基于核心素養(yǎng)的新授課有效設(shè)問研究教學(xué)設(shè)計(jì)
——《函數(shù)的概念》

◎張映飚 王佳

問題是數(shù)學(xué)的心臟，以問題貫穿課堂前后來發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)是一種有效的教學(xué)手段，函數(shù)的概念的教學(xué)在高中數(shù)學(xué)中起著承上啟下的作用，下面是本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計(jì)，其中踐行了問題教學(xué)法，發(fā)展了學(xué)生的核心素養(yǎng)。

一、教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能

（1）通過實(shí)例理解函數(shù)的概念。

（2）能利用函數(shù)的概念判斷一個(gè)對應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)關(guān)系。

2.過程與方法 通過三個(gè)實(shí)例的分析，概括出數(shù)學(xué)概念，發(fā)展抽象思維。

3.情感態(tài)度與價(jià)值觀 在概念形成的過程中，培養(yǎng)學(xué)生樂學(xué)善學(xué)的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

二、教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：函數(shù)概念的理解。

難點(diǎn)：靈活利用函數(shù)的概念判斷一個(gè)對應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)關(guān)系。

三、教學(xué)方法

啟發(fā)引導(dǎo)法、探究法。

四、教學(xué)過程

1.復(fù)習(xí)引入

問題1：初中函數(shù)是如何定義的？y＝1是函數(shù)嗎？

學(xué)生：陷入思考

教師：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)就可以解決這個(gè)問題。

設(shè)計(jì)意圖：通過設(shè)置問題“y＝1是函數(shù)嗎”，使學(xué)生處于思考狀態(tài)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

2.實(shí)例分析

【例1】我國從1949年至1999年人口數(shù)據(jù)資料如表所示（表格見教材）：

（1）1969年我國的人口數(shù)是多少？1978年呢？

（2）表格中每一年的人口數(shù)確定嗎？

學(xué)生回答：

（1）1969（年）→807（百萬），1979（年）→975（百萬）；

（2）每一個(gè)數(shù)（年份）→數(shù)（人口）（唯一的）.

【例2】一物體從靜止開始下落，下落的距離y（m）與下落時(shí)間x（s）之間近似地滿足關(guān)系式：y＝4.9x2.

（1）若一物體下落1s，你能求出它下落的距離嗎？下落2s呢？

（2）下落過程中，每一時(shí)刻的下落距離確定嗎？

學(xué)生回答：

（1）1（s）→4.9（m），2（s）→9.8（m）；

（2）每一個(gè) x（s）→y（m）（唯一的）.

【例3】下圖為某市一天24小時(shí)的氣溫變化圖.（圖見教材）

（1）上午7時(shí)的氣溫是多少？14時(shí)呢？

（2）這一天中的每一個(gè)時(shí)刻的氣溫確定嗎？

學(xué)生回答：

（1）7（h）→0（℃），14（h）→9（℃）；

（2）每一個(gè) T（h）→θ（℃）（唯一的）.

問題2：這三個(gè)實(shí)例中各自的自變量和因變量之間的對應(yīng)關(guān)系滿足怎樣的共同特征呢？

學(xué)生：對于每一個(gè)自變量的取值都有唯一的因變量的取值與之對應(yīng).例1、例2和例3中的對應(yīng)關(guān)系都表現(xiàn)出唯一性的特點(diǎn)。

問題3：如果自變量的集合是A，因變量的集合是B，那這兩個(gè)集合能為空集嗎？從上面三個(gè)例子看集合A，B都是非空數(shù)集嗎？你能用集合語言表述這一對應(yīng)關(guān)系嗎？

學(xué)生：不能，為空集的話就沒有對應(yīng)關(guān)系，就無意義；都是數(shù)集；集合A中的每一個(gè)元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應(yīng).

教師：很好！事實(shí)上，如果兩個(gè)集合有一個(gè)至少是非數(shù)集的這種情況，是我們下一節(jié)要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生從集合的角度認(rèn)識對應(yīng)關(guān)系，并讓學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)兩個(gè)集合都是數(shù)集，對出現(xiàn)非數(shù)集的情況教師給予解釋，能引起學(xué)生的興趣，從而促使學(xué)生預(yù)習(xí)映射的內(nèi)容。

問題4：你能試著說說函數(shù)的概念嗎？

設(shè)計(jì)意圖：通過三個(gè)實(shí)例體現(xiàn)的共同特點(diǎn)，降低抽象概括的難度，采用啟發(fā)式提問，為學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)函數(shù)概念做好鋪墊，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。

3.函數(shù)概念的形成

教師復(fù)述函數(shù)的概念并板書：

構(gòu)成函數(shù)的三要素為定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域.

問題5：你能回答y＝1是函數(shù)嗎？

學(xué)生：有些說“是”，有些說“不是”.

教師板書演示作圖：集合A、B是實(shí)數(shù)集，每一個(gè)x都有唯一確定的y＝1和它對應(yīng).

設(shè)計(jì)意圖：解決課前提出的問題，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用函數(shù)概念判斷的能力，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力。

4.例題講授

例4：下列哪些對應(yīng)關(guān)系是函數(shù)關(guān)系，哪些不是，為什么？

（1）f：A→B，f：“乘2”，其中 A＝｛1，2｝，B＝｛2，4，9｝

（2）f：A→B，f：“平方”其中 A＝｛1，－1，2，－2｝，B＝｛1，4｝

（3）f：A→B，f：“乘2”其中 A＝｛1，2，3｝，B＝｛2，4｝

（4）f：A→B，f：“開平方”，其中 A＝｛4，9｝，B＝｛2，－2，，3，－3｝

學(xué)生：（1）（2）是，（3）不是（4）不是

教師：同學(xué)的回答非常準(zhǔn)確，函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系有一對一如例4（1），還有多對一如例4（2）；滿足唯一性后，集合B中可以有多余元素如例4（1）；但是函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不能有一對多，這也與唯一性相矛盾如例4（4）.

設(shè)計(jì)意圖：通過本例讓學(xué)生準(zhǔn)確理解函數(shù)概念中對應(yīng)關(guān)系的唯一性。以及教師板書：函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系：一對一；多對一。具有唯一性的特點(diǎn)。

問題6：例2中的對應(yīng)法則是什么？

學(xué)生：y＝4.9x2.

問題7：例4中的對應(yīng)法則是什么？

學(xué)生：y＝2x.

問題8：實(shí)例1和3中的對應(yīng)法則是什么？

學(xué)生回答不出，有的說沒有對應(yīng)法則，有的說沒有規(guī)律！

問題9：集合A和集合B中的值是怎么對應(yīng)（建立聯(lián)系）的？

學(xué)生齊聲：表格、解析式、圖像.

教師：同學(xué)們說的完全正確！對應(yīng)法則有表格、解析式、圖像.實(shí)例1對應(yīng)關(guān)系是表格，實(shí)例2對應(yīng)關(guān)系是解析式，實(shí)例3對應(yīng)關(guān)系是圖像。

設(shè)計(jì)意圖：通過問題7，8，9，10，使學(xué)生通過三個(gè)具體實(shí)例得出函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系的三種類型，體現(xiàn)了由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)。

練習(xí)1：下面幾個(gè)例子，說出y是否為x的函數(shù).（x，y都是實(shí)數(shù)）

學(xué)生：否；是；是；是.

設(shè)計(jì)意圖：通過練習(xí)反饋本節(jié)課學(xué)生對函數(shù)的概念是否理解到位，可以使得教師迅速看到本節(jié)課的課堂效果，及時(shí)把握學(xué)情。

5.課堂小結(jié)及布置作業(yè)

小結(jié)：（1）函數(shù)的概念；（2）構(gòu)成函數(shù)的三要素.

作業(yè)：北師大版教材課后1、3題。

函數(shù)的概念是比較抽象的知識，采用以符合學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的有效設(shè)問作為驅(qū)動(dòng)，利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維，把握本節(jié)課的重難點(diǎn)，可為后面各類函數(shù)的學(xué)習(xí)做好概念上的準(zhǔn)備。