金連續(xù)地復利的結果

時間變量t以年為單位，復利公式A(t)=A0(1+r)t中的r本身就是資金隨時間連續(xù)不斷地“利生利”的結果。張家開了一個商店，共用資金500000元，其中有李家出的資金100000元，年末算賬，除去管理、勞務、稅收等各項開支外折合資金結余550000元，就是說資金增值是50000元，張家說給李家10%的利息，也就是一次還李家本息共110000元，這當然是可以的。如果張家1月末還李家本息，總額很難說超過101000元；如6個月末還你本息，總額未必能到105000元，李家在年末得到利息率10%就是資金在一年內不斷被反復使用、不斷增值、不斷連續(xù)地“利生利”的結果，是每秒都在以比率0.00000030225%增值，不斷連續(xù)地“利生利”(1+0.0000003022%)365×24×60×60=1+10%的結果。如果沒有資金每分每秒的連續(xù)增值，也就不會有最終的年增值率10%，如再用所謂連續(xù)復利公式A(t)=A0ert將本利和計算成100000e0.1×1=110517元，將年利率10%改變?yōu)?0.517%，這當然是錯誤的。

(五)是否能進行連續(xù)計算取決于事物本身特性而非數學表達式的形式

設某林場有10000立方米的林材，樹木呈指數函數增長，每年林材增加10%，根據A(t)=10000(1+10%)t=10000etln(1+10%)計算得這林場1年末的林材是11000立方米，3年末的林材是13310立方米。而用所謂連續(xù)計算公式A(t)=10000e0.1t計算得1年末是A(1)=10000e0.1×1=11051.7立方米，3年末是A(3)=10000e0.1×3=13498.6立方米，這當然是錯誤的；設某校今年招生10000人，今后每年招生人數增加10%，隨后第一年的招生數就是A(1)=10000(1+10%)1=10000e1×ln(1+10%)=11000人，第三年的招生數就是A(3)=10000(1+10%)3=10000et×ln(1+10%)=13310人，和前面樹木增長問題計算方法和結果完全一樣。樹木是連續(xù)增長的，學校招生數不是隨時間連續(xù)增長的，學校招生數只能是按年計算。這里計算樹木生長問題和學校招生數的問題根本不需要分連續(xù)計算和不連續(xù)計算。

是否能進行連續(xù)計算是由事物本身特性決定的。對如上的林材生長問題，根據需要我們可計算0.7年時的林材量為A(0.7)=10000(1+10%)0.7=10000e0.7×ln(1+10%)=10689.9立方米，但我們不需要，也不能計算今后0.7年時那所學校的招生人數。

在利息類問題的計算中，是否能進行連續(xù)計算取決于具體不同情況下的約定或不同情況下的需要，應用公式A(t)=A0(1+r)t=A0etln(1+r)可選擇時間變量t取連續(xù)實數或整數。一般資金總額是隨時間呈指數函數A(t)=A0(1+r)t=A0etln(1+r)增值的，當知道年利率r后，可用A(t)=A0(1+r)t計算1年、2年后的資金總額。在期權定價問題中，給出年利率r后，還要考慮到如6個月、8個月時資金的價值，這就當是利用A(t)=A0(1+r)t進行連續(xù)計算的問題了，時間變量t就需要取連續(xù)實數；在銀行存款采用一年定期的儲蓄方式時，應用A(t)=A0(1+r)t計算t年后的本利和，t就只能取自然數。

(六)所謂的連續(xù)復利的推導并未實現連續(xù)計算復利

我們注意，(1)式A(t)=A0(1+r)t是不連續(xù)計算公式，是所謂離散的計算公式，(1)式中的t只取整數，但從(1)式到(2)Am(t)=A0(1+r/m)mt式，再到(3)A(t)=A0ert的推導中，只是把一年中的計息次數m看作變量，其余的量都沒有變，就是說，其余字母A0、r、t都是作常數考慮的，從(1)式到(2)式，再到(3)的推導中，一點也沒有改變時間變量t的屬性，也就是說，在(1)式、(2)式和(3)中t都只取整數，在(3)式中中A(t)=A0ert，時間變量t只取整數，即這種推導并未證明出t可取任意實數，沒有達到所謂連續(xù)計算復利的目標。

二、錯誤的連續(xù)復利能長期存在的原因

(一)思維脫離實際當是錯誤的連續(xù)復利能長期存在的一個原因。在此僅舉一例：

在講述由公式(1)到公式(3)的推導過程中，極少有教材講其應用背景，2007年清華大學出版社出版的一本《金融學》中以APR表示分期計算的名義年利率，以EFF表示有效年利率，給出二者有如下關系：

1+EFF=(1+APR/m)m

然后以銀行提供A、B、C三個貸款產品的例子接著的敘述是：

表5-1 年度百分率(APR)與有效年利率(EFF)

“運用上述公式，我們計算A、B、C三個貸款產品的有效年利率。計算結果見表5-1。從表5-1中我們看到，C產品的有效年利率最低，即該種貸款對借款人而言成本最低，所以應當選擇C產品。

當每年計息次數m趨向于無窮大時，即連續(xù)不斷地進行復利時(連續(xù)金融概念)，有：

(5-6)”[7]。

這里存在的問題，一是1+EFF=(1+APR/m)m中分期計算的名義年利率APR的是不是隨一年中的計算次數m變化？如果不變，則表5-1的應用舉例與這個公式不符；如果變化，則這個公式與推導連續(xù)復利公式(3)的(2)式Am(t)=A0(1+r/m)m不符。所謂復利分期計算公式(2)與表5-1 的應用是脫離的：二是，銀行給出A、B、C三個貸款產品是針對了不同用款人的需要，人們在選擇某種產品時，并不是把一年時間的有效年利率的大小作為唯一標準，還要考慮自己用款的時間。比如說，張某需用6個月的貸款，就應當選擇B產品了。該書不分情況地認為“應當選擇C產品”，也是一種脫離實際生活的思維。

(二)盲目崇信權威當是錯誤的連續(xù)復利能長期存在的又一重要原因。

這種所謂連續(xù)復利計算由數學大家提出，在多門課程中流傳，也就產生了對這種連續(xù)復利的牽強的解釋和矛盾的應用。

2009年化學工業(yè)出版社出版的《應用數學》在推導出(3)時說：

“采取連續(xù)復利，則t年后本息合計A(t)=A0ert

等式兩邊微分，得到dA(t)/dt=rA0ert=rA(t)

這表明利率連續(xù)復合時，總金額增長速度和本金數額成正比”[9]。

實際上，只根據t取自然數的約定，從(1)式我們即可求得資金A(t)任何一年的增長量為：

A(n+1)-A(n)=A0(1+r)n+1-A0(1+r)n=A0(1+r)n·(1+r)-A0(1+r)n=A0(1+r)n·(1+r-1)=A(n)·r

這就同樣有結論“總金額增長速度和本金數額成正比”。 由于盲信連續(xù)復利的正確性，于是就產生了對這種連續(xù)復利意義特別牽強的解釋。

2011年中國人民大學出版社出版的《微積分教程》中有例題：

“設今年我國國民生產總值為A0，又設年平均增長率為10%，求10年后的國民生產總值A。

解 由于國民生產總值不是到年底才增長，而是每日每時增長的，因此有A=A0ert，

本例中，r=0.1，t=10，故

A=A0e0.1×10=A0e=2.7183A0

即10年后的國民生產總值為今年的2.7183倍，若按公式A=A0(1+r)t，計算，則A=2.593A0，這個結果不如上面的結果精確。”[12]

這實際上是一道中小學的數學題，答案只能有A0(1+10%)10=2.5937A0，得出任何與此不同的答案都是錯誤的。這里的例題給的答案與極限的應用矛盾，與中小學的數學知識矛盾，產生這錯誤的原因也當是盲信權威、盲信所謂連續(xù)復利法的結果。

三、結論

(一)不論是對連續(xù)計算問題還是不連續(xù)計算問題，對于呈指數函數變化的量都可用A(t)=A0(1+r)t=A0etln(1+r)計算。A(t)=A0(1+r)t與A(t)=A0eat=A0etln(1+r)等價。

由(1)推導(2)再到(3)這種連續(xù)復利計算是錯誤的，國內外教材中關于它的解釋都是錯誤的。A(t)=A0(1+r)t與A(t)=A0ert是不等的指數函數，用任何知識都不能從一個推出另一個。

(二) 對于國民經濟增長問題，有時需要計算例如0.5年、0.8年的國民經濟量，這時的時間變量取非整數值；計算隨時間連續(xù)產生的資金流的現值或終值，需要計算資金連續(xù)的復利，這時時間變量要取連續(xù)實數；期權定價類問題中，也常常要計算資金在幾個月內增值的情況，這時，時間變量要取非整數值。這些計算中，當給出年利率或年增長率后，不論是單獨計算，還是作為構成其它公式、模型的基礎，都只能用公式A(t)=A0(1+r)t計算，用另外的所謂連續(xù)復利公式A(t)=A0ert計算都是錯誤的。在b-s期權定價模型中也用到這種連續(xù)復利[15]，因創(chuàng)立和發(fā)展了b-s期權定價模型，1997年諾貝爾經濟學獎授予了羅伯特·莫頓和邁倫·斯科爾斯，這說明，1997年諾貝爾經濟學獎評委會沒有看到這種連續(xù)復利構成的錯誤，這種連續(xù)復利的錯誤也就隨著b-s期權定價模型的廣泛使用而更廣泛的流傳了。

總之，根據(1)得到(2)式，再推導出(3)式這種連續(xù)復利的講法和用法都是錯誤的，這一錯誤流傳時間很久了。

(河北廣播電視大學，河北 石家莊 050071)