時(shí)間尺度上一類Leslie-Gower捕食模型持久性及概周期解的存在性

李 玲 李建祥

(保山學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 保山 678000)

1 問(wèn)題背景

近年來(lái)，許多專家和學(xué)者研究了具有Holling-type Ⅱ類功能性反應(yīng)的修正Leslie-Gower捕食模型

其中,x(t)表示t時(shí)刻食餌總數(shù)，y(t)表示t時(shí)刻的捕食者總數(shù)，ri(t)，ai(t)，b(t)(i=1,2)都是為非負(fù)連續(xù)的周期函數(shù)，ki(i=1,2)為常數(shù)，具體的生物含義見(jiàn)文獻(xiàn)[1].例如文獻(xiàn)[1]利用線性周期脈沖方程中的Floquet理論研究了上述模型的動(dòng)力學(xué)行為.文獻(xiàn)[2]利用重合度理論和通過(guò)建立合適的Lyapunov函數(shù)得到該系統(tǒng)正解的存在性和全局吸引性等.

1990年，德國(guó)數(shù)學(xué)家Stefan Hilger在他的博士論文中建立了時(shí)標(biāo)理論，即一種連續(xù)和離散計(jì)算的統(tǒng)一方法.考慮到概周期現(xiàn)象較周期現(xiàn)象更為常見(jiàn)、自然界會(huì)受到人類的開(kāi)采等因素的影響以及非自治系統(tǒng)更能精確地描述實(shí)際情況，本文研究時(shí)標(biāo)上具反饋?lái)?xiàng)和Holling-type Ⅱ類功能性反應(yīng)的修正Leslie-Gower捕食模型

(1.1)

其中,t∈Τ，Τ為概周期時(shí)標(biāo)，x(t)表示t時(shí)刻食餌總數(shù)，y(t)表示t時(shí)刻的捕食者總數(shù)，u(t)、v(t)為反饋控制項(xiàng)，ri(t)、ai(t)、b(t)、ci(t)、di(t)、ki(t)、αi(t)、βi(t)(i=1,2)為時(shí)標(biāo)Τ上的非負(fù)有界概周期函數(shù).從生態(tài)學(xué)的角度來(lái)看，假設(shè)系統(tǒng)(1.1)滿足初始條件：x(0)>0，y(0)>0，u(0)>0，v(0)>0.

注1.1 令N(t)=ex(t)，M(t)=ey(t).

當(dāng)Τ=R時(shí)，系統(tǒng)(1.1)具有如下連續(xù)形式：

當(dāng)Τ=Z時(shí)，系統(tǒng)(1.1)具有如下離散形式：

據(jù)我們所知，還沒(méi)有文獻(xiàn)討論過(guò)系統(tǒng)(1.1)的持久性和存在概周期解的問(wèn)題.本文主要目的是利用Lyapunov函數(shù)和微分不等式，得到該系統(tǒng)持久和存在概周期解的充分條件.

通篇假設(shè)：

(H1)ri(t)、ai(t)、b(t)、ci(t)、di(t)、ki(t)、αi(t)、βi(t)(i=1,2)為時(shí)標(biāo)Τ上的非負(fù)有界概周期函數(shù)，即0≤rim≤ri(t)≤riM，0≤aim≤ai(t)≤aiM，0≤bm≤b(t)≤bM，0≤cim≤ci(t)≤ciM，0≤dim≤di(t)≤diM， 0≤kim≤ki(t)≤kiM，0≤αim≤αi(t)≤αiM，0≤βim≤βi(t)≤βiM，i=1,2且-bM，-αiM∈R+.

2 預(yù)備知識(shí)及引理

定義2.1[3]稱時(shí)間尺度Τ是概周期的，如果Π:={τ∈R:t±τ∈Τ,?t∈Τ}≠{0}.

定義2.2[3]令Τ為一概周期時(shí)間尺度.稱函數(shù)f∈C(Τ,Εn)是Τ上概周期的，如果對(duì)于任意給定的ε>0，集合E(ε,f)={τ∈Π:|f(t+τ)-f(t)|<ε,?t∈Τ}是相對(duì)稠密的，即對(duì)任給的ε>0，存在l(ε)>0使得每個(gè)長(zhǎng)度為l(ε)的區(qū)間內(nèi)至少包含一個(gè)τ(ε)∈E(ε,f)使得|f(t+τ)-f(t)|<ε,?t∈Τ.集合E(ε,f)稱為f(t)的ε-移位數(shù)集，稱為f(t)的ε-移位數(shù)，l(ε)>0稱為E(ε,f)的包含區(qū)間長(zhǎng).

定義2.3[4]稱系統(tǒng)(1.1)具有持久性，若存在獨(dú)立于系統(tǒng)(1.1)的解的正常數(shù)mi，Mi(i=1,2,3,4)，使得系統(tǒng)(1.1)的任意解(x(t),y(t),u(t),v(t))T都滿足

引理2.1[5]設(shè)-a∈R+.

引理2.2[5]假設(shè)在Τ×S×S上存在Lyapunov函數(shù)V(t,X,Y)滿足下面的條件：

a(‖X-Y‖0)≤V(t,X,Y)≤b(‖X-Y‖0)，

其中a,b∈K，K={a∈C(R+,R+):a(0)=0，且a是增函數(shù)}；

(2)|V(t,X,Y)-V(t,X1,Y1)|≤L(‖X-X1‖0+‖Y-Y1‖0)，其中L>0是一個(gè)常數(shù)；

(3)D+VΔ(t,X,Y)≤-cV(t,X,Y)，其中-c∈R+，c>0；

此外，如果系統(tǒng)(1.1)存在一個(gè)解(x(t),y(t),u(t),v(t))T∈S，其中S是一個(gè)緊集，則系統(tǒng)(1.1)有唯一的概周期解，且此概周期解還是一致漸近穩(wěn)定的.

3 持久性

在這一節(jié)，利用不等式放縮，我們將研究系統(tǒng)(1.1)的持久性.

從上式可知，對(duì)任給的ε>0，存在t1∈Τ，使得x(t)≤x*+ε，對(duì)于t>t1都成立.因此，當(dāng)t>t1時(shí)

uΔ(t)=d1(t)-α1(t)u(t)+β1(t)ex(t)≤

證明：假設(shè)(x(t),y(t),u(t),v(t))T為系統(tǒng)(1.1)的解.對(duì)任意ε>0，由定理3.1知，存在t2∈Τ，使得x(t)≤x*+ε，y(t)≤y*+ε，u(t)≤u*+ε，v(t)≤v*+ε對(duì)于t>t2都成立.

由系統(tǒng)(1.1)的第一個(gè)方程和條件(H1)得，

定理3.3假設(shè)條件(H1)和(H2)成立，則系統(tǒng)(1.1)是持久的.

推論3.1假設(shè)條件(H1)和(H2)成立，則系統(tǒng)(1.1)對(duì)應(yīng)的連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)也是持久的.

4 概周期解的存在性和穩(wěn)定性

假設(shè)Ω是系統(tǒng)(1.1)的所有解(x(t),y(t),u(t),v(t))T組成的集合，對(duì)于所有t∈Τ滿足x*≤x(t)≤x*，y*≤y(t)≤y*，u*≤u(t)≤u*，v*≤v(t)≤v*.易知，Ω是系統(tǒng)(1.1)的不變集.

定理4.1假設(shè)條件(H1)和(H2)成立，則Ω≠?.

證明：由于ri(t)，ai(t)，b(t)，ci(t)，di(t)，ki(t)，αi(t)，βi(t)(i=1,2)為時(shí)標(biāo)上的概周期函數(shù)，則存在序列{τn}，當(dāng)n→∞時(shí)，有τn→∞，使得ri(t+τn)→ri(t)，ai(t+τn)→ai(t)，b(t+τn)→b(t)，di(t+τn)→di(t)，ki(t+τn)→ki(t)，αi(t+τn)→αi(t)，βi(t+τn)→βi(t)，i=1,2.

由定理3.1和定理3.2，知對(duì)任給的ε>0，存在t0∈Τ，使得當(dāng)t>t0時(shí)，有

x*+ε≤x(t)≤x*+ε，y*+ε≤y(t)≤y*+ε，

u*+ε≤u(t)≤u*+ε，v*+ε≤v(t)≤v*+ε.

記xn(t)=x(t+τn)，yn(t)=y(t+τn)，un(t)=u(t+τn)，vn(t)=v(t+τn)，t>t0-τn，則對(duì)任意的正整數(shù)m，存在函數(shù)序列{xn(t):n≥m}，{yn(t):n≥m}，{un(t):n≥m}，{vn(t):n≥m}，使得它們?cè)跁r(shí)標(biāo)Τ上的任意有限區(qū)間上有收斂子列.為方便起見(jiàn)，其收斂子列依然記為{xn(t):n≥m}，{yn(t):n≥m}，{un(t):n≥m}，{vn(t):n≥m}.

由于ε為任意小的正數(shù)，令ε→0有

定理4.2假設(shè)條件(H1)和(H2)成立，進(jìn)一步假設(shè)(H3)c>0，-c∈R+，

則系統(tǒng)(1.1)存在唯一的概周期解(x(t),y(t),u(t),v(t))T∈Ω，且此概周期解是一致漸近穩(wěn)定的.

證明：由定理4.1知，系統(tǒng)(1.1)有一有界解(x(t),y(t),u(t),v(t))T滿足

0

0

?t∈Τ.

則|x(t)|≤A1，|y(t)|≤A2，|u(t)|≤A3，|v(t)|≤A4，其中A1=max{x*,x*}，

A2=max{y*,y*}，A3=max{u*,u*}，

A4=max{v*,v*}.

對(duì)任意的(x(t),y(t),u(t),v(t))T∈R4，定義范數(shù)

考慮系統(tǒng)(1.1)的乘積系統(tǒng)

(4.1)

在Τ×Ω×Ω上定義Lyapunov函數(shù)

V(t,X,Y)=(x(t)-p(t))2+(y(t)-q(t))2+

(u(t)-w(t))2+(v(t)-z(t))2.

易知范數(shù)

與范數(shù)

‖X-Y‖*=

等價(jià)，即存在常數(shù)C1>0，C2>0，使得C1‖X-Y‖≤‖X-Y‖*≤C2‖X-Y‖.因此，(C1‖X-Y‖)2≤V(t,X,Y)≤(C2‖X-Y‖)2.

此外，對(duì)X1=(x1(t),y1(t),u1(t),v1(t))T，Y1=(p1(t),q1(t),w1(t),z1(t))T有

|V(t,X,Y)-V(t,X1,Y1)|=|(x(t)-p(t))2+

(y(t)-q(t))2+(u(t)-w(t))2+

(v(t)-z(t))2-(x1(t)-p1(t))2-

(y1(t)-q1(t))2-(u1(t)-w1(t))2-

(v1(t)-z1(t))2|≤

|(x(t)-p(t))+(x1(t)-p1(t))|·

|(x(t)-p(t))-(x1(t)-p1(t))|+

|(y(t)-q(t))+(y1(t)-q1(t))|·

|(y(t)-q(t))-(y1(t)-q1(t))|+

|(u(t)-w(t))+(u1(t)-w1(t))|·

|(u(t)-w(t))-(u1(t)-w1(t))|+

|(v(t)-z(t))+(v1(t)-z1(t))|·

|(v(t)-z(t))-(v1(t)-z1(t))|≤

L{(|x(t)-x1(t)|+|y(t)-y1(t)|+

|u(t)-u1(t)|+|v(t)-v1(t)|)+

(|p(t)-p1(t)|+|q(t)-q1(t)|+

|w(t)-w1(t)|+|z(t)-z1(t)|)}=

L{‖X-X1‖+‖Y-Y1‖}，其中L=4max{A1,A2,A3,A4}.

因此，滿足引理2.2的條件(2).

沿系統(tǒng)(1.1)的解計(jì)算V(t,X,Y)的右上導(dǎo)數(shù)得，

D+VΔ(t,X,Y)=[2(x(t)-p(t))+

μ(t)(x(t)-p(t))Δ](x(t)-p(t))Δ+

[2(y(t)-q(t))+μ(t)(y(t)-q(t))Δ]·

(y(t)-q(t))Δ+[2(u(t)-w(t))+

μ(t)(u(t)-w(t))Δ](u(t)-w(t))Δ+

[2(v(t)-z(t))+μ(t)(v(t)-z(t))Δ]·

(v(t)-z(t))Δ.

V1+V2+V3+V4.

利用微分中值定理，有ex(t)-ep(t)=eξ(t)(x(t)-p(t))，ey(t)-eq(t)=eη(t)(y(t)-q(t))，其中ξ(t)介于x(t)與p(t)之間，η(t)介于y(t)與q(t)之間.

則(4.1)可改寫為

則

則有

D+VΔ(t,X,Y)=V1+V2+V3+V4

因此，滿足引理2.2的條件(3).故系統(tǒng)(1.1)有唯一的一致漸近穩(wěn)定的正的概周期解.

推論4.1假設(shè)條件(H1)、(H2)和(H3)成立，則系統(tǒng)(1.1)對(duì)應(yīng)的連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)有唯一的正的概周期解，且這個(gè)概周期解是一致漸近穩(wěn)定的.

5 例 子

例5.1考慮如下系統(tǒng)