積分因子在兩類線性微分方程中的應(yīng)用

楊 青

（正德職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 南京 211106）

一、引言

在常微分方程的學(xué)習(xí)過程中，教材基本上是根據(jù)不同的微分方程類型，分別給出了相應(yīng)的通解的求法和步驟，比對(duì)不同的方法，可以看出積分在各種題型中的重要性。對(duì)比閱讀了相關(guān)文獻(xiàn)，嘗試從積分因子入手，將待解微分方程降階，巧解一些微分方程，并以此建立一些適用的公式幫助解題。

二、積分因子在一階非齊次線性微分方程的應(yīng)用

一階非齊次線性微分方程的一般形式是：

高等數(shù)學(xué)教材中大多采用常數(shù)變易法，若p(x)作為連續(xù)函數(shù)是可積的，那么經(jīng)過化簡(jiǎn)和計(jì)算就可以求出它的通解為：

分析給出的通解，使用了多次積分，同時(shí)考查了積分運(yùn)算的技巧，從而增大了解題的難度，為了避免這一問題的出現(xiàn)?？梢試L試引用積分因子進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用積分與微分互逆的關(guān)系，將導(dǎo)數(shù)的乘法和除法運(yùn)算公式展開，從而發(fā)現(xiàn)引入了積分因子，不僅減少了積分的次數(shù)，還能保證解題的質(zhì)量。

若存在非零可導(dǎo)函數(shù)f（x）和連續(xù)函數(shù)g（x），有

推論1.1若方程(2)中的連續(xù)函數(shù)g（x）＝f′（x），則一階非齊次線性微分方程(3)的通解可以化簡(jiǎn)為

亦可換一種思路，假設(shè)同樣存在非零可導(dǎo)函數(shù)f（x）和連續(xù)函數(shù)g（x），有

同理可得即

此時(shí)y′和y項(xiàng)的系數(shù)也分別滿足f（x）和f′（x）的關(guān)系，由此便有以下結(jié)論。

推論2.1若方程(2)中的連續(xù)函數(shù)g（x）＝f′（x），則一階非齊次線性微分方程(6)的通解可以化簡(jiǎn)為y＝f（x）［f（x）+C］

因此在解答一階非齊次線性微分方程的過程中，只需根據(jù)方程(1)中的p（x），推導(dǎo)出f（x）的表達(dá)式，試算y′和y項(xiàng)的系數(shù)是否存在f（x）和f′（x）的關(guān)系，若滿足，特別是遇到g（x）又可以化簡(jiǎn)成與f′（x）相關(guān)的形式，計(jì)算顯然更加便捷。

解：將該微分方程化簡(jiǎn)為xy′+y＝ex

可以令f（x）＝x，且有f′（x）＝1，

解：將該微分方程化簡(jiǎn)為（cos x）y′+（-sin x）y＝sin x cos2x，可以令f（x）＝cos x，且有f′（x）＝-sin x，

代入通解公式y(tǒng)＝f（x）［f（x）+C］，

得通解y＝-cos2x+Ccos x

三、積分因子在二階變系數(shù)非齊次線性微分方程中的應(yīng)用

若有(8)和(9)相等，可以比較y′和y項(xiàng)的系數(shù)有

當(dāng)二階變系數(shù)非齊次線性微分方程中的p（x）和q（x）符合(10)的關(guān)系，便可以此微分方程簡(jiǎn)化，同時(shí)得

即

利用這種方法巧算二階變系數(shù)非齊次線性微分方程，避免了計(jì)算通解時(shí)既要算相應(yīng)的齊次方程的通解，又要算原微分方程的特解問題，而是直接利用積分因子將復(fù)雜的微分方程按照降階思想進(jìn)行計(jì)算，只需尋找合適的就可以解決一類微分方程的問題。

解：將該微分方程中 p（x）＝4x，q（x）＝4x2+2，滿足（10），有f1（x）＝-2x，且有f1′（x）＝-2，

代入通解公式

四、結(jié)論

不少文獻(xiàn)記載了積分因子的作用，在求解微分方程的過程中，顯現(xiàn)出了優(yōu)勢(shì)。本文利用了導(dǎo)數(shù)的積和商的求導(dǎo)法則，進(jìn)一步證明了積分因子的形式和作用。深入探討積分因子在二階變系數(shù)非齊次線性微分方程中的實(shí)用性，巧妙的繞開了求通解的繁瑣計(jì)算過程，簡(jiǎn)化了解題的難度和復(fù)雜的程度，讓學(xué)習(xí)者有信心解答問題。當(dāng)然如果將積分因子引入更高階的微分方程的運(yùn)算也是可以的，只是在推導(dǎo)的過程中會(huì)更加繁雜，同時(shí)文中的推導(dǎo)思路還需要完善，擴(kuò)大應(yīng)用的范圍，便于學(xué)習(xí)者更易掌握。