基于多體系統(tǒng)理論的數(shù)控內(nèi)外圓磨床的綜合誤差分析及數(shù)學(xué)模型的建立

（北京工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院，北京 100124）

0 引言

隨著現(xiàn)代制造技術(shù)的不斷發(fā)展和對產(chǎn)品質(zhì)量要求的提高，機(jī)械制造工業(yè)向高精度、高速度、高效率的方向飛速發(fā)展，精密磨削和超精密磨削加工技術(shù)已經(jīng)成為行業(yè)競爭中取得成功的關(guān)鍵技術(shù)。數(shù)控內(nèi)外磨床是大工件磨削機(jī)床和磨削中心，適用于大批量生產(chǎn)，寬廣的加工范圍讓這種磨床可以作為高靈活性多功能的靈活磨床使用。作為加工孔類零件和軸類零件的主要加工工具，數(shù)控內(nèi)外圓磨床的磨削質(zhì)量和精度穩(wěn)定性至關(guān)重要。

本文以多體系統(tǒng)理論[1]為基礎(chǔ)，通過分析熱誤差和幾何誤差之間的相互耦合關(guān)系[2]，對數(shù)控內(nèi)外圓磨床的幾何誤差和熱誤差[3]進(jìn)行分析和研究。

1 數(shù)控內(nèi)外圓磨床結(jié)構(gòu)分析與誤差描述

以某機(jī)床廠的數(shù)控內(nèi)外圓磨床為研究對象，通過三維建模，可建立如圖1所示的機(jī)床三維結(jié)構(gòu)圖，從圖中可以得知，本機(jī)床是以加工外圓為主的數(shù)控磨床，主要有床身、頭架、卡盤、Z向?qū)к?、X向?qū)к壱约盎剞D(zhuǎn)砂輪架等主要部件。按照機(jī)床運(yùn)動規(guī)律，可將其分為“床身-工件”運(yùn)動鏈和“床身-刀具”運(yùn)動鏈兩個分支。如圖1所示，0-1-2為“床身-工件”運(yùn)動鏈；0-3-4-5為“床身-刀具”運(yùn)動鏈。

其中，0為床身；1為卡盤；2為工件；3為Z向?qū)к墸?為X向?qū)к墸?為砂輪。

通過分析可知，對于數(shù)控內(nèi)外圓磨床主要有一個旋轉(zhuǎn)軸（C軸）、移動軸X和移動軸Z?？臻g內(nèi)單個物體具有6個自由度，分別是三個位移和三個轉(zhuǎn)動，因此，此機(jī)床具有9個線位移誤差和9個角位移誤差，另加3個垂直度誤差。具體如表1所示。

表1 數(shù)控內(nèi)外圓磨床幾何誤差參數(shù)

在數(shù)控機(jī)床的加工過程中，幾何誤差和熱誤差是影響加工精度的主要因素。數(shù)控機(jī)床的熱誤差是隨溫度變化的函數(shù)，主要體現(xiàn)在X、Y、Z三個方向上的熱位移。而溫度對于物體的轉(zhuǎn)動誤差影響甚微，故此處不予考慮。通過分析可知，本機(jī)床主要存在以下熱誤差參數(shù)，具體如表2所示。

表2 數(shù)控內(nèi)外圓磨床熱誤差參數(shù)

2 建立數(shù)控內(nèi)外圓磨床綜合誤差模型

為了精確描述機(jī)床的磨削運(yùn)動，需要借助各個運(yùn)動部件的相對運(yùn)動坐標(biāo)變換矩陣，將復(fù)雜的運(yùn)動轉(zhuǎn)換為直觀的數(shù)學(xué)模型。由圖1可知，機(jī)床的兩條運(yùn)動鏈中只包含相對運(yùn)動和相對轉(zhuǎn)動兩種運(yùn)動形式[4]。通過多體系統(tǒng)理論構(gòu)建此機(jī)床的多體系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖，如圖2所示。圖中，P為磨削點(diǎn)，機(jī)床通過兩條運(yùn)動鏈共同作用于點(diǎn)P，由此完成數(shù)控指令到運(yùn)動軌跡的變換。

圖2 數(shù)控內(nèi)外圓磨床拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖

3 建立數(shù)控內(nèi)外圓磨床運(yùn)動學(xué)模型

此數(shù)控機(jī)床由雙層工作臺支撐，可根據(jù)工藝需要加工圓錐、凹槽、內(nèi)外圓等結(jié)構(gòu)，本文研究只針對一種加工工藝的誤差分析，其他加工誤差可以此推演得到。本文以加工外圓為例進(jìn)行誤差建模分析。

設(shè)工件坐標(biāo)系為Ow-XwYwZw，刀具坐標(biāo)系為Ot-XtYtZt，機(jī)床坐標(biāo)系為Oo-XoYoZo，通過以上分析，P是砂輪磨削點(diǎn)，則點(diǎn)P按“床身-工件”分支在慣性體坐標(biāo)系中的位置矩陣表達(dá)式為：

點(diǎn)P按“床身-刀具”分支在慣性體坐標(biāo)系中的位置矩陣表達(dá)式為：

式中：{rw}w為點(diǎn)P在工件坐標(biāo)系Ow-XwYwZw中的位置矩陣表達(dá)式，{rt}t為點(diǎn)P在刀具坐標(biāo)系Ot-XtYtZt中的位置矩陣表達(dá)式。

在機(jī)床加工磨削過程[5]中，工件外圓輪廓是由砂輪和工件之間的相對運(yùn)動復(fù)合而成，砂輪在工件上走出設(shè)計(jì)形狀軌跡，必須嚴(yán)格控制刀具中心的實(shí)際運(yùn)動軌跡總是與刀具路線重合，從而實(shí)現(xiàn)精密加工磨削，因此可得機(jī)床精密加工約束方程為：

4 精密加工約束方程的求解

確立了各運(yùn)動部件之間的相互聯(lián)系之后，進(jìn)而需要明確各個部件之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。首先，對數(shù)控機(jī)床的各個運(yùn)動部件分別建立相應(yīng)的子坐標(biāo)系，然后確定相鄰運(yùn)動體變換矩陣表達(dá)式。首先確定各個坐標(biāo)系的方向和位置，以機(jī)床坐標(biāo)系為基準(zhǔn)方向，床身坐標(biāo)系為慣性坐標(biāo)系，令Z向?qū)к?、X向?qū)к壓涂ūP的體運(yùn)動參考坐標(biāo)系與其相鄰的低序體的體參考坐標(biāo)系重合，工件體參考坐標(biāo)系和主軸參考坐標(biāo)系方向一致，令床身參考坐標(biāo)系繞X軸轉(zhuǎn)過垂直度εyz后的方向?yàn)閆向?qū)к壍捏w參考坐標(biāo)系的方向，Z向?qū)к壏謩e繞Z軸、Y軸轉(zhuǎn)過垂直度εxy、εxz后的方向?yàn)閄向?qū)к壍捏w參考坐標(biāo)系的方向，工件坐標(biāo)系原點(diǎn)位于工件中心，砂輪坐標(biāo)系原點(diǎn)位于砂輪中心，其余坐標(biāo)系原點(diǎn)均位于主軸端面中心處。

根據(jù)數(shù)控機(jī)床相應(yīng)坐標(biāo)系的運(yùn)動特性，建立相鄰體間的變換矩陣。各幾何誤差變換矩陣如下：

在幾何誤差的基礎(chǔ)上，需要加上熱誤差才能得到綜合誤差。熱誤差只考慮X、Y、Z三個方向上的位移誤差，可以體現(xiàn)在不同的變換矩陣上[6]。

將式(1)和式(2)中的相應(yīng)誤差矩陣分別用以上各式進(jìn)行替換，其中，[T01]se替換[S01]se，[T03]se替換[S03]se，[T34]se替換[S34]se，便可得到數(shù)控內(nèi)外圓磨床的綜合誤差變換矩陣。通過對該機(jī)床的運(yùn)動結(jié)構(gòu)的分析和機(jī)床的坐標(biāo)系的設(shè)定和磨削特點(diǎn)可知：

其中，r為工件截面半徑 R為刀具砂輪半徑。

分別將各式代入式(3)中，并略去單位矩陣，運(yùn)用MATLAB求解矩陣相乘并整理消去高階無窮小，可得如下：

在實(shí)際加工過程中，實(shí)際刀具中心點(diǎn)應(yīng)與工件坐標(biāo)系上的理論刀具中心點(diǎn)在任意時刻重合，這是實(shí)現(xiàn)精密加工的必要條件，將上述計(jì)算結(jié)果帶入公式中，即：

便可求出該數(shù)控磨床的精密加工約束方程。在已知精密加工約束方程的情況下，只需對其相關(guān)參數(shù)進(jìn)行測量和辨識，包括幾何誤差和熱誤差兩部分。然后誤差參數(shù)代入建立的刀具路線和數(shù)控指令以及數(shù)控指令和實(shí)際刀具軌跡之間的映射關(guān)系來修正數(shù)控指令以達(dá)到誤差補(bǔ)償?shù)哪康摹?/p>

5 結(jié)論

1）通過對數(shù)控內(nèi)外圓復(fù)合磨床進(jìn)行三維建模，對其進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析，利用多體系統(tǒng)理論對機(jī)床結(jié)構(gòu)進(jìn)行描述，將機(jī)床分為兩個分支、多個部件，確立每個運(yùn)動部件的體參考坐標(biāo)系。

2）通過分析數(shù)控磨床運(yùn)動結(jié)構(gòu)，得出該機(jī)床共有21項(xiàng)幾何誤差和9項(xiàng)熱誤差（忽略熱誤差對轉(zhuǎn)角的影響）。

3）在多體系統(tǒng)理論的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出該機(jī)床各個運(yùn)動部件間的相對運(yùn)動坐標(biāo)變換矩陣，通過分析熱誤差特性，揭示了熱誤差和幾何誤差之間的耦合關(guān)系，進(jìn)一步建立該機(jī)床的綜合誤差數(shù)學(xué)模型，為后續(xù)的誤差補(bǔ)償?shù)於嘶A(chǔ)。