回歸教材 發(fā)展思維能力

潘強(qiáng) 李鋒

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》（以下簡稱“課標(biāo)”）提出：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，人們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題時，不斷地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號表示、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構(gòu)等思維過程，這些過程是數(shù)學(xué)思維能力的具體體現(xiàn)……”，那么，怎樣才能有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力？眾所周知，教材是一種豐富的課程資源，是課堂教學(xué)中師生互動的橋梁，同時也是學(xué)生開展思維活動、發(fā)展思維能力的主要載體，下面，筆者選取人教A版《數(shù)學(xué)選修2-1》（以下簡稱“教材”）中的具體例子，談?wù)勅绾位貧w教材，落實(shí)“用教材教”，充分發(fā)展學(xué)生的思維能力.

1 重視章引言及課后拓展性材料的教學(xué)，創(chuàng)設(shè)情境激活學(xué)生思維

章引言是教材的一部分，是教材編寫者精心設(shè)計(jì)，它置身于每一章的開頭，以簡明扼要的語言介紹本章的內(nèi)容、地位及應(yīng)用，以及蘊(yùn)涵其中的思想方法與人文背景，體現(xiàn)本章知識的生長點(diǎn)與思維方法，是學(xué)生學(xué)習(xí)本章的開場白，作用不容忽視，一些拓展性材料如“觀察與猜想”、“閱讀與思考”、“探究與發(fā)現(xiàn)”、“信息技術(shù)應(yīng)用”等由于不在教材正文常常被忽視，筆者認(rèn)為它們作為新教材特色之一是教材正文有益的補(bǔ)充與延伸，具有較強(qiáng)的靈活性與開發(fā)空間.

案例1 平面截圓錐

教材在章引言中介紹了圓錐曲線的來源——“平面截圓錐”，在“2.2.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”課后的“探究與發(fā)現(xiàn)”欄目以“為什么截口曲線是橢圓”為題，介紹了數(shù)學(xué)家Germinal Dandelin從純幾何角度出發(fā)給出的證明，由此可見，教材對“平面截圓錐”的教學(xué)功能非常重視，以其為“源”引出概念，以其深刻背景為“墊”，統(tǒng)一了概念和名稱，以其簡捷漂亮的證明為“流”，疏通了概念，學(xué)生從中感受到圓錐曲線來源于現(xiàn)實(shí)生活，體會數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，欣賞圓錐曲線的一種和諧統(tǒng)一的美，經(jīng)歷了由具體實(shí)例觀察發(fā)現(xiàn)、抽象概括出圓錐曲線以及猜想證明的思維歷程，

教學(xué)中要有效利用這些素材創(chuàng)設(shè)有效情境激發(fā)學(xué)生思考與探索，要“挖”出隱藏于教材之中內(nèi)涵豐富的思想，要利用每一個契機(jī)發(fā)展學(xué)生思維，明確橢圓生成方式之一——平面截圓錐，教材在數(shù)學(xué)家Germinal Dandelin的幾何證明之后又提出一個問題：用一個與圓柱的母線斜交的平面截圓柱，你能仿照上述方法，證明所得到的截口曲線也是橢圓嗎？

例1（2008年高考浙江卷·理10）如圖1，AB是平面a的斜線段，A為斜足，若點(diǎn)P在平面a內(nèi)運(yùn)動，使得△BP面積為定值，則動點(diǎn)P的軌跡為 （? ）

A.圓

B.橢圓

C.一條直線

D.兩條平行直線

顯然，命題者正是以平面截圓柱為背景來考查學(xué)生的思維能力，體現(xiàn)了高考“源于教材而高于教材”的命題思想，因此，平常教學(xué)中一定要回歸教材，研究教材，滲透思想，發(fā)展思維.

2 變式引領(lǐng)，開放探究，充分發(fā)揮教材例題與習(xí)題的教學(xué)功能

例題與習(xí)題都是經(jīng)過教材編寫者精挑細(xì)選的，它們可改造成為探究性問題的素材，對其進(jìn)行“變式練習(xí)”是開發(fā)學(xué)生思維的有效方法，

案例2（教材P49習(xí)題2.2A組7）如圖2，圓0的半徑為定長r.A是圓0內(nèi)一個定點(diǎn)，P是圓上任意一點(diǎn)，線段AP的垂直平分線，和半徑OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時，點(diǎn)Q的軌跡是什么，為什么？

利用定義學(xué)生容易得出點(diǎn)Q的軌跡是橢圓，倘若就此擱筆，無異于“入寶山而空返”，錯失一個發(fā)展學(xué)生思維能力的好機(jī)會，筆者曾對該題進(jìn)行了適度開發(fā)，充分挖掘蘊(yùn)涵其中的教學(xué)功能，現(xiàn)簡要摘錄片段如下：

教師：若條件沒有點(diǎn)A在圓O內(nèi)的限制，點(diǎn)Q的軌跡是什么？

通過演示，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)A在圓上，點(diǎn)Q與0重合;當(dāng)點(diǎn)A在圓外，點(diǎn)Q“不翼而飛”，表明直線l與半徑OP沒有交點(diǎn)，如何改變題設(shè)的條件使得交點(diǎn)Q出現(xiàn)，其軌跡又是什么？（借助畫板直觀演示，最后學(xué)生共同歸納出以下情形，如圖3）

生：當(dāng)點(diǎn)A在圓外時，直線l與OP所在的直徑的交點(diǎn)的軌跡是以0，A為焦點(diǎn)的雙曲線左支位于圓O內(nèi)的部分;直線l與射線PO的交點(diǎn)的軌跡是以0，A為焦點(diǎn)的雙曲線的左支;直線l與直線OP的交點(diǎn)的軌跡是以0，A為焦點(diǎn)的雙曲線，

本例通過開放探究，開拓學(xué)生思維，用運(yùn)動變化的觀點(diǎn)揭示曲線的變化規(guī)律，訓(xùn)練學(xué)生觀察、歸納、運(yùn)動變化、數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法，欣賞并體會其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)美，提升思維品質(zhì)，

教師：若直線AM，BM斜率之積為4/9，點(diǎn)M的軌跡方程如何？由此你發(fā)現(xiàn)了什么？

通過對例題的適當(dāng)改編，進(jìn)一步激活學(xué)生思維，并創(chuàng)設(shè)情境讓學(xué)生“拾級而上”，知識的生成自然、水到渠成，學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的歸納思維，接受函數(shù)與方程、歸納類比、分類討論、化歸轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法的熏陶，體驗(yàn)了先猜想后證明的數(shù)學(xué)理性思維的本質(zhì)，

上述案例2通過改變題設(shè)的條件引發(fā)學(xué)生進(jìn)行開放探究，案例3通過對不同形式的特殊實(shí)例的研究中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并將其推廣到一般的情形，以此擴(kuò)大題目的訓(xùn)練功能，與其煞費(fèi)苦心從大量泛亂的教輔材料中挑選，不如從貼近學(xué)生實(shí)際的教材中精選例題或習(xí)題，通過改變題目的設(shè)問方式、加強(qiáng)或削弱條件、在一定范圍下將該題進(jìn)行引申或推廣等進(jìn)行有意義的變式訓(xùn)練，實(shí)踐證明，“變式練習(xí)”重復(fù)而不呆板，為學(xué)生思維能力的發(fā)展搭好了“腳手架”，既夯實(shí)了雙基，又提升了思維的品質(zhì).

3 充分挖掘教材例、習(xí)題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力

張奠宙教授提出：數(shù)學(xué)教師要具有數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)意識，掌握數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)涵，將數(shù)學(xué)思想方法用于解題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，因此，我們要以形成數(shù)學(xué)思想來統(tǒng)領(lǐng)日常的課堂教學(xué)，尤其是函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸轉(zhuǎn)化思想，比如上述案例無一不滲透這四種重要的思想方法，在教師精心設(shè)計(jì)與合理引導(dǎo)下，通過變式引領(lǐng)，開放探究，發(fā)展學(xué)生的直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、抽象概括、推理證明等思維能力，“課標(biāo)”把推理論證能力確定為一項(xiàng)基本能力，對推理論證能力的要求既包括原來的演繹推理，又包括歸納、類比猜想等合情推理，推理論證被認(rèn)為是數(shù)學(xué)學(xué)科以及數(shù)學(xué)家實(shí)踐的中心，是進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動必備的首要的能力，因此教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生正確處理猜想與證明的關(guān)系，即不僅注重?cái)?shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造過程中的合情推理——?dú)w納與類比，而且將這種非形式化的探索式論證轉(zhuǎn)化成有效的數(shù)學(xué)證明，比如截口曲線是橢圓的幾何證明;案例3的代數(shù)證明等，這樣，學(xué)生的思維不只是停留在感觀的基礎(chǔ)上，而是向深層次發(fā)展——繼續(xù)探究問題的本質(zhì)，用理性思維去驗(yàn)證所得的猜想.

4 充分利用教材進(jìn)行審美意識的培養(yǎng)，體會數(shù)學(xué)的美學(xué)意義

圓錐曲線這部分內(nèi)容，處處都有“美”的痕跡，值得大力開發(fā)，對學(xué)生進(jìn)行審美意識的培養(yǎng)，提高審美能力，比如“平面截圓錐”體現(xiàn)圓錐曲線光滑美、動態(tài)美、統(tǒng)一與和諧美;圓錐曲線的定義具有統(tǒng)一美與數(shù)學(xué)語言美;圓錐曲線的方程蘊(yùn)涵簡潔美等等，本文幾個案例的探究過程中，也處處體現(xiàn)出上述各種美，還有解題方法的簡潔美以及所折射出數(shù)學(xué)思維的理性之美等，所有這些在教師精心設(shè)置的問題情境下，通過學(xué)生的親身體驗(yàn)、用心感悟，培養(yǎng)其強(qiáng)烈的審美意識，同時對數(shù)學(xué)的美深刻的感悟，對數(shù)學(xué)的美學(xué)意義深切的體會，進(jìn)一步提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和探究數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的欲望，

案例4（教材改編）幾何畫板探索方程KX2+y2=1所表示的曲線當(dāng)K變化時，曲線的形狀變化如下：

上圖清晰地反映出K自小而大變化時，圖象由雙曲線演變成橢圓的過程，蘊(yùn)涵了深刻的數(shù)學(xué)美，一個含參數(shù)的方程式通過“K”的變化從圖象上非常生動地表現(xiàn)出曲線的變化規(guī)律（將兩條雙曲線逐漸拉直成為兩條直線，讓它們在無窮遠(yuǎn)處接上頭，再進(jìn)行收縮，成為橢圓），揭示出美的本質(zhì)，同時學(xué)生通過自我實(shí)踐，自我發(fā)現(xiàn)獲得對美的認(rèn)識，形成了美的觀念，且在欣賞中得到愉快的情感體驗(yàn)，

現(xiàn)行教材精雕細(xì)琢，集百家之長于一身，我們也應(yīng)以課標(biāo)為標(biāo)，以教材為本，合理利用與適宜開發(fā)教材資源，開展探究活動，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，

參考文獻(xiàn)

[1]中華人民共和國教育部制訂.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）[M].北京：人民教育出版社，2003

[2]李鋒，活用類比放飛思維——關(guān)于《類比推理》的教學(xué)與思考[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2015 （6）：17-21

[3]李鋒，回歸概念本質(zhì)發(fā)展雙基教育——一道教科書習(xí)題的探究性教學(xué)與反思[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2010 （4）： 25-29

[4]方勤華.教好數(shù)學(xué)的一個重要視角[J].數(shù)學(xué)通報，2010 （1）： 34-37