齒輪嚙合過程彎曲強(qiáng)度有限元分析*

涂文兵，楊錦雯，羅 丫，任繼文

(華東交通大學(xué) 機(jī)電與車輛工程學(xué)院，江西 南昌 330013)

0 引言

輪齒折斷是機(jī)械傳動設(shè)備中最常見的齒輪損傷形式，也是造成齒輪失效的主要原因。輪齒受力后，在齒根部產(chǎn)生的彎曲應(yīng)力最大，且在齒根過渡圓角處有應(yīng)力集中。齒根的彎曲應(yīng)力隨嚙合點(diǎn)位置的變化而不同，如果齒根的應(yīng)力超過了材料的極限應(yīng)力則會造成輪齒過載折斷。因此，分析齒輪不同嚙合位置時齒根的彎曲應(yīng)力具有重要的理論價值和工程意義。

齒輪的靜強(qiáng)度研究自齒輪應(yīng)用以來就受到了國內(nèi)外學(xué)者的重視。Conry[1]通過編程計算得到了齒輪的彈性變形和接觸應(yīng)力分布；Refaat[2]將變分不等式與有限元接觸分析相結(jié)合，計算了齒面接觸應(yīng)力和齒根應(yīng)力；陶振榮[3]提出了一種將齒輪接觸疲勞強(qiáng)度的常規(guī)設(shè)計與可靠性設(shè)計相結(jié)合的改進(jìn)計算方法，為齒輪的小型化設(shè)計提供參考；徐躍進(jìn)[4]計算分析了錐齒輪嚙合過程中的接觸應(yīng)力，并與赫茲公式計算結(jié)果比較，證明了有限元仿真法的精確有效性；董淑婧[5]通過兩種加載方案對主、從動齒輪的有限元模型進(jìn)行分析計算，得到了主、從動輪的彎曲應(yīng)力；王小群等[6]采用三維接觸有限元技術(shù)研究了不同齒根過渡曲線對齒輪齒根彎曲疲勞強(qiáng)度的影響，為選擇不同齒輪加工方法提供了理論依據(jù)；郭輝等[7]用三維接觸有限元法計算了面齒輪副嚙合過程中及其參數(shù)變化時彎曲應(yīng)力的變化；陳玲等[8]建立了齒輪二維和三維有限元模型，分別研究了在靜載荷和沖擊載荷作用下齒輪能承受的最大載荷值；趙韓等[9]較系統(tǒng)地介紹了近年來齒輪技術(shù)新的發(fā)展和應(yīng)用現(xiàn)狀，并提出了一些需要解決的問題。綜上，目前關(guān)于齒輪靜強(qiáng)度的研究主要集中在對齒輪接觸應(yīng)力的分析方面，較少涉及到齒根彎曲應(yīng)力，特別是對齒輪不同嚙合位置時齒根的彎曲應(yīng)力分析。因此，本文對齒輪嚙合過程的彎曲強(qiáng)度進(jìn)行有限元分析。

1 齒輪嚙合過程彎曲強(qiáng)度有限元分析流程

本文利用有限元分析軟件ANSYS建立一對漸開線直齒圓柱齒輪的接觸有限元模型，并對其進(jìn)行非線性靜力學(xué)分析。通過與理論計算結(jié)果的比較，驗(yàn)證本文所用分析方法的準(zhǔn)確可靠性，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步分析齒輪不同嚙合位置下齒根的彎曲強(qiáng)度。通過設(shè)置不同加載位置來仿真嚙合位置的真實(shí)變化，然后求解計算出不同嚙合位置下齒根的彎曲應(yīng)力，從而得到齒輪彎曲強(qiáng)度隨嚙合位置的變化規(guī)律。齒輪嚙合過程彎曲強(qiáng)度有限元分析流程如圖1所示。

圖1 齒輪嚙合過程彎曲強(qiáng)度有限元分析流程

2 有限元模型建立

本文以漸開線直齒圓柱齒輪為研究對象，其結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1。

齒輪傳動是依靠輪齒依次嚙合而實(shí)現(xiàn)的，正確嚙合的兩漸開線直齒圓柱齒輪的法向齒距Pn必須相等。齒輪的嚙合從主動輪的齒根推動從動輪的齒頂開始，到主動輪的齒頂推動從動輪的齒根結(jié)束，輪齒依次嚙合，形成連續(xù)傳動，齒輪嚙合過程的齒廓圖如圖2所示。圖2中，N1N2為公法線，B1B2為實(shí)際嚙合線，Pn為法向齒距，ra1為主動輪齒頂圓半徑，rb1為主動輪齒根圓半徑，ra2為從動輪齒頂圓半徑，rb2為從動輪齒根圓半徑。重合度計算公式為：

(1)

其中：Z1為主動輪齒數(shù);Z2為從動輪齒數(shù);αa1為主動輪齒頂圓壓力角;αa2為從動輪齒頂圓壓力角;α為嚙合角。已知Z1=24，Z2=48，αa1=29.841°，αa2=25.564°，α=20°。將相關(guān)參數(shù)代入公式(1)中求得齒輪重合度為1.67，表明齒輪嚙合過程中，單齒對工作與雙齒對工作交替進(jìn)行，且轉(zhuǎn)過一個基圓齒距期間有67%的時間是雙齒嚙合，27%的時間是單齒嚙合。由于單齒嚙合時齒輪所受應(yīng)力最為惡劣，因此本文主要對單齒嚙合過程中齒輪的彎曲強(qiáng)度進(jìn)行分析。

表1 漸開線直齒圓柱齒輪基本參數(shù)

圖2 齒輪嚙合過程的齒廓圖

利用大型建模軟件Pro/E創(chuàng)建齒輪嚙合的實(shí)體模型，保存為igs格式后導(dǎo)入ANSYS中。齒輪材料為40Cr，選用各向同性材料進(jìn)行模擬，設(shè)置密度為7 850 kg/m3、彈性模量為2.06×105MPa、泊松比為0.3。選用Solid-brick 8 node 185單元對模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分，為保證計算精度同時節(jié)約計算時間，對輪齒嚙合部位進(jìn)行網(wǎng)格細(xì)化，設(shè)置全局網(wǎng)格大小為6 mm，齒輪嚙合部位為0.8 mm，最終得到103 632個單元、456 892個節(jié)點(diǎn)。齒輪接觸采用點(diǎn)-面、柔性-剛性接觸，設(shè)置摩擦因數(shù)為0.3。主動輪傳遞的扭矩為487 N·m，齒輪內(nèi)孔上的節(jié)點(diǎn)總數(shù)為1 404個，根據(jù)齒輪運(yùn)動規(guī)律，對從動輪中心孔上所有節(jié)點(diǎn)進(jìn)行全約束，在主動輪中心孔面節(jié)點(diǎn)上施加切向力以模擬扭矩。齒輪嚙合有限元模型如圖3(a)所示。在ANSYS中創(chuàng)建齒輪局部實(shí)體模型，設(shè)置材料屬性同上。選用Plane183單元對模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分，最終得到5 915個單元、18 234個節(jié)點(diǎn)。對齒輪內(nèi)孔和兩側(cè)面進(jìn)行全約束，得到的齒輪局部有限元模型如圖3(b)所示。

圖3 齒輪有限元模型

3 結(jié)果與分析

3.1 齒輪接觸應(yīng)力分析

用完全牛頓-拉普森迭代算法對齒輪接觸模型進(jìn)行靜力學(xué)求解，得到的齒輪接觸等效應(yīng)力云圖如圖4所示。從圖4中可以看出：應(yīng)力主要集中在輪齒接觸處和齒根處，并向四周逐漸衰減，齒輪傳動中齒面受到的最大接觸應(yīng)力為605 MPa。按齒輪接觸強(qiáng)度的傳統(tǒng)計算方法，接觸應(yīng)力計算公式為：

(2)

其中：K為載荷系數(shù);T1為主動輪傳遞的扭矩;Φd為齒寬系數(shù);d1為主動輪分度圓直徑;u為傳動比;ZH為區(qū)域系數(shù);ZE為彈性影響系數(shù);Zε為重合度系數(shù)。已知K=1.81，T1=487 N·m，Φd=0.347，d1=0.144 m，u=2，ZH=2.5，ZE=189.8,Zε=0.881。將已知參數(shù)代入公式(2)中，求得接觸應(yīng)力的理論值為668 MPa，進(jìn)而算出相對誤差η=9%，由此驗(yàn)證了本文所用的分析方法的有效性，為下文的嚙合過程齒根彎曲強(qiáng)度分析提供了可靠性保障。

3.2 齒輪嚙合過程彎曲應(yīng)力分析

在齒輪的運(yùn)動過程中，輪齒的受力點(diǎn)會隨著嚙合線位置的變化而變化，本文僅對應(yīng)力最為惡劣的單齒嚙合過程進(jìn)行分析。在從動輪一側(cè)接觸面上設(shè)置6個加載位置(如圖5所示)，1為單齒嚙合起始點(diǎn)，6為單齒嚙合終止點(diǎn)。以加載位置的移動來仿真嚙合位置的真實(shí)變化，從上文接觸模型的計算結(jié)果中提取出接觸力，用靜力等效的原則將載荷均勻地加在接觸表面[10]，求解得到單齒嚙合過程中不同嚙合位置下齒輪的彎曲應(yīng)力，如圖6所示。

圖4齒輪接觸等效應(yīng)力云圖圖5加載位置示意圖

由圖6可以看出：在單齒嚙合過程中，受載齒的齒根過渡圓角處出現(xiàn)明顯的應(yīng)力集中現(xiàn)象，該齒上的應(yīng)力水平較高，鄰齒和齒輪中心幾乎無應(yīng)力；當(dāng)載荷施加在單齒嚙合最高點(diǎn)時，齒根應(yīng)力最大；隨著嚙合位置的降低，應(yīng)力分布區(qū)域擴(kuò)展，齒根應(yīng)力減小；當(dāng)載荷施加在單齒嚙合最低點(diǎn)時，最大應(yīng)力位置由齒根處移至加載位置處，齒根應(yīng)力集中現(xiàn)象得到緩解。

圖6 單齒嚙合過程不同加載位置彎曲應(yīng)力云圖

為了定量分析齒輪強(qiáng)度與嚙合位置的關(guān)系，提取加載側(cè)齒根最大應(yīng)力絕對值、非加載側(cè)齒根最大應(yīng)力絕對值以及齒輪最大變形量進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，結(jié)果如圖7和圖8所示。

圖7 加載位置與齒根最大應(yīng)力的關(guān)系

圖8 齒輪最大變形量與加載位置的關(guān)系

在單齒嚙合過程中，齒輪加載側(cè)受力拉伸，非加載側(cè)受力壓縮。由圖7可知：受拉側(cè)應(yīng)力的絕對值始終略大于受壓側(cè)應(yīng)力的絕對值，且材料的抗壓強(qiáng)度遠(yuǎn)大于抗拉強(qiáng)度，因此齒輪嚙合過程中最危險的位置為加載側(cè)齒根圓角處。通過對數(shù)值點(diǎn)進(jìn)行曲線擬合可知，兩側(cè)最大應(yīng)力在單齒嚙合過程中均呈二次拋物線衰減。

由圖8可知：在單齒嚙合過程中，齒輪的最大變形發(fā)生在嚙合的最高點(diǎn)，且位于齒頂圓附近。通過對數(shù)值點(diǎn)進(jìn)行曲線擬合可知，齒輪最大變形量在單齒嚙合過程中呈二次拋物線衰減。

4 結(jié)論

本文基于ANSYS對齒輪嚙合過程彎曲強(qiáng)度進(jìn)行分析，得出如下結(jié)論：

(1) 齒輪嚙合過程中最危險的位置為加載側(cè)齒根圓角處，持續(xù)的應(yīng)力集中容易造成輪齒的折斷，因此在齒輪的設(shè)計過程中應(yīng)注意提高齒根圓角處的強(qiáng)度。

(2) 齒輪單齒嚙合過程中，兩側(cè)齒根彎曲應(yīng)力和最大變形量均呈二次拋物線衰減。

(3) 鑒于ANSYS分析的快捷、直觀和準(zhǔn)確性，在齒輪設(shè)計過程中可以使用有限元分析來代替?zhèn)鹘y(tǒng)方法進(jìn)行強(qiáng)度校核，以縮短研發(fā)周期，提高設(shè)計效率。