芻議數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)

汪秀琴 蔡敬發(fā)

從歷次考試情況看，學(xué)生由于運(yùn)算錯(cuò)誤或運(yùn)算障礙導(dǎo)致丟分的情況經(jīng)?？梢?jiàn)，而且層次越低的學(xué)校表現(xiàn)越為突出，許多教師雖然知道學(xué)生的運(yùn)算能力差，卻不夠重視，沒(méi)有采取針對(duì)性的措施，而是把希望寄托在學(xué)生的自我提升上，從而導(dǎo)致學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的輕視和運(yùn)算能力的不斷下降，從這個(gè)層面上說(shuō)，學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力差，是一個(gè)老生常談的話題，更是一個(gè)“歷史遺留問(wèn)題”.

1 調(diào)查分析，找出數(shù)學(xué)運(yùn)算的“問(wèn)題點(diǎn)”

筆者曾對(duì)本市、區(qū)各類(lèi)學(xué)校高中生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)現(xiàn)狀及其成因進(jìn)行調(diào)查分析，概括起來(lái)主要有以下3個(gè)方面的問(wèn)題：（1）數(shù)學(xué)運(yùn)算能力低下，由運(yùn)算錯(cuò)誤或運(yùn)算障礙導(dǎo)致丟分較多的學(xué)生占一半以上，在數(shù)學(xué)運(yùn)算能力較低的學(xué)生中，基礎(chǔ)知識(shí)不扎實(shí)和學(xué)習(xí)習(xí)慣不好是導(dǎo)致其數(shù)學(xué)運(yùn)算能力低下的主要原因;（2）學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的掌握十分令人擔(dān)憂，且學(xué)生的學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)習(xí)慣和解題習(xí)慣還有待大大改進(jìn);（3）教師的課堂教學(xué)普遍“重方法，輕運(yùn)算”，運(yùn)算教學(xué)中“搶拍、替代、一帶而過(guò)”現(xiàn)象隨處可見(jiàn)，

由此可見(jiàn)，學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和運(yùn)算素養(yǎng)低下是普遍存在的事實(shí)，教師的教學(xué)行為和學(xué)生的學(xué)習(xí)行為是影響數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)培養(yǎng)的首要因素，而教師的教學(xué)行為又直接影響學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，因此，數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)培養(yǎng)的著眼點(diǎn)在于教師教學(xué)行為的改變，為此在教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師要樹(shù)立以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)意識(shí)，將數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培育落實(shí)在數(shù)學(xué)教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)[1].以下筆者從教學(xué)設(shè)計(jì)、課堂教學(xué)和作業(yè)設(shè)計(jì)三個(gè)環(huán)節(jié)闡述數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng).

2 精心設(shè)計(jì)，探尋數(shù)學(xué)運(yùn)算的“培育點(diǎn)”

教學(xué)設(shè)計(jì)既是課堂教學(xué)的“開(kāi)路先鋒”，更是課堂教學(xué)的“總設(shè)計(jì)師”，它不僅僅是寫(xiě)好教案，更重要的是從更高的層面理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)，以便更好地結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容探尋數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的孕育點(diǎn)，以及其融入教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)過(guò)程的具體方式和載體，并根據(jù)學(xué)生的特點(diǎn)進(jìn)行充分預(yù)設(shè)，從而切實(shí)提高數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)培養(yǎng)的可行性.

2.1 從教學(xué)目標(biāo)處探尋數(shù)學(xué)運(yùn)算“融合點(diǎn)”

要改變和逆轉(zhuǎn)目前運(yùn)算教學(xué)中這種被動(dòng)尷尬的局面，首先數(shù)學(xué)教師應(yīng)重視數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)，要將數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)要求融入課堂教學(xué)目標(biāo)，探尋它與具體教學(xué)內(nèi)容的關(guān)聯(lián)點(diǎn)和融合點(diǎn)，基于課程主線，整體考慮數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)，例如：概念課中的“函數(shù)、平面向量、復(fù)數(shù)”可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等素養(yǎng)，而“三角、解幾、立幾”部分則可以培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等素養(yǎng);定理課中的“三角基本公式定理、數(shù)列、概率統(tǒng)計(jì)”等可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)，總之，教學(xué)設(shè)計(jì)首先應(yīng)解決“教什么”的問(wèn)題.

2.2 從載體方式上探尋數(shù)學(xué)運(yùn)算“孕育點(diǎn)”

教學(xué)設(shè)計(jì)不僅應(yīng)解決“教什么”的問(wèn)題，還要解決“怎么教”的問(wèn)題，章建躍教授認(rèn)為：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成是以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，以數(shù)學(xué)活動(dòng)為路徑而逐步實(shí)現(xiàn)的[2].因此，以什么為載體、構(gòu)建什么樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)是落實(shí)運(yùn)算素養(yǎng)的關(guān)鍵，為此在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)，首先應(yīng)在學(xué)生的需要和思維價(jià)值處設(shè)計(jì)教學(xué)，充分考慮新知識(shí)怎么呈現(xiàn)，問(wèn)題怎么設(shè)置，例題如何配備;其次教學(xué)方式應(yīng)以探究為手段、以活動(dòng)為路徑、以體驗(yàn)為抓手，把教學(xué)活動(dòng)的重心放在促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)和四基的落實(shí)上，以“探究”催生知識(shí)能力、以“過(guò)程”沉淀經(jīng)驗(yàn)方法，以“探究、過(guò)程”促學(xué)生思維品質(zhì)的提升和學(xué)習(xí)行為的改變，從而真正促進(jìn)其數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的發(fā)展.

例如在定理教學(xué)中，在定理獲得階段，應(yīng)根據(jù)定理特點(diǎn)和學(xué)生實(shí)際選擇恰當(dāng)?shù)亩ɡ慝@得方式，或“同化”或“形成”，使學(xué)生在定理獲得階段準(zhǔn)確理解運(yùn)算對(duì)象、深層次掌握運(yùn)算法則、多角度探究運(yùn)算方向，比如：

在新公式的推導(dǎo)上，因?yàn)榇颂幨菍W(xué)生的困難點(diǎn)，因此筆者認(rèn)為宜通過(guò)設(shè)置問(wèn)題串、借助啟發(fā)性提示語(yǔ)，暗示方法、啟迪思維，使學(xué)生逐漸明確運(yùn)算方向——建立平面直角坐標(biāo)系，恰當(dāng)設(shè)立點(diǎn)坐標(biāo)，溝通新學(xué)知識(shí)“任意角三角函數(shù)定義”與舊知“平面向量”的聯(lián)系，打通推理證明的“通道”一借助數(shù)量積推導(dǎo)新公式.

這樣設(shè)計(jì)的目的，是為了設(shè)置一個(gè)與學(xué)生的已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)相矛盾的問(wèn)題，營(yíng)造“知識(shí)缺口”，以形成學(xué)生“欲知未知”的憤悱狀態(tài)，激發(fā)學(xué)生的求知欲，產(chǎn)生積極的學(xué)習(xí)心向，并且這也是教學(xué)實(shí)踐中學(xué)生的典型錯(cuò)誤，它能加深公式的印象，有助于運(yùn)算法則的掌握;在公式的推導(dǎo)過(guò)程中，通過(guò)啟發(fā)引導(dǎo)，使學(xué)生逐漸明晰運(yùn)算方向，合理選擇運(yùn)算方法，，把握知識(shí)間的本質(zhì)聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)新知識(shí)的意義構(gòu)建.

3 互動(dòng)課堂，創(chuàng)造數(shù)學(xué)運(yùn)算的“生長(zhǎng)點(diǎn)”

課堂是實(shí)驗(yàn)室，教師是“操盤(pán)手”，教師的課堂教學(xué)行為是數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)能否落地生根的首要因素，為此，教師應(yīng)在課前充分預(yù)設(shè)的基礎(chǔ)上，努力創(chuàng)造學(xué)生的精彩生成，筆者認(rèn)為，運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)關(guān)鍵在于“做中學(xué)”、“做中悟”[3].這就要求教師在課堂教學(xué)中，首先應(yīng)善于根據(jù)具體教學(xué)要求和學(xué)生實(shí)際創(chuàng)設(shè)合適的情境，使學(xué)生經(jīng)歷其中，把握知識(shí)本質(zhì)，感悟思想方法，積累基本經(jīng)驗(yàn)[1];其次要合理設(shè)計(jì)問(wèn)題串，突出問(wèn)題的啟發(fā)性、層次性和導(dǎo)向性，通過(guò)問(wèn)題層層導(dǎo)向，使學(xué)生不斷地處于“欲知未知、欲言未能”的憤悱狀態(tài)，通過(guò)啟發(fā)性提示語(yǔ)，暗示方法，啟迪思維，不斷將學(xué)生的思維引向深處，從而幫助學(xué)生不斷實(shí)現(xiàn)“從無(wú)到有、從不知到知”，最終使學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識(shí)的過(guò)程中，養(yǎng)成良好習(xí)慣，提升運(yùn)算能力;再次要體現(xiàn)課堂教學(xué)的過(guò)程性和探究性，特別應(yīng)加強(qiáng)“如何思考”、“如何發(fā)現(xiàn)”的啟發(fā)和引導(dǎo)，從提升學(xué)生思維品質(zhì)處設(shè)計(jì)教學(xué)，將思維的提升作為運(yùn)算素養(yǎng)培養(yǎng)的基石扎實(shí)開(kāi)展，并盡量沿著學(xué)生的思維軌道展開(kāi)教學(xué)，“想學(xué)生所想、急學(xué)生所急”，避免“搶拍、替代和一帶而過(guò)”現(xiàn)象的發(fā)生，讓數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)的更自然些，讓能力素養(yǎng)來(lái)的更順暢些.

此外，應(yīng)從提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)處展開(kāi)教學(xué)，因此在課堂教學(xué)中，教師首先應(yīng)該提供平臺(tái)讓學(xué)生學(xué)會(huì)全方位選擇運(yùn)算方法，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性;其次應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生深層次掌握運(yùn)算法則，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)思維的深刻性;再次應(yīng)該啟發(fā)學(xué)生多角度探究運(yùn)算方向，培養(yǎng)其思維的廣闊性[3];最后應(yīng)該適當(dāng)設(shè)障促使學(xué)生多方位求得運(yùn)算結(jié)果，培養(yǎng)其思維的靈活性，例如：

教學(xué)片段 兩角和與差的余弦公式教學(xué)片段[4]（公式應(yīng)用環(huán)節(jié)）

本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)意圖 由于三角函數(shù)公式繁多，學(xué)生易混易忘，公式應(yīng)用總有諸多不暢，其主要原因是學(xué)生不會(huì)抓住問(wèn)題的主要矛盾，導(dǎo)致題意不清、方向不明、程序繁雜、運(yùn)算出錯(cuò)，解決以上問(wèn)題的關(guān)鍵是讓學(xué)生親歷其中，教學(xué)生學(xué)會(huì)充分挖掘題目信息，抓住問(wèn)題中信息之間的主要矛盾（即“主視點(diǎn)”）和本質(zhì)聯(lián)系，從多元視角出發(fā)，分析差距，尋找聯(lián)系，促成有效轉(zhuǎn)化，通過(guò)邏輯證明加以貫通，串點(diǎn)成線，探尋簡(jiǎn)捷合理的運(yùn)算路徑[5]，優(yōu)化運(yùn)算程序，準(zhǔn)確運(yùn)算結(jié)果，將運(yùn)算素養(yǎng)扎實(shí)地落實(shí)在課堂.

主要過(guò)程引導(dǎo)學(xué)生觀察己知角和待求角的關(guān)系，促成轉(zhuǎn)化如下：

感悟提升 配湊角時(shí)不要“破壞”已知角，而是把已知角看作一個(gè)“整體”，促成待求角的有效轉(zhuǎn)化，其核心是“化未知為已知”.

（2）以“函數(shù)名”為主視點(diǎn)，選擇運(yùn)算方法

引導(dǎo)學(xué)生著重觀察分析已知式和待求式三角函數(shù)名的差異，尋找其聯(lián)系，促成有效轉(zhuǎn)化，其手段通常是弦切互化，并且常與三角基本公式、角的轉(zhuǎn)化相結(jié)合解決問(wèn)題.

主要過(guò)程引導(dǎo)學(xué)生分析已知式和待求式的結(jié)構(gòu)特征差異——缺少cosαcosβ，sinαsinβ，尋找聯(lián)系，使學(xué)生逐漸明晰運(yùn)算方向，必須創(chuàng)造條件，想辦法讓已知式“生出”cosαcosβ，sinαsinβ，啟發(fā)學(xué)生恰當(dāng)選擇運(yùn)算方法——將已知兩等式兩邊分別平方，相加并結(jié)合平方關(guān)系進(jìn)而貼近待求式，再逆用余弦函數(shù)差角公式求得結(jié)果，從而達(dá)到優(yōu)化運(yùn)算程序、準(zhǔn)確運(yùn)算結(jié)果的目的.

4 優(yōu)化作業(yè)，落實(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算的“訓(xùn)練點(diǎn)”

作業(yè)是課堂教學(xué)的延伸和補(bǔ)充，然而在現(xiàn)實(shí)作業(yè)布置中，不匹配作業(yè)和低效作業(yè)現(xiàn)象比比皆是，嚴(yán)重影響課堂教學(xué)的效果和學(xué)生素養(yǎng)水平的達(dá)成，因此，作業(yè)設(shè)計(jì)，首先考慮及時(shí)性和針對(duì)性，深層次掌握運(yùn)算法則;其次應(yīng)考慮典型性和多樣性，全方位選擇運(yùn)算方法;再次應(yīng)考慮梯度性和層次性，多角度探究運(yùn)算方向;最后應(yīng)考慮建構(gòu)性和系統(tǒng)性[6]，整體考慮運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)，使課后作業(yè)真正成為落實(shí)運(yùn)算素養(yǎng)的后勤保障.

總之，只要教師努力改進(jìn)自己的教學(xué)行為，將數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的落實(shí)變成自己的自覺(jué)行動(dòng)，以優(yōu)化的教學(xué)行為帶動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)行為的優(yōu)化，課前充分預(yù)設(shè)、課中創(chuàng)造生成、課后優(yōu)化作業(yè)，就能讓運(yùn)算素養(yǎng)落地生根.

參考文獻(xiàn)

[1]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[S].北京：人民教育出版社，2018

[2]章建躍.三角函數(shù)教材落實(shí)核心素養(yǎng)的思考[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2016 （12）： 25

[3]陳玉娟.例談高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)——從課堂教學(xué)中數(shù)學(xué)運(yùn)算的維度[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2016 （8）： 34-36，54

[4]汪秀琴.例題邏輯推理核心素養(yǎng)的培養(yǎng)[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2017 （6）：20

[5]陳玉娟.從探尋運(yùn)算思路的角度例談數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的培養(yǎng)[J].數(shù)學(xué)通訊，2016 （24）： 32-34

[6]汪秀琴.累，一定是我們做錯(cuò)了什么——基于作業(yè)設(shè)計(jì)的高三數(shù)學(xué)教學(xué)有效性探究[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2016 （6）： 20