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    基于廣義位移法的薄壁結(jié)構(gòu)超單元建模方法

    2018-12-26 07:55:30王志瑾KretovAnatolii
    關(guān)鍵詞:計(jì)算精度錐度薄壁

    原 瀟,王志瑾,夏 津,Kretov Anatolii

    (1. 南京航空航天大學(xué),飛行器先進(jìn)設(shè)計(jì)技術(shù)國防重點(diǎn)學(xué)科實(shí)驗(yàn)室,南京,210016;2. 上海機(jī)電工程研究所,上海,201109)

    0 引 言

    飛行器結(jié)構(gòu)中廣泛采用大長細(xì)比的薄壁梁結(jié)構(gòu)型式,如機(jī)身、機(jī)翼。對類似結(jié)構(gòu)進(jìn)行準(zhǔn)確的強(qiáng)度計(jì)算分析是非常復(fù)雜并且耗時(shí)耗力的事情。在計(jì)算機(jī)技術(shù)出現(xiàn)之前,要對這樣的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析計(jì)算,經(jīng)常采用一系列假設(shè),通過工程模型得到近似解。隨著計(jì)算技術(shù)和數(shù)值計(jì)算方法的快速發(fā)展,解析法和近似法逐漸被有限元方法取代。采用有限元方法對結(jié)構(gòu)進(jìn)行應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析前,一般先對結(jié)構(gòu)進(jìn)行必要的簡化,建立等效的有限元數(shù)學(xué)模型[1,2]。然而,有限元模型中包含大量的結(jié)構(gòu)信息數(shù)據(jù),在初始設(shè)計(jì)階段,無法給出完整的結(jié)構(gòu)信息。另外,在結(jié)構(gòu)選型階段,還需要通過初始的計(jì)算分析對結(jié)構(gòu)布置提供參考依據(jù)。因此,建立簡單、高效、可靠并有足夠計(jì)算精度的數(shù)學(xué)模型仍然是非常必要。

    在超單元法中,整體結(jié)構(gòu)被分為若干個(gè)超單元,每個(gè)超單元可以視為一系列有限元素的集合。超單元法通過對系統(tǒng)自由度進(jìn)行減縮,從而大幅減少計(jì)算量,適用于大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的分析[3]。Guyan[4]將結(jié)構(gòu)自由度分為主自由度和副自由度,通過強(qiáng)制忽略副自由度的影響,對剛度矩陣和質(zhì)量矩陣進(jìn)行縮聚,適用于靜力分析和低階模態(tài)分析;陳國平[5,6]將界面自由度和內(nèi)部自由度均進(jìn)行減縮,提出了適用于結(jié)構(gòu)動特性分析的超單元法;在靜力學(xué)領(lǐng)域,Ireneusz Kreja[7]提出一種梁超單元,適用于具有對稱開剖面的薄壁梁結(jié)構(gòu);康龍輝[8]提出了適用于恒定截面薄壁結(jié)構(gòu)靜力分析的超單元法,但只適用于無錐度的薄壁結(jié)構(gòu)。

    本文針對具有錐度的薄壁梁結(jié)構(gòu),基于橫截面內(nèi)剛性假設(shè),將節(jié)點(diǎn)位移縮聚為廣義位移,對于3種簡化模型分別推導(dǎo)出超單元?jiǎng)偠染仃?,通過Matlab編寫相應(yīng)求解程序。通過3個(gè)算例結(jié)果與有限元結(jié)果的對比,驗(yàn)證了該方法的準(zhǔn)確性和有效性。

    1 薄壁梁中的超單元法

    薄壁梁結(jié)構(gòu)一般由板、桿組成,可以有任意橫剖面形狀,其典型外形特征是大長細(xì)比的圓柱或錐形殼體。結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)條件是滿足強(qiáng)度和剛度要求下結(jié)構(gòu)重量最輕。飛機(jī)機(jī)翼、機(jī)身,飛行器機(jī)體都是具有這種特征的薄壁梁結(jié)構(gòu),它們主要由橫向構(gòu)件(翼肋或框)、縱向構(gòu)件(梁緣條、桁條)、腹板及蒙皮組成,如圖1所示。為了建立計(jì)算模型,在橫向構(gòu)件處引入與xy面平行的剖面,共(c+1)個(gè)。這樣,長度為 l的薄壁梁就由順序相連的c個(gè)單元組成,每個(gè)單元的長度為le。每個(gè)橫剖面同 z軸的交點(diǎn)就是廣義節(jié)點(diǎn),兩個(gè)橫剖面之間的一段結(jié)構(gòu)實(shí)際上就是在兩個(gè)剖面上具有廣義位移的超單元。在對超單元進(jìn)行分析時(shí),忽略了橫向構(gòu)件,只考慮桁條、蒙皮、腹板的力學(xué)行為,并將桁條(緣條)等效為n個(gè)桿單元,蒙皮、腹板等效為m個(gè)板單元。

    圖1 典型薄壁梁結(jié)構(gòu)模型Fig.1 Typical Thin-walled Beam Structure Model

    續(xù)圖1

    根據(jù)計(jì)算精度從低到高,假設(shè)每個(gè)橫剖面從絕對剛性到自由變形。假定每個(gè)剖面上的面內(nèi)廣義位移函數(shù)為:?1(z),?2(z),…,?M(z),面外廣義位移函數(shù)為:ψ1(z),ψ2(z),…,ψN(z)。其中 M、N的值根據(jù)計(jì)算精度要求選取,且Mmin=3,Mmax=m;Nmin=3,Nmax=n。剖面上任意節(jié)點(diǎn)k的位移分量可以表示為

    式中 z為與橫剖面垂直的坐標(biāo)軸;s為與橫剖面輪廓相切的方向;函數(shù)?(z),ψ(z)為尋找的廣義位移列向量,僅與坐標(biāo)z相關(guān)。橫向和縱向分布函數(shù)J(s),r(s)為廣義坐標(biāo)s的函數(shù)。

    2 超單元?jiǎng)偠染仃?/h2>

    2.1 無錐度結(jié)構(gòu)

    直翼盒模型如圖2所示。蒙皮和腹板簡化為受剪板,縱向筋條受軸向拉壓。

    圖2 直翼盒模型示意Fig.2 Diagram of Straight-wing Box Model

    模型中,M=3,N=n,即每個(gè)截面具有平面內(nèi)分別沿x軸和y軸的平動自由度?1,?2,繞z軸的轉(zhuǎn)動自由度?3以及 n個(gè)節(jié)點(diǎn)分別沿 z軸的平動自由度ψ1,ψ2,ψ3,…,ψn。相應(yīng)地,?1,?2,?3分別對應(yīng)于截面上的廣義集中力 Qx,Qy,Mz,ψ1,ψ2,ψ3,…,ψn對應(yīng)的廣義力為作用在相應(yīng)節(jié)點(diǎn)的沿z軸方向的集中力Z1,Z2,Z3,…,ZN。

    由于結(jié)構(gòu)沒有錐度,所以每根桿的長度相同,且桿軸向與整體坐標(biāo)系 z軸平行,故沿桿軸向的積分可以轉(zhuǎn)換為沿 z軸的積分,同時(shí)可以交換積分與求和的順序。

    對第i根縱向筋條:

    對第j塊板:

    式中 Sj為第j個(gè)板單元沿著s方向的長度;vje和vjb分別表示板單元末端節(jié)點(diǎn)和起始端節(jié)點(diǎn)在 z軸方向上的位移。

    寫出由n個(gè)桿單元和m個(gè)板單元組成的第e個(gè)超單元的應(yīng)變能和外力功并進(jìn)行變分,以矩陣形式表示如下:

    在一個(gè)超單元范圍內(nèi),認(rèn)為可能的位移及虛位移?(z)、ψ(z)、δ?(z)、δψ(z)符合線性變化規(guī)律,即:

    將式(9)代入式(7),根據(jù)線性位移假設(shè)進(jìn)行積分。根據(jù)能量原理:δAe=δUe,經(jīng)過整理得到:

    對于小錐度結(jié)構(gòu),需要對式(11)中的廣義力向量進(jìn)行修正:

    得到單個(gè)超單元的剛度矩陣后,按照圖3所示的方式進(jìn)行組集,即可以得到整個(gè)結(jié)構(gòu)的剛度矩陣。

    圖3 面內(nèi)剛性假設(shè)下小錐度結(jié)構(gòu)剛度矩陣組裝Fig.3 Assembly of Stiffness Matrix of Small Taper Structure under the Assumption of Cross-section Rigidity

    2.2 梯形平面正應(yīng)力板

    實(shí)際計(jì)算時(shí),當(dāng)無錐度或者結(jié)構(gòu)錐度很小時(shí),符合2.1節(jié)中對應(yīng)的情況,當(dāng)錐度較大時(shí),就必須有另外的方法。

    與此相關(guān)的主要問題就是要求解四邊形板的剛度矩陣。借助有限元中的經(jīng)典方法,用4個(gè)三角形代替四邊形,如圖4所示。

    圖4 大錐度盒段模型示意Fig.4 Diagram of Large Taper Box Segment Model

    在局部坐標(biāo)系下桿元的剛度矩陣[9]為

    在局部坐標(biāo)系下,對 4個(gè)三角形單元?jiǎng)偠染仃嚱M集,就得到四邊形單元的剛度矩陣,它有5個(gè)節(jié)點(diǎn):

    由于中心5號節(jié)點(diǎn)沒有節(jié)點(diǎn)力,根據(jù)此條件,基于式(15),可以得到5號節(jié)點(diǎn)位移與其余4個(gè)節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系,進(jìn)一步得到4節(jié)點(diǎn)四邊形平面應(yīng)力板的剛度矩陣:

    對節(jié)點(diǎn)力和位移進(jìn)行坐標(biāo)矩陣變換,就將剛度矩陣從局部坐標(biāo)變換成了總體坐標(biāo)。

    對于桿:

    對于板:

    根據(jù)上一步結(jié)果,基于節(jié)點(diǎn)力平衡原則,將 n根桿和m塊板的剛度矩陣在整體坐標(biāo)系下進(jìn)行組集,得到第e個(gè)超單元以有限元法為基礎(chǔ)的剛度矩陣,即:

    式中 ue,ue+1分別對應(yīng)于 e和 е+1剖面的位移向量;Fe,F(xiàn)e+1為相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)力向量。

    將超單元兩端面的真實(shí)位移轉(zhuǎn)換成廣義位移:?e、ψe和?e+1、ψe+1分別為剖面 e和 e+1的廣義位移向量;Re、Ze和Re+1、Ze+1分別為剖面e和e+1的廣義力向量。

    在超單元剖面上,真實(shí)位移和廣義位移之間、廣義力和真實(shí)力之間的關(guān)系分別為

    式中 Т為位移轉(zhuǎn)置矩陣;λ為力轉(zhuǎn)置矩陣。

    且有:

    最終,對每個(gè)超單元,有以下表達(dá)式:

    式中 KF_p為對應(yīng)于節(jié)點(diǎn)力、節(jié)點(diǎn)位移的剛度矩陣;KS_p為對應(yīng)于超單元廣義力、廣義位移的剛度矩陣。

    由于每一個(gè)剖面只有 3個(gè)面內(nèi)自由度,N個(gè)面外自由度,則通過真實(shí)位移向廣義位移轉(zhuǎn)換,超單元的剛度矩陣階數(shù)由 6n×6n降為 2(3+N)×2(3+N)。

    2.3 梯形受剪板

    2.2 節(jié)中超單元?jiǎng)偠染仃嚨挠?jì)算工作量很大,對于需要多次迭代的設(shè)計(jì)和優(yōu)化過程不方便也不可取?;诖?,設(shè)想用更簡單的方法形成板的剛度矩陣,假設(shè)此時(shí)板只受剪切。

    梯形受剪板如圖5所示,其板厚為t,剪切彈性系數(shù)為G。取梯形板4個(gè)角點(diǎn)為節(jié)點(diǎn),分別記為1、2、3、4。圖中表示節(jié)點(diǎn)i的節(jié)點(diǎn)力。

    圖5 受剪梯形板剛度矩陣簡化方式Fig.5 Simplified Method of Stiffness Matrix of Shear Trapezoidal Plate

    文獻(xiàn)[9]中給出了梯形受剪板在整體坐標(biāo)系下的剛度矩陣:

    其中,

    類似于2.2節(jié),每一超單元的剛度矩陣由n根桿和m塊板的剛度矩陣按照節(jié)點(diǎn)力平衡原則進(jìn)行組集,然后通過廣義坐標(biāo)變換得到。

    式中 KF_sp為對應(yīng)于節(jié)點(diǎn)力、節(jié)點(diǎn)位移的剛度矩陣;KS_sp為對應(yīng)于超單元廣義力、廣義位移的剛度矩陣。

    3 不同模型的計(jì)算比較

    3.1 四梁盒段

    盒段的形狀、尺寸、載荷如圖6所示,材料為鋁合金,彈性模量E=72 GPa,泊松比μ=0.33。

    圖6 算例1模型示意Fig.6 Diagram of Example1 Model

    模型1、模型2和模型3是分別對應(yīng)2.1,2.2,2.3節(jié)所提出的建模方法,采用Matlab語言編寫相應(yīng)程序得到的計(jì)算結(jié)果。為了便于比較,也利用通用有限元軟件ABAQUS對該算例進(jìn)行了計(jì)算。式(28)為本算例采用虛力原理得到的解析解[10]。

    式中 第1項(xiàng)為彎曲引起的變形,第2項(xiàng)為剪切引起的變形。

    圖7給出了采用各種計(jì)算模型和方法所需的計(jì)算時(shí)間(以ABAQUS為基準(zhǔn))。采用模型1計(jì)算最快,模型3與ABAQUS相當(dāng),模型2計(jì)算時(shí)間顯著高于其它模型和方法。圖8給出采用模型1、模型2、模型3、錐度角β=0°時(shí)單個(gè)超單元長細(xì)比對計(jì)算誤差的影響。當(dāng)結(jié)構(gòu)的總長度一定時(shí),從圖8可以看出,隨著超單元個(gè)數(shù)的增加,即單個(gè)超單元長細(xì)比的減小,結(jié)構(gòu)最大位移的計(jì)算精度逐漸提高,即可通過控制單個(gè)超單元長細(xì)比(超單元個(gè)數(shù))來獲得不同的計(jì)算精度。同時(shí),模型1與模型3在錐度角β=0時(shí)計(jì)算結(jié)果的精度相當(dāng),且均低于模型2的計(jì)算精度。圖9給出了采用模型2、模型3時(shí),結(jié)構(gòu)錐度角對計(jì)算誤差的影響。從圖9中可以看出,超單元法的計(jì)算精度隨著結(jié)構(gòu)錐度角的增加而下降。

    圖7 各計(jì)算方法計(jì)算時(shí)間比較Fig.7 Comparison of Calculation Time of Each Calculation Method

    圖8 錐度角為0時(shí)計(jì)算誤差與單個(gè)超單元長細(xì)比的關(guān)系Fig.8 Relationship Curve between the Calculation Error and Long Fineness Ratio of a Single Superelement at a Taper Angle of 0°

    圖9 計(jì)算誤差與錐度角的關(guān)系Fig.9 Ralationship Curve between Calculation Error and Taper Angle

    3.2 小展弦比后掠翼

    該算例為帶4根梁和3組桁條的后掠機(jī)翼。結(jié)構(gòu)的外形、尺寸及載荷見圖10,材料為鋁合金,彈性模量E=72 GPa,泊松比μ=0.3;梁緣條面積為173 mm2,外面兩組桁條的面積為50 mm2,中間一組桁條面積為76.4 mm2,蒙皮和腹板厚度為3 mm。在結(jié)構(gòu)端部施加集中力Qy,大小為15 000 N,與y軸平行。

    圖10 后掠翼示意Fig.10 Rear Wing Diagram

    文獻(xiàn)[11]中給出了這個(gè)結(jié)構(gòu)的試驗(yàn)結(jié)果以及計(jì)算結(jié)果;模型1中,計(jì)算板剛度矩陣時(shí)采用2.2節(jié)方法,即將蒙皮和腹板當(dāng)作平面應(yīng)力板處理;模型2中,把板當(dāng)作受剪板處理,此時(shí)必須把板的面積(20~30δ2)等效到兩邊的筋條上。圖11給出了沿結(jié)構(gòu)展長方向各方法得到的位移對比。模型 1的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[11]值大致相當(dāng),而最大位移值較文獻(xiàn)值更接近試驗(yàn)值。與試驗(yàn)值相比,模型2計(jì)算結(jié)果最大誤差為7.7%,計(jì)算精度低于模型1的最大誤差5.8%。

    圖11 沿展長方向y向位移計(jì)算結(jié)果對比Fig.11 Comparison of the Calculation Results of y-direction Displacement Along the Length of the Exhibition

    3.3 小錐度機(jī)身盒段

    該小錐度機(jī)身段長度為8 m,半徑由0.6 m過渡到0.75 m,其示意見圖12。沿機(jī)身軸向分布24根長桁,其橫截面積為50 mm2;蒙皮厚度為1.6 mm,材料為鋁合金,彈性模量 E=72 GPa,泊松比 μ=0.3。從機(jī)身固支端起沿機(jī)身長度方向,每隔0.5 m,在橫截面上施加大小為4000 N的集中力Qy,總載荷大小為64 000 N。將機(jī)身沿長度方向劃分為16個(gè)超單元。

    圖12 小錐度機(jī)身盒段示意Fig.12 Diagram of Small Taper Fuselage Box Segment

    模型1、模型2分別對應(yīng)于應(yīng)力板和受剪板兩種簡化方式。將 Matlab程序求解結(jié)果與有限元軟件ABAQUS分析結(jié)果進(jìn)行比較,沿機(jī)身長度方向橫截面y向位移結(jié)果對比見圖 13。由計(jì)算結(jié)果可知,兩種模型的計(jì)算結(jié)果與有限元分析結(jié)果相接近,模型1橫截面y向最大位移的計(jì)算誤差大于模型2,為3.2%。則超單元法亦適用于機(jī)身類薄壁結(jié)構(gòu)。沿著結(jié)構(gòu)的長度方向,超單元法的計(jì)算誤差逐漸增大。對于大長細(xì)比的薄壁結(jié)構(gòu),可以通過增加超單元的劃分個(gè)數(shù)(即減小單個(gè)超單元的長細(xì)比)來提高超單元法的計(jì)算精度。

    圖13 沿機(jī)身長度方向y向位移計(jì)算結(jié)果對比Fig.13 Comparison of the Calculation Results of y-direction Displacement Along the Length of the Fuselage

    4 結(jié) 論

    本文提出的針對大長細(xì)比薄壁結(jié)構(gòu)的超單元建模方法,單元數(shù)量少,剛度矩陣階數(shù)低,可以大大減少數(shù)據(jù)準(zhǔn)備工作量,減少人力消耗。同時(shí)超單元方法的計(jì)算精度可以根據(jù)不同位移假設(shè)依次提高,適合不同設(shè)計(jì)階段的精度要求。對于3種設(shè)計(jì)模型,2.1節(jié)中的模型和2.3節(jié)中模型計(jì)算效率高,2.2節(jié)中的模型給出的結(jié)果精度最高,但計(jì)算效率相對較低。3種模型都可以有效地用于實(shí)際結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中。

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