關(guān)于等差等比數(shù)列的組合數(shù)列前n項(xiàng)和

羅彪

1 研究背景

高中學(xué)生在學(xué)習(xí)了人教版普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書必修5第二章數(shù)列的內(nèi)容后，初步掌握了等差數(shù)列和等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式S_n，學(xué)生已經(jīng)熟知了倒序相加法、遞推公式法、錯(cuò)位相減法等求數(shù)列前n項(xiàng)和S_n的方法，基于學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，大多數(shù)學(xué)生能單獨(dú)地進(jìn)行等差、等比數(shù)列的題目解答，但對于由等差數(shù)列與等比數(shù)列組合成的混合數(shù)列（差比數(shù)列）的解答尤為困難，缺乏對教材內(nèi)容的深入理解，聯(lián)系和發(fā)現(xiàn)問題的能力較差，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，只注重結(jié)果而忽視了過程，即只注重公式的記憶，而忽視推導(dǎo)過程.

分析 基于這道題目（1）（2），計(jì)算相對容易，大多數(shù)學(xué)生基本都能把它們拆分成等比數(shù)列與等差數(shù)列的和差形式，但題目（3）相對較難，多數(shù)學(xué)生無從下手，其原因是在學(xué)習(xí)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式中忽視推導(dǎo)過程，只是停留在公式的記憶，缺乏如等比等差數(shù)列再創(chuàng)造，構(gòu)建諸如等差等比數(shù)列的新模型.

這里基于高中學(xué)生已有的等差等比數(shù)列，學(xué)習(xí)的最近發(fā)展區(qū)是構(gòu)建差比積（商）數(shù)列，再提出差比型數(shù)列，其學(xué)習(xí)知識的過程是：等差數(shù)列等比數(shù)列一差比積（商）數(shù)列一差比型數(shù)列.

5 啟發(fā)

本文是從兩個(gè)基本數(shù)列的學(xué)習(xí)出發(fā)，沿用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法，形成差比數(shù)列的求和公式的推導(dǎo)，其意義在于從學(xué)生已有的認(rèn)知出發(fā)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和計(jì)算能力，克服學(xué)生學(xué)習(xí)的心理障礙，

第一，通過題目（1）～（3）的習(xí)題訓(xùn)練，創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生在該題目情境中理解（差比積商數(shù)列）數(shù)學(xué)概念和構(gòu)建過程，感悟問題的本原和數(shù)學(xué)表達(dá)的意義，

第二，大多數(shù)學(xué)生會(huì)把辛辛苦苦記住的那些數(shù)學(xué)概念、證明方法以及解題技能逐漸忘掉，因此，在基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，在注重?cái)?shù)學(xué)概念、技巧和技能的基礎(chǔ)之上，更當(dāng)注重讓學(xué)生感悟一些東西、積累一些經(jīng)驗(yàn)讓學(xué)生終生受益，

第三，注重技巧，更當(dāng)注重過程，過程應(yīng)當(dāng)是學(xué)生教師引導(dǎo)學(xué)生在獨(dú)立思考中形成思維的習(xí)慣;會(huì)在錯(cuò)綜復(fù)雜的事物中把握本質(zhì)，進(jìn)而培養(yǎng)抽象能力;會(huì)在雜亂無章的事物中理清思緒，培養(yǎng)推理能力;在事物中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，培養(yǎng)建模能力，

總之，把握本質(zhì)培養(yǎng)抽象能力，理清關(guān)系培養(yǎng)邏輯能力，發(fā)現(xiàn)規(guī)律培養(yǎng)建模能力，這也是高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)所要求的.