高中數(shù)學(xué)中恒成立問(wèn)題的解題方法和技巧

◎?qū)O玘玥

前言：在高中數(shù)學(xué)中的恒成立問(wèn)題，所包含的內(nèi)容相對(duì)較廣，其中不僅包含常見(jiàn)的函數(shù)，還存在一些變量，或者將數(shù)列、函數(shù)等知識(shí)進(jìn)行結(jié)合，在很大程度上增加了解題的難度。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，恒成立問(wèn)題有著邏輯復(fù)雜、靈活多變的特征，可以將很多知識(shí)點(diǎn)融入其中，對(duì)高中生的綜合能力進(jìn)行全面考察。因此，采用適當(dāng)?shù)慕忸}方法、技巧，是考試中學(xué)生應(yīng)對(duì)恒成立問(wèn)題的必要解題路徑。

一、運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)法解決數(shù)學(xué)中的恒成立問(wèn)題

通過(guò)日常對(duì)知識(shí)的積累，求得最值的最佳解題方式就是完全平方公式，因此在面對(duì)恒成立問(wèn)題時(shí)，可以將構(gòu)造函數(shù)法運(yùn)用在其中，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)解題的目的。在此基礎(chǔ)上，我們可以通過(guò)二次函數(shù)所具備的圖形性質(zhì)，對(duì)題目中的最佳值進(jìn)行準(zhǔn)確判斷。如果題目中包含一個(gè)以上的變量，就應(yīng)該將恰當(dāng)?shù)膮?shù)、變量選擇出來(lái)，以此來(lái)得出具體的關(guān)系式，實(shí)現(xiàn)變繁為簡(jiǎn)的解題目的。通常情況下，解題時(shí)需要將已經(jīng)確定范圍中的已知量，作為變量對(duì)未知范圍的量進(jìn)行求解。

例題1：已知 m∈［－2，2］且 m為任意值，2x－1＞m（x2－1）這一不等式成立，求x值的所屬范圍。

在解題的過(guò)程中，需要注意的時(shí)應(yīng)該對(duì)這類題型進(jìn)行詳細(xì)的分析。根據(jù)筆者身邊同學(xué)的情況發(fā)現(xiàn)，很多人會(huì)將這類題目的重點(diǎn)放在x的定位層面，導(dǎo)致題目復(fù)雜化［1］。因此，就應(yīng)該根據(jù)題目，及時(shí)轉(zhuǎn)變自己的思維方式，以m為變量并以x為參量，對(duì)題目中的不等式進(jìn)行簡(jiǎn)化，最終就能夠輕松地完成解題，并保證結(jié)算結(jié)果的準(zhǔn)確性。

二、采用變量分離法解決數(shù)學(xué)中的恒成立問(wèn)題

在高中數(shù)學(xué)的恒成立問(wèn)題中，很多不等式中含有參數(shù)，此時(shí)就需要將其中的變量、參數(shù)進(jìn)行分離，同時(shí)保證完成轉(zhuǎn)化后的不等式一側(cè)，可以實(shí)現(xiàn)函數(shù)范圍、最值的求解，而這種解題技巧即為變量分離法。通過(guò)這樣的解題方式，可以更好的運(yùn)用函數(shù)知識(shí)對(duì)題目進(jìn)行轉(zhuǎn)化，降低恒成立問(wèn)題的難度，并且提高可以在一定程度上提高解題的速度，便于對(duì)答題時(shí)間的合理控制。

例題2：假設(shè)函數(shù) f（x）＝lg［1＋2x＋3x＋4x＋… ＋（n－1）x＋nxa］／n。其中，a∈R、而n∈N并且≥2。如果在x∈［－∞，1］的條件下，函數(shù)f（x）為有意義，請(qǐng)計(jì)算a的所屬范圍。

題目分析：因?yàn)楫?dāng)x∈［－∞，1］時(shí)函數(shù)f（x）有意義，所以在解題的過(guò)程中可以將上述問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)變，最后可以得出：在x∈［－∞，1］的條件下，［1＋2x＋3x＋4x＋… ＋（n－1）x＋nxa］／n＞0，同時(shí) n∈N并且≥2。

在解答本題的過(guò)程中，題目中的x為重點(diǎn)“對(duì)象”，同時(shí)n表示常數(shù)，而a作為題目的參變量，所以就形成了最終的恒成立問(wèn)題，此時(shí)高中生就可以根據(jù)函數(shù)定義域的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行解題。在含有參變量的恒成立問(wèn)題中，如果題目與函數(shù)的單調(diào)性、值域、定義域等知識(shí)相關(guān)，常常就需要采用上述的方式完成解題。具體來(lái)說(shuō)，在例題2的解題過(guò)程中，筆者所采用的變量分離法是解決恒成立問(wèn)題的最基本方式，其主要就是通過(guò)變量分離的方式，使題目中的已知量、參變量實(shí)現(xiàn)分離，最終使其變?yōu)楹?jiǎn)單的參數(shù)，實(shí)現(xiàn)解題的目的。需要注意的是，同學(xué)們?cè)诮獯疬@一類題目時(shí)，最重要的就是掌握題目的重點(diǎn)，使已知量、參變量得到準(zhǔn)確的分離［2］。同時(shí)，在解題的過(guò)程中，還應(yīng)該重視函數(shù)相關(guān)知識(shí)的運(yùn)用，以此來(lái)保證解題結(jié)果的準(zhǔn)確性。

結(jié)語(yǔ)：綜上所述，對(duì)于眾多的高中生來(lái)說(shuō)，恒成立問(wèn)題是其不愿面對(duì)的題型之一，主要就是其涉及的知識(shí)內(nèi)容廣泛，并且解題難度較高。所以，在解題中就需要將構(gòu)造函數(shù)法、變量分離法等方法技巧，合理的應(yīng)用其中，以此來(lái)實(shí)現(xiàn)解答的目的。結(jié)合本文的分析發(fā)現(xiàn)，將構(gòu)造函數(shù)法、變量分離法，運(yùn)用在高中數(shù)學(xué)中的恒成立問(wèn)題中，其可以降低解題的難度，并提高解題的實(shí)際效率，說(shuō)明其具有較強(qiáng)的可行性。