輕繩連接體的速度和加速度

黃 晶 邱為鋼

(1杭州學(xué)軍中學(xué), 浙江 杭州 310012； 2湖州師范學(xué)院求真學(xué)院公共教研部，浙江 湖州 313000)

在中學(xué)物理競賽訓(xùn)練題和大學(xué)物理力學(xué)題目中，有一類輕繩連接體問題，求繩上連接體速度和加速度關(guān)系。最典型的是繩拉小船問題[1-3]，人以恒定速率拉小船，那么小船的速度和加速度是多少？還有1類題目是多個物體通過滑輪和繩子相連，運(yùn)動過程中輕繩始終保持繃緊，那么這些連接體的速度以及加速度有什么關(guān)系?[4-6]。一個常見的結(jié)論是，如果只有兩個物體，那么這兩個物體在繩子方向上的速度分量大小相等，但加速度分量大小不一定相等[4]，不可能同時為零[5]。對于多個物體, 繩子兩端速度差在繩子方向上的投影(分量)之和為零, 加速度也如此,前提條件是繩子方向不變[6]。解決這類連接體速度和加速度問題, 中學(xué)物理競賽輔導(dǎo)讀物上主要是應(yīng)用加速度分解法和投影法，但這種二級結(jié)論需要前提條件，即兩物體的距離不變。我們發(fā)現(xiàn)，簡單利用力學(xué)定義概念和求導(dǎo)計算，就能得到一般的結(jié)論，且能簡化并推廣一些所謂的物理難題。本文主旨并不是要求中學(xué)生記住文中公式并用來解題，而是給出處理這種難題的另一種思路，開闊他們的視野。

1 引理

首先證明一個結(jié)論，取合適的坐標(biāo)系，設(shè)物體都是小環(huán), 在繩上能自由移動。第i個物體的坐標(biāo)是ri(t)，離它最近的靜滑輪(可能有兩個，所以有兩個下標(biāo))坐標(biāo)是qij, 如圖1所示。

圖1 多個物體(小環(huán))通過滑輪和繩子連接

運(yùn)動過程中繩子始終保持繃緊，繩子總長度是時間的函數(shù)

(1)

這個約束條件對時間t求導(dǎo)一次和兩次，就能得到各個連接體速度和加速度關(guān)系式。利用以下結(jié)論

(2)

定義物體相對最近靜滑輪單位方向為

(3)

式(1)兩邊對時間求一次導(dǎo)數(shù)，計算化簡得到

(4)

式(4)意味著各個連接體速度沿相對最近靜滑輪方向分量之和為繩子總長伸縮的速度。如果只有兩個物體，且繩子總長度不變，那么兩個物體在繩子方向上的速度分量大小相等。式(4)兩邊繼續(xù)對時間求導(dǎo)，計算化簡得到

(5)

(1-2)2+(a1-a2)·(r1-r2)=0

(6)

式(6)就是不少物理競賽輔導(dǎo)讀物上的所謂加速度投影法，前提條件是兩點之間的距離不變。如果只有一個物體通過一個不可伸長的繩子聯(lián)系，式(5)化為

(7)

式(7)就是物理教材上物體做圓周運(yùn)動徑向加速度和向心加速度的關(guān)系式。

2 應(yīng)用

第1節(jié)的式(4)和式(5)可以用來求解繩連接物體速度，加速度和繩中張力問題。先取定一個直角坐標(biāo)系，把各個物體的速度和加速度，以矢量的分量形式表示出來，然后代入式(4)和式(5)，利用已知條件，求未知量。下文中的3個例子,都是中學(xué)物理競賽輔導(dǎo)讀物中的經(jīng)典例子, 為了討論方便, 拉繩速度和桿轉(zhuǎn)動角速度都是勻速的, 沒有進(jìn)一步去考慮加速度和角加速度。我們作了推廣,考慮到這兩個因素, 給出主要推導(dǎo)過程，不過沒有給出各個物體速度和加速度的最終表達(dá)式。如果把一些幾何和物理量取特殊值或者容易計算的值，就能改變?yōu)橹袑W(xué)生物理競賽模擬題。

2.1 轉(zhuǎn)動桿連線模型

第一個是文獻(xiàn)[4]中的問題，桿的長度是L，桿是變速轉(zhuǎn)動的。如圖2所示(來自文獻(xiàn)[4])物體C和物體A(桿的端點)，通過一個繩子和靜滑輪聯(lián)系起來。設(shè)B處滑輪為原點，水平方向為x軸，垂直向上的方向是y軸。此時角速度是ω，角加速度是χ。物體C的速度是C=(0,v)，加速度是aC=(0,a),相對最近定滑輪的單位方向是nC=(0,-1)。物體A的速度是A=ωL(cosα,-sinα),加速度是切向加速度和法向加速度的矢量和aA=χL(cosα,-sinα)-ω2L(sinα,cosα),相對最近定滑輪的單位方向是nA=(sinθ,-cosθ)。把這些速度和加速度的表達(dá)式代入到式(4)和式(5)，再利用△ABO邊長和角度關(guān)系，計算得到物體C的加速度大小是

(8)

圖2 轉(zhuǎn)動桿連線問題

2.2 兩物體一滑輪模型

圖3 兩物體一滑輪問題

第二個例子來自文獻(xiàn)[7],在豎直墻上同一高度釘兩個釘子，左邊釘子上系一根不可伸長的輕線，線上內(nèi)套一個有質(zhì)量的小環(huán)，線的另一端跨過右邊釘子，在線的自由端上掛一個物體，如圖3所示。在開始位置，兩個釘子之間線呈水平，小環(huán)處于線上任意位置，小環(huán)和物體初速度為零。求小環(huán)經(jīng)過最低點時的加速度。這個問題中，右邊釘子看作靜滑輪。文獻(xiàn)[7]中的原題是經(jīng)過平衡位置，但平衡位置是否能到達(dá)，與初始條件有關(guān)，另文探討。

設(shè)小環(huán)質(zhì)量為m1，物體質(zhì)量為m2。兩個釘子間的距離是l。小環(huán)豎直方向上下降距離h, 達(dá)到最低點時，左邊繩子長度是l1，與水平方向夾角是α，右邊繩子長度是l2，與水平方向的夾角為β。以水平方向為x軸，垂直向上的方向是y軸。當(dāng)小環(huán)滑到最低點時，小環(huán)的速度為1=(v,0)，加速度為a1=(a1x,a1y)，相對最近兩個滑輪的單位方向分別為n11=(cosα,-sinα)，n12=(-cosβ,-sinβ)。物體的速度為2=(0,u)，加速度為a2=(0,a2y)，相對最近滑輪的單位方向為n2=(0,-1)。代入連接體的速度關(guān)系式(4)，計算得到

u=v(cosα-cosβ)

(9)

還需要一個條件來確定兩個物體速度的值，這個條件就是機(jī)械能守恒：

(10)

由式(9),式(10)可以求出小環(huán)達(dá)到最低點時兩個物體的速度。把以上的速度和加速度表達(dá)式代入式(5)，得到

(11)

式(11)中有3個未知量，小環(huán)的兩個加速度分量和物體的豎直方向的加速度，還需要找到另外兩個方程?？雌饋碚也坏剑贿^考慮到繩子中張力，兩個物體貢獻(xiàn)3個牛頓第二定律方程，小環(huán)水平和豎直方向和物體豎直方向。這樣4個未知量，4個方程，就能解出來了。設(shè)小環(huán)達(dá)到最低點時，繩子中的張力為T, 那么由牛頓第二定律，可以得到以下3個方程：

聯(lián)列求解式(11)～(14)，就能得到繩子中的張力T和物體的加速度。

2.3 繩拉物體模型

圖4 一物體一滑輪問題

第三個例子來自文獻(xiàn)[8]，如圖4所示。有一個質(zhì)量為m的質(zhì)點B，一端通過長度不變的繩子系在A點，另一端通過長度變化的繩子繞過C點的滑輪。A、C位于同一水平線上。某人握住繩的自由端，以隨時間變化的速率v(t)收繩，當(dāng)繩收至如圖位置時，質(zhì)點B兩邊的繩子與水平線的夾角分別為α和β，求這時人收繩的力。

AB之間的繩子長度不變，BC之間繩子長度在變化，這樣式(4)和式(5)要各用兩次。設(shè)物體B的速度是=(v1,v2)，加速度是a=(a1,a2)，相對A點的單位方向是nA=(cosα,-sinα)，相對C點的單位方向是nC=(-cosβ,-sinβ)。代入到連接體的速度關(guān)系式(4)，計算得到

(15)

代入連接體的加速度關(guān)系式(5)，計算得到

由式(16)～(17)，可以求得物體B的加速度。設(shè)AB和BC兩個繩子上的張力分別為T1和T2，那么由牛頓第三定律，得到

由式(18)～式(19)，可以求得兩個繩子中的張力。

3 結(jié)語

對于輕繩連接體的速度和加速度, 中學(xué)物理和大學(xué)物理的處理方式不一樣。中學(xué)主要是利用一些二級結(jié)論, 對各個問題作具體分析, 需要很強(qiáng)的技巧性, 譬如區(qū)分相對那個物體的切向和徑向(加)速度, 然后疊加起來。不過有些二級結(jié)論是有前提條件的, 不分析清楚就用,會出現(xiàn)問題的。大學(xué)物理則是假設(shè)物體的速度和加速度存在(一般在直角坐標(biāo)系中), 然后代入到約束關(guān)系以及它的后續(xù)關(guān)系中, 再計算得到這些(加)速度的值, 基本不需要技巧性。不過本文第2節(jié)中3個例子, 都是討論特定位置或者特定時刻物體的(加)速度和繩中的張力, 如果要討論整個運(yùn)動過程中這些物理量隨時間的變化關(guān)系, 即從特殊情形到一般情形, 就要用分析力學(xué)中的一些知識。以本文3個模型為例, 寫出體系動能和勢能表達(dá)式, 體系的拉氏量就是動能減去勢能。幾何約束關(guān)系乘以一個拉氏因子(物理意義是繩中張力), 加入到拉氏量中去。由拉氏量得到拉氏方程, 加上初始條件，數(shù)值求解這些微分方程,就能得到整個過程中物體(加)速度和繩子張力隨時間變化的表達(dá)式。限于篇幅，不再詳述。