Lebesgue測(cè)度的介值定理及其應(yīng)用

路慧芹,路婕

(山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 山東 濟(jì)南 250014)

1 引言

Lebesgue測(cè)度是建立Lebesgue積分的理論基礎(chǔ)。 在實(shí)變函數(shù)教科書中, 均給出了Lebesgue測(cè)度具有的一般性質(zhì), 如非負(fù)性、單調(diào)性、可列可加性等。 作為對(duì)Lebesgue外測(cè)度性質(zhì)的補(bǔ)充, 謝天夏等[1]研究了Lebesgue外測(cè)度可列可加性的充要條件，張?zhí)斓碌萚2]給出了中有界集的Lebesgue外測(cè)度具有介值性質(zhì)。 本文利用連續(xù)函數(shù)的介值性(參見文獻(xiàn)[3-5])及Lebesgue測(cè)度的單調(diào)性(參見文獻(xiàn)[6])，給出了RN中的任一可測(cè)集的Lebesgue測(cè)度均具有介值性質(zhì), 并把所得結(jié)果用來討論Lebesgue積分的性質(zhì), 證明了積分絕對(duì)連續(xù)性的逆命題也是成立的。

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)E為R1中的可測(cè)集，0

證明因?yàn)镋為R1中的可測(cè)集，故有E?(-∞,+∞)，定義函數(shù)

f(x)=m(E∩(-∞,x]),x∈(-∞,+∞)。

f(x2)=m(E∩(-∞,x2])≥m(E∩(-∞,x1])=f(x1),

且

f(x2)-f(x1) =m(E∩(-∞,x2])-m(E∩(-∞,x1])

=m((E∩(-∞,x1])∪(E∩(x1,x2])-m(E∩(-∞,x1])

≤m(E∩(-∞,x1])+m(E∩(x1,x2])-m(E∩(-∞,x1])

=m(E∩(x1,x2])≤m((x1,x2])=x2-x1，

于是，我們有

|f(x2)-f(x1)|≤|x2-x1|,?x1,x2∈(-∞,+∞)。

因此，f(x)是(-∞,+∞)上的連續(xù)函數(shù)，由連續(xù)函數(shù)的介值定理知，存在x0∈(-∞,+∞),使得f(x0)=c.令E1=E∩(-∞,x0],則有mE1=c。

定理2 設(shè)E為R2中的可測(cè)集，0

證明(1) 首先，我們證明：?ε>0,?半開區(qū)間I?R2,s.t.m(E∩I)>mE-ε。

(2)其次， 我們證明：對(duì)R2中任意的半開區(qū)間I=(a1,b1]×(a2,b2],定義二元函數(shù)

f(x,y)=m(E∩((a1,x]×(a2,y])),(x,y)∈I，

則f(x,y)在I上連續(xù)。事實(shí)上，對(duì)任意的(x,y1)∈I，(x,y2)∈I,不妨設(shè)y1

f(x,y2)=m(E∩((a1,x]×(a2,y2]))≥m(E∩((a1,x]×(a2,y1]))=f(x,y1),

且

f(x,y2)-f(x,y1) =m(E∩((a1,x]×(a2,y2]))-m(E∩((a1,x]×(a2,y1]))

=m(E∩((a1,x]×(y1,y2]))

≤m((a1,x]×(y1,y2])

≤(b1-a1)(y2-y1)。

于是，我們有

|f(x,y2)-f(x,y1)|≤(b1-a1)|y2-y1|,?(x,y1)∈I,(x,y2)∈I。

同理可證，|f(x2,y)-f(x1,y)|≤(b2-a2)|x2-x1|,?(x1,y)∈I,(x2,y)∈I。

即，f(x,y)在I上對(duì)每一個(gè)變?cè)紳M足李氏條件。對(duì)任意的(x,y)∈I，(x0,y0)∈I,我們有

|f(x,y)-f(x0,y0)| ≤|f(x,y)-f(x,y0)|+|f(x,y0)-f(x0,y0)|

≤(b1-a1)|y-y0|+(b2-a2)|x-x0|,

由此易知，f(x,y)在I上連續(xù)。

注：類似于定理2的證明過程，我們可以證明，對(duì)于RN(N>2)上的可測(cè)點(diǎn)集E的Lebesgue測(cè)度同樣具有類似于定理2的介值性定理。 于是我們有下述一般性結(jié)果。

定理3 (Lebesgue測(cè)度的介值定理) 設(shè)E為RN(N∈)中的可測(cè)集，0

3 應(yīng)用

所以，f(x)在E上可積。