基于小波分解及Arima誤差修正的徑流預(yù)測模型及應(yīng)用

，，，

(1.國際小水電中心， 杭州 310002；2.河海大學(xué) 水利水電學(xué)院， 南京 210098)

1 研究背景

徑流預(yù)測對水電站的運行和水庫調(diào)度都有著重要意義。由于受氣候、流域自然地理和人類活動等因素的綜合影響，河道徑流變化規(guī)律錯綜復(fù)雜，常常表現(xiàn)出多時間尺度性、隨機性、突變性以及非線性等特點。因此，徑流預(yù)測一直是國內(nèi)外研究的熱點和難點。

目前應(yīng)用于徑流預(yù)測的常用模型多種多樣，主要有人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、逐步回歸、灰色預(yù)測、相關(guān)向量機(RVM)、支持向量機(SVM)等。 Jain等[1]首次將人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用在水庫入庫流量預(yù)測及水庫運行方面，并將人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型和自回歸滑動平均模型進行了比較。左衛(wèi)兵等[2]在貝葉斯框架下利用相關(guān)向量機對黃河某水文站徑流進行了預(yù)測分析。周秀平等[3]建立了基于支持向量機的徑流預(yù)測模型并應(yīng)用于西江流域徑流預(yù)測中。

各類傳統(tǒng)徑流預(yù)測模型在一定程度上降低了徑流預(yù)測的難度，尤其對于普通徑流時間序列，各常規(guī)預(yù)測模型均取得較好的預(yù)測效果。但是，當徑流時間序列中出現(xiàn)多處突變，表現(xiàn)出較強隨機性、非線性特點時，上述預(yù)測模型的預(yù)測結(jié)果與實測值誤差出入較大，無法達到更高的精確度。

針對目前常用徑流預(yù)測模型對隨機性時間序列的預(yù)測能力不強的不足，本文將小波分解法[4]引入到徑流預(yù)測模型中。對原始徑流時間序列進行小波分解和重構(gòu)，將非平穩(wěn)的徑流時間序列平穩(wěn)化后，再應(yīng)用預(yù)測模型對其進行預(yù)測。針對突變數(shù)據(jù)對預(yù)測結(jié)果仍存在一定影響，利用Arima模型對誤差進行預(yù)測，進一步修正預(yù)測值。綜合小波分解法、RVM預(yù)測模型以及Arima誤差修正模型，本文提出了一種基于小波分解法及Arima誤差修正的徑流預(yù)測模型。

2 徑流預(yù)測模型

2.1 小波分解及重構(gòu)方法

小波分解及重構(gòu)以多分辨分析為理論基礎(chǔ)，于1988年由Mallat首次提出。它的基本思想是以尺度空間Vj和小波空間Wj來表示L2(R)。定義{Vj}j∈Z是L2(R)上的一列閉子空間，小波空間Wj是Vj+1與Vj之差，即Vj+1=Vj?Wj，則可以推得

(1)

在此基礎(chǔ)上，Mallat提出一種快速小波變換方法[5]，包括分解算法與重構(gòu)算法。

分解算法為

cj+1=Hcj，dj+1=Gcj；

j=0,1,…,J。

(2)

重構(gòu)算法為

(3)

通過上述算法，即可將非平穩(wěn)的時間序列分解為若干不同尺度下的平穩(wěn)時間序列。

2.2 相關(guān)向量機基本理論

tn=y(xn;w)+εn。

(4)

式中y(xn;w)為中間變量。

y(x;w)可表示為

(5)

式中：w為參數(shù)向量；ωn為權(quán)重；K(x,xn)為核函數(shù)；N為樣本數(shù)。

假定tn獨立分布，則似然函數(shù)可表示為

式中：t為目標向量，t=(t1,t2,…,tN)T;w=(ω0,ω1,…,ωN)T；Φ為基函數(shù)，Φ=[φ(x1),φ(x2),…,φ(xN)]；φ(xn)=[1,K(xn,x1),K(xn,x2),…,K(xn,xN)]T。

(7)

式中α為超參數(shù)，決定權(quán)值先驗分布[7]。

設(shè)α與σ2均服從Gamma先驗概率，則有：

(8)

p(σ2)=Gamma(σ2|c,d) 。

(9)

依據(jù)似然分布和先驗分布的定義，得到w的后驗分布為

(10)

其中：∑=(σ-2ΦTΦ+A)-1；μ=σ-2∑ΦTt；A=diag(α0,α1,…，αN)。

式中：∑為后驗協(xié)方差；μ為后驗均值；M為相關(guān)向量機的數(shù)量。

式(10)對w積分可得由超參數(shù)α和σ2決定的邊緣分布，即

式中：Ω為中間變量，Ω=σ2I+ΦA(chǔ)-1ΦT,I為單位向量。

為簡便計算，采用快速序列稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)算法[8]計算超參數(shù)和噪聲方差。

選用高斯核函數(shù)作為模型的核函數(shù)，即

K(x,xi)=exp(-g‖x-xi‖2) 。

(12)

式中g(shù)為核參數(shù)。

為彌補粒子群算法易陷入局部最優(yōu)的缺陷，采用改進粒子群算法[9]進行核函數(shù)全局尋優(yōu)。

2.3 Arima誤差修正

通過RVM模型擬合值與實測值對比，可得到誤差序列，將其視作隨機時間序列并利用Arima模型[10]進行誤差修正，大大提高預(yù)測精度。Arima模型可表示為

(13)

式中：φm(m=1,2,…，p)為自回歸模型系數(shù)；θj(j=1,2,…，q)為均滑動模型系數(shù)；p為自回歸階數(shù)；q為滑動平均部分的階數(shù)；at為白噪聲序列。

進行Arima模型誤差修正時，首先確定p和q值，再利用最小二乘法確定其他未知參數(shù)，接著擬合誤差序列并得到殘差序列，判斷殘差序列是否為白噪聲的一個子序列，若是，則通過；若不是，則對參數(shù)進行修正，直到滿足條件為止[11]。

2.4 徑流預(yù)測模型

結(jié)合小波分解法、RVM模型以及Arima誤差修正模型的優(yōu)點，建立徑流預(yù)測模型，對非平穩(wěn)、隨機性的徑流時間序列進行準確預(yù)測，具體步驟為：

(1)利用小波分解法對徑流時間序列進行分解，得到若干組子序列，使非平穩(wěn)、非線性的徑流時間序列分解為不同尺度下的平穩(wěn)時間序列。

(2)對分解出的每一個子序列建立相應(yīng)的RVM模型，分別進行樣本訓(xùn)練、擬合及預(yù)測，得到對應(yīng)每一個子序列的預(yù)測結(jié)果和殘差序列。

(3)對上步中各個子序列的殘差序列進行Arima誤差修正，通過Arima模型得到對應(yīng)各個子序列的誤差預(yù)測值，結(jié)合RVM預(yù)測結(jié)果即可得到子序列的最終預(yù)測值。

(4)將所有子序列的預(yù)測結(jié)果進行小波重構(gòu)，得到徑流時間序列的最終預(yù)測結(jié)果。

基于小波分解及Arima誤差修正的徑流預(yù)測模型流程圖如圖1所示。

圖1徑流預(yù)測模型流程
Fig.1Flowchartofrunoffpredictionmodel

3 實例應(yīng)用

浙江省某水電站水庫正常蓄水位160.00 m，總庫容41.9億m3，調(diào)節(jié)庫容21.26億m3。采用基于小波分解及Arima誤差修正的徑流預(yù)測模型對該水電站上游日均流量的監(jiān)測資料進行分析，抽取2010年2月3日—2011年12月2日監(jiān)測資料中每間隔3 d為一組，共224組實測資料為樣本，前204組用于擬合，后20組用于模型預(yù)測。

首先利用小波分解法對數(shù)據(jù)樣本進行預(yù)處理，將非平穩(wěn)、隨機性的徑流時間序列分解為3組不同尺度下相對穩(wěn)定的子序列。對應(yīng)每一個子序列建立RVM預(yù)測模型，核參數(shù)g的取值范圍為[0.01，10]；慣性因子ω的取值范圍為[0.4，0.8]，學(xué)習(xí)因子c1和c2的范圍分別為[1.0，2.5]和[1.5，2.75]；核函數(shù)的位置因子γ和速度因子υ分別為1.00和0.01。通過RVM模型預(yù)測，得出各子序列的預(yù)測值以及殘差序列，在此基礎(chǔ)上，對殘差序列進行Arima誤差修正，得到誤差預(yù)測值，進一步修正預(yù)測結(jié)果。最后對各個子序列的預(yù)測結(jié)果進行小波重構(gòu)，得到徑流數(shù)據(jù)樣本的最終預(yù)測結(jié)果。徑流預(yù)測模型的擬合曲線如圖2所示。

圖2徑流預(yù)測模型擬合曲線
Fig.2Fittedcurveofrunoffprediction

為對比分析，另采用標準的SVM模型、RVM模型對相同數(shù)據(jù)樣本進行預(yù)測。3種模型的預(yù)測結(jié)果對比見表1，預(yù)測效果如圖3所示。

表1 3種模型徑流量預(yù)測結(jié)果對比Table 1 Comparison of prediction results of three models

由表1中數(shù)據(jù)可知，SVM模型、RVM模型和徑流預(yù)測模型的預(yù)測結(jié)果平均殘差分別為8.60%，9.02%和3.64%，通過對比，可以發(fā)現(xiàn)基于小波分解及Arima誤差修正的徑流預(yù)測模型的預(yù)測結(jié)果的精度，遠高于SVM模型和RVM模型。通過圖3中3種模型的預(yù)測效果曲線對比，同樣可以得此結(jié)論，進一步證明了基于小波分解及Arima誤差修正的徑流預(yù)測模型可以提高預(yù)測精度。

圖3模型預(yù)測效果
Fig.3Predictionresultsofthreemodels

4 結(jié) 論

通過分析研究，本文取得的主要結(jié)論有：

(1)針對傳統(tǒng)徑流預(yù)測模型對非平穩(wěn)、非線性、隨機性時間序列預(yù)測效果并不理想，采用小波分解及重構(gòu)方法將非平穩(wěn)的徑流時間序列平穩(wěn)化，有效提高了預(yù)測精度。

(2)結(jié)合小波分解及重構(gòu)方法，建立以RVM為理論基礎(chǔ)的徑流預(yù)測模型，采用改進粒子群算法進行核參數(shù)尋優(yōu)，并利用Arima模型對預(yù)測結(jié)果進行誤差修正，通過實例證明，該模型在徑流預(yù)測中效果較好。

(3)通過實例計算，將徑流預(yù)測模型與標準SVM模型、RVM模型進行對比，3種模型的預(yù)測值平均誤差分別為8.60%，9.02%，3.64%，證明基于小波分解及Arima誤差修正的徑流預(yù)測模型具有更高的預(yù)測精度，在實際工程中具有一定可行性。

結(jié)合小波分解法及Arima誤差修正的徑流預(yù)測模型大大提高了預(yù)測精度，在分析預(yù)測過程中發(fā)現(xiàn)，利用小波分解法得到的子序列質(zhì)量對最終預(yù)測結(jié)果的影響較大，對小波分解及重構(gòu)算法的改進可作為今后研究方向之一。