優(yōu)化數(shù)學課堂設計，提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)

楊 敏

（浙江省杭州市蕭山區(qū)第十高級中學數(shù)學組，浙江 杭州）

問題的緣起

基礎教育改革近幾年一直在如火如荼地進行，但現(xiàn)階段的高中數(shù)學課堂還存在不少問題。比如，教師總體講得太多，填鴨式教學，照本宣科；學生參與太少，思考得不多，教師為趕進度也經(jīng)常忽略學生在課堂上暴露出來的問題；教師不明白教學行為的價值取向，沒有精心設計課堂導入，從一開始就沒引起學生的注意，課堂例題設計和練習設計常常帶有盲目性，設計時沒正視學生的差異，也沒尊重學生的認知規(guī)律。

問題的思考

教學設計是教師在教學目標的指引下，對教學活動進行全面考慮、系統(tǒng)規(guī)劃與預先策劃，并根據(jù)實際反饋的信息不斷地調(diào)整教學活動的過程。教育家布盧姆說：“教授任何一個事物，即在向著終極目標前進時，一面要記住所要達到的最終形態(tài)，一面要集中力量走好每一步?！卑堰@一類哲學思考用在研究優(yōu)化教學過程上，筆者認為：優(yōu)化就是優(yōu)勢。

基于數(shù)學學科核心素養(yǎng)的教學活動應該把握數(shù)學的本質(zhì)，創(chuàng)設合適的教學情景，提出合適的數(shù)學問題，引發(fā)學生思考與交流，形成和發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)。筆者是一線教師，就結(jié)合自己的教學實際，從三個方面淺談一下自己如何優(yōu)化高中數(shù)學課堂設計，有效地提升學生的學習效率從而提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

問題的實踐

一、優(yōu)化課堂引入，提升學生學習數(shù)學的興趣

高中數(shù)學給大部分學生的印象是枯燥、難懂，優(yōu)化數(shù)學課堂引入，可以從開始處引起學生學習數(shù)學的興趣。俗話說：“良好的開端是成功的一半?！庇绕湟匾曊n堂引入，這樣才能先聲奪人。

1．創(chuàng)設生動的教學情景，重視章節(jié)引入

創(chuàng)設生動的教學情景，精彩的引入是提高課堂教學效率最有效的辦法。一個生動的教學情景就是一支興奮劑，它可以讓學生在課堂上興奮起來，特別是對那些缺乏學習動力的學生來說更有效，可以喚起他們潛在的學習動力。

在學習立體幾何之前，學生的思維局限于二維空間中。立體幾何與平面幾何有不一樣的地方，也有類似的地方。如何將學生的思維從二維平面引入三維空間中，在章節(jié)起始課時，筆者作了個小小的嘗試。

筆者首先問學生一個腦筋急轉(zhuǎn)彎:6根一模一樣的火柴棒最多能組成幾個全等的三角形？這個問題一拋出去，學生就七嘴八舌討論開了，2個，3個，4個……經(jīng)過一番討論后，有學生說出將火柴棒豎起來在空間中擺，這時筆者拿出一個正四面體的模型，于是很多學生都恍然大悟。

這個例子作為立體幾何教學的起始課，讓學生感受到：立體幾何是建立在平面幾何的基礎上培養(yǎng)空間想象能力和邏輯思維能力的一門學科，其特點是“空間問題平面化”。立體幾何與平面幾何既有聯(lián)系又有區(qū)別。為此，在空間概念形成過程中，注意平面幾何和立體幾何方法和結(jié)論的類比聯(lián)想、歸納演繹，有助于提高學生的綜合數(shù)學素質(zhì)。

2.以故事引入課堂，增強趣味性

著名的哲學家康德曾經(jīng)講過：“每當理智缺乏可靠論證思路的時候，類比就像一位大師指引我們前進。”我們在教學中不僅要將立體幾何教學和平面幾何教學類比聯(lián)系起來，還可以將數(shù)學教學和趣味故事類比聯(lián)系起來，增強數(shù)學的趣味性，減少學生學數(shù)學的枯燥感。

高中的學生在學習排列組合時感到頗為困難，通常從章頭開始就對其極具排斥性，為改變學生的這種心理，不妨從章頭引入時講個小故事，讓學生討論，消除恐懼感。比如可以從宋祖英的歌《辣妹子》講起，歌詞里有這樣的語句：“辣妹子從小辣不怕，辣妹子長大不怕辣，辣妹子嫁人怕不辣，吊一串辣椒碰嘴巴，辣妹子從來辣不怕，辣妹子生性不怕辣，辣妹子出門怕不辣……”宋祖英的“不怕辣，辣不怕，怕不辣”歌，像繞口令般，使得學生馬上興趣盎然，其中的三個命題“不怕辣，辣不怕，怕不辣”非常有意思，淺層講，都是不怕辣的意思，細細想下去，不怕辣的程度越來越高，這時問學生這三個字還有沒有別的排法，學生討論之后就可以得出：不辣怕，辣怕不，怕辣不，發(fā)現(xiàn)三個中國漢字經(jīng)過順序排列后有六種組合。從這個例子引入使學生容易理解：所謂排列，就是指從給定個數(shù)的元素中取出指定個數(shù)的元素進行排序。以小故事優(yōu)化章頭導入語，激起學生對解決此類問題的欲望，帶著問題去學習，霎時間枯燥的數(shù)學課堂就變得引人入勝了。

二、優(yōu)化改編書本例題，提升學生的數(shù)學素養(yǎng)

例題習題是數(shù)學教材的重要組成部分，教材中所選的例題習題都是經(jīng)過精選、具有一定代表性的，有些還是很典型的。搞好課本例題、習題的剖析教學，特別是對典型的例題、習題還要從多角度挖掘其典型的應有的教學價值，這樣不僅能加深學生對數(shù)學概念、法則、定理等基礎知識的理解和掌握，還能讓學生在解題的準確性、靈活性和敏捷性上得到有效的提高。

1．重視課本例題，尋找一題多解

筆者在教向量時，碰到必修4課本中第110頁的例2，如圖

?ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AD，DC邊的中點，BE，BF分別與AC交于R，T兩點，你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之間的關系嗎？

除了課本上的解法，教師可以提問學生是否有別的解法。

有學生想到了連結(jié)BD，與AC相交于點O，這樣CO，BF分別是△BDC的邊BD，CD上的中線，這樣可以知道T是△BDC的重心，利用重心的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)，學生可以得到同理可以得到于是可以推出于是有結(jié)論 AR=RT=TC。

有學生想到△ABT相似于△FTC，相似比為2∶1，于是AT∶TC=2∶1，易得接下來也容易得到AR=RT=TC，這個學生整個思路就沒用到向量，用的是初中里的相似三角形的性質(zhì)。這里也很值得表揚。

在這個基礎上，教師引導學生再想想有沒有別的思路，提問“利用2∶1的比值還可以有別的解法嗎？”略微思考后有學生想到然后根據(jù)平面向量基本定理，又因為共線共線，于是可以得到然后也可以推出結(jié)論。

通過這題的一題多解，使得學生對平面向量的基本定理、向量的加法、向量的數(shù)乘等知識融會貫通，舉一反三，思維也得到了很好的鍛煉。

2．結(jié)合課本例題進行改編，設計問題串揭示問題本質(zhì)

數(shù)學課堂中例題的優(yōu)化，除了舉一反三，也可以結(jié)合課本例題設計問題鏈或者問題串之類的變式題，從易到難，從特殊推到一般，揭示本質(zhì)，通過精心設計問題，促使學生能思考，教會學生思維方法。

在上向量章節(jié)復習課時，結(jié)合必修4中89頁的例7與99頁的例8，筆者設計了這樣一道例題?！鰽BC中，AB=2，AC=4，∠BAC=60°，D 為 BC 中點。（1）求（2）求

這里的第一小題，設計的目的是讓學生復習向量的數(shù)量積的定義，比較簡單，一般學生不會出現(xiàn)問題。對于這里的第二小題，學生的解法就比較多了。有學生用向量加法的平行四邊形法則得到用向量減法的三角形法則可以得到然后求數(shù)量積就比較容易了。也有學生想到用D為BC中點去解題。由于用向量減法可得然后將這個式子兩邊平方整理后可得移項之后可以得到隨即答案也就出來了。

本來例題設計到這里，應該結(jié)束了，但是這樣就是純粹做題，于是筆者又在課堂上拋出第三問：如果 D 為外心，那么為多少？由于剛才學生做出了兩種方法。用知識遷移的方法，將第二種方法類似地運用，由于 D 為外心，于是然后用向量減法可得然后將這個式子兩邊平方整理也可得移項之后可以得發(fā)現(xiàn)答案還是不變的。這時教師再拋出第四問：D點滿足什么條件時，有這時學生自己可以推出結(jié)論。這樣結(jié)合課本例題優(yōu)化的習題，設計四問，層層深入，環(huán)環(huán)相扣，問題串的由淺入深，使得學生在不同的思維層次上得到較好的鍛煉。

“問題串”教學法就是圍繞探究目標，通過設置一系列有針對性的問題引導學生反應，教師在識別學生反應的基礎上，采取有效指導，促進學生不斷達成探究目標的一種有效方法。老師在創(chuàng)設問題時必須要做到階梯性，問題要有序地提出，并要在問題的提出過程中做到逐步的深入。

三、優(yōu)化練習，注重知識的融合滲透

有時候我們經(jīng)常感嘆學生思維的靈敏性，但是有時候?qū)W生在課堂上的想法因為時間的局限性并不成熟，這時候就需要老師引導學生自己再深入思考?；叵胍郧暗恼n堂教學中，對學生完成的學習任務，我總是想方設法使之不出一點差錯，即使是一些容易產(chǎn)生典型錯誤的稍難問題，我也有“高招”使學生按我設計的方法順利解決。在課堂上學生不出差錯，這是我認為的完美的課堂教學。然而如今，新課程理念下，我才深深感悟到：在掩蓋錯誤以及糾錯的過程中，實際是忽視了教學中的陷阱,造成學生上課一聽就懂、課后一做就錯的不良后果,從而成為教學中的誤區(qū)。

對于學生在課堂上發(fā)現(xiàn)的新情況，教師要能及時捕捉，而且不能急著去解釋、下定論，而要把問題拋還給學生，把學生的發(fā)現(xiàn)作為一種教育生成資源，引導他們從正反不同角度去修正、分析、反駁，在爭論中“言之有理”，在爭論中內(nèi)化知識。

在學到必修2的“圓與方程”這一章時，筆者設計了一道課堂練習：已知點 P（3，4），圓 C：x2+y2+2x+3y=0，過 P 作圓 C 的一條切線，切點為A，問PA長多少？這是道很簡單的題目，常規(guī)解法如下：

PC2=在直角△PAC中可用勾股定理算出

筆者剛在課堂上講完這題的時候，下面馬上有學生說：“老師，把 P（3，4）直接代入 x2+y2+2x+3y，算得的答案是 43，再開方就是所得答案了，好像這樣也可以。”筆者就問學生：“這樣代入算得的答案正確是巧合還是真的方法上也行得通？”學生在略微思考之后就得出以下結(jié)論：將這個圓的一般方程化成標準方程就是移項之后得到將 P（3，4）代入的時候表示的就是就是圓的半徑AC的平方，在直角△PAC中用勾股定理就可以知道代入之后左邊的式子就是PA2，那么開平方之后就是切線PA的長度了。所以可以很自然地推出下列結(jié)論：若已知圓外一點P（m，n），圓的方程為 x2+y2+Dx+Ey+F=0，過點 P 作圓的切線，切點為A，將點P代入左邊的式子得到的m2+n2+Dm+En+F就表示切線段PA的長度的平方。

本來到這里就可以結(jié)束此題了，不過此時筆者又拋出了一個問題：若P（m，n）在圓x2+y2+Dx+Ey+F=0的內(nèi)部，那同學們又可以得到什么結(jié)論？按照上面的思路，最后發(fā)現(xiàn)（m-a）2+（n-b）2-r2表示垂徑一半平方的相反數(shù)。

對這樣簡單的一道課堂練習，通過學生發(fā)生的問題來巧妙地設計接下來的幾問，這樣的優(yōu)化使得學生對所學的知識進行了很好的運用，也激發(fā)了他們對學習的興趣。

學生在學習中有新發(fā)現(xiàn)是不足為怪的，面對新的想法，如果教師為了完成進度一味采用避而棄之或反復強調(diào)的方法，都不能達到教學目的。相反，對于學生的回答，教師也不要過早地作出評價，應留給學生思考的時間，讓學生在反饋中糾正自己的想法。學生將潛在的想法呈現(xiàn)出來，再引導他們比較、思辨，這樣不僅能讓學生明確新情況產(chǎn)生的原因，知道改正的方法，也可以幫助學生從對新發(fā)現(xiàn)的反思中提高自己對錯誤的判別能力。

無獨有偶，在講到圓與圓的位置關系的時候，有這么一道習題也引起學生的興趣。已知圓C1：x2+y2+4x+1=0和圓C2：x2+y2+2x+2y+1=0，則以圓C1與圓C2的公共弦為直徑的圓的方程是什么？大部分學生是這樣解題的：

但是當筆者講完這個常規(guī)方法后，有學生說這題也可以用圓系方程來解，由于學生提出來了，于是筆者就順著學生的思路往下講解。其中有個學生是這樣說的：設所求圓為x2+y2+4x+1+λ（x2+y2+2x+2y+1）=0，λ≠-1，整理之后化成圓的一般式為可得圓心為由于圓心在公共弦方程x-y=0，于是有此時λ無解，所以學生說這題用圓系方程解不出來。其實這題理論上是可以用圓系方程來解的，學生整個思路和計算都沒錯，但是問題出現(xiàn)在哪里呢？全班同學都困惑了，于是筆者提出將圓系方程設為學生之后整理成一般式圓心為代入公共弦方程x-y=0，得到解得m=0，發(fā)現(xiàn)這樣解出來的方程剛好是x2+y2+2x+2y+1=0，與圓C2是同一個圓。然后再回去看λ無解的那種解法，發(fā)現(xiàn)λ無解時其實就是圓x2+y2+2x+2y+1=0，因為這個圓是無法用x2+y2+4x+1+λ（x2+y2+2x+2y+1）=0這個式子來表示的，這樣深入探討之后使得學生對圓系方程的認識就更深刻了。由于這題是學生自己發(fā)現(xiàn)問題，在筆者引導之下還是自己解決了這個問題，雖然在課堂上花費了一定的時間，但是收到的效果卻出奇的好，而且由于是他們自己發(fā)現(xiàn)的問題，整個探索過程中學生的注意力都很集中，效果比單純的講解要好得多。

因此，在課堂教學中，面對學生的發(fā)現(xiàn)，我總是努力創(chuàng)設情境，推動學生不斷嘗試，讓學生自己探索，讓學生“欲罷不能”，讓課堂更具魅力！

在講完直線與圓的知識后，筆者在習題課上精心設計了這樣一道題目：已知 x，y 是實數(shù)，且 x2+y2-4x-6y+12=0，求：（1）x2+y2的最值；（2）x-y 的最值；所求圓的最值。對于這題，第一小問可以將x2+y2看作是（x，y）與原點的距離的平方，對于第二小問可以用線性規(guī)劃的知識來求解，也可以用三角代換來解決，對于第三小問可以看作是（x，y）與原點的連線的斜率。在章節(jié)結(jié)束時，設計這樣一道題目，可以對前面的知識進行很好的回顧，提起學生的興趣，激發(fā)學生學習數(shù)學的熱情。

問題的反思

總之，教學過程最優(yōu)化不是某種特殊的教學方法與方式，而是根據(jù)一定的目的組織教學過程的方法。這一方法要求統(tǒng)一研究教學原則、所學課程的內(nèi)容特點，可能采取的一整套教學形式和方法，所教班級的特征和學生學習的實際可能性，并在對全部的資料進行系統(tǒng)分析的基礎上，選擇對該具體條件來說教學過程的最優(yōu)方案。只有當教師不僅掌握了教學過程的全部成分本身，而且掌握了選擇有利于現(xiàn)有條件的教學過程結(jié)構的技能，并在考慮班級和每個學生條件的基礎上，才能實現(xiàn)教學過程的最優(yōu)化，從而減輕學生的負擔，提高課堂效益，提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。