可重用零件特征的快速設計技術

張 壯 程筱勝 戴 寧 李大偉 孫登廣 孟令尹

南京航空航天大學機電學院，南京，210016

0 引言

快速設計與制造可有效縮短產(chǎn)品開發(fā)周期，提高企業(yè)市場競爭力。在設計方面，約80%的設計為變型設計和自適應設計[1]，即大多數(shù)設計過程是基于以前設計知識的重用，有效利用設計知識的重用可支持快速設計。設計重用有著不同的層次與類型，人們對設計重用的理論及實踐進行了許多探索，研究集中在產(chǎn)品的幾何、拓撲、特征信息的表達與檢索以及基于現(xiàn)有三維建模軟件的二次開發(fā)，存在對平臺依賴性大、設計重用在工程實際中應用困難的問題。幾何信息作為產(chǎn)品或零件的最基本信息，是設計重用的最基本內容。

計算機處理速度不斷加快，增材制造幾乎可以制造任意復雜程度的形狀和結構，在此背景下，網(wǎng)格直接編輯建模方法不斷發(fā)展，從而拓寬了設計空間，其中利用設計重用思想的網(wǎng)格融合技術優(yōu)勢最為明顯。網(wǎng)格融合可將各種現(xiàn)存的任意復雜的數(shù)字化特征模型按照某種方法組合在一起，創(chuàng)造出新模型。這為零件的設計重用提供了新思路。大多數(shù)零件(尤其是復雜零件)都可以認為是由多個不同特征組合或者“裝配”在一起的。此處特征是指面向設計過程從構造零件的結構和功能出發(fā)提取出具有一定形狀的幾何體。特征可以是簡單幾何體，也可以是具有一定功能的復雜幾何體。對于系列化零件，常用的幾個特征如果可以在新零件設計過程中直接“裝配”在基體上，那么設計效率將會有很大提升。通過對現(xiàn)有模型的特征分解，進而對特征利用網(wǎng)格融合技術進行再設計，可有效實現(xiàn)設計知識的重用。

網(wǎng)格融合技術主要分為兩類。第一類方法采用網(wǎng)格過渡融合方法實現(xiàn)特征網(wǎng)格在目標網(wǎng)格上的粘貼。該類方法不需要對網(wǎng)格進行整體變形，而是使特征網(wǎng)格和目標網(wǎng)格之間光滑過渡。SINGH等[2]提出采用過程隱式曲面來連接多面體的新方法，但該方法要求融合區(qū)域為星形，許多情況下并不能滿足；繆永偉等[3]對特征網(wǎng)格和目標網(wǎng)格的邊緣曲線之間進行Hermite插值得到拼接連續(xù)曲面，然后對其進行三角網(wǎng)格化以及Laplacian光順處理，但其方法交互復雜。第二類方法的主要思想是對特征網(wǎng)格進行整體變形，使之適應目標網(wǎng)格的形狀。 BIERMANN等[4]提出一種基于半規(guī)則多分辨細分曲面將特征網(wǎng)格剪切到目標區(qū)域的方法，通過直接對特征網(wǎng)格和目標區(qū)域參數(shù)化將特征網(wǎng)格邊界環(huán)映射到目標網(wǎng)格，但該方法對特征網(wǎng)格和目標區(qū)域的復雜度有較強的依賴性，不適合復雜模型間的融合；TAKAYAMA等[5]提出的GeoBrush方法采用自動生成的網(wǎng)格籠子包圍替換網(wǎng)格進行變形操作，可能使替換部分的網(wǎng)格出現(xiàn)過度變形或畸變現(xiàn)象。

現(xiàn)有的網(wǎng)格融合技術在藝術造型上有較好的實用價值，但因精度難以滿足要求而無法應用在工程領域。為了將網(wǎng)格融合技術應用在零件的設計建模上，并有效控制融合精度，本文提出如下方法：利用離散指數(shù)映射(discrete exponential mapping，DEM)參數(shù)化方法建立特征網(wǎng)格邊界與基網(wǎng)格目標區(qū)域的映射關系，提出基于層的網(wǎng)格變形優(yōu)化算法，減小特征網(wǎng)格畸變，并進一步對網(wǎng)格體積收縮膨脹進行有效控制，最后通過添加幾何約束控制網(wǎng)格位置形態(tài)。

1 技術路線

(a)技術路線

(b)流程示意圖圖1 技術路線及流程示意圖Fig.1 Technology roadmap and flow diagram

2 網(wǎng)格融合建模

大多數(shù)零件由不同的特征組合而成，包括描述零件的基本幾何形體的主特征(也稱為“基特征”)和多個功能性的輔特征。因為特征重用一般指對具有特別結構和功能的輔特征的設計重用，故文中不作特別說明時特征均指輔特征。對于圖2a所示的一個典型撥叉零件，根據(jù)零件的形狀和功能進行特征分解，包括主特征空心圓柱Base和三個功能性輔特征Part1、Part2、Part3，如圖2b所示，其中Part3為一個較為復雜的叉型結構。對圖2a撥叉零件來說，網(wǎng)格融合建模就是實現(xiàn)多個具有不同功能的輔特征Part1、Part2、Part3分別與基特征Base的有效融合，即對撥叉零件進行重建，且實現(xiàn)Part1、Part2、Part3在新模型設計中的重用。

2.1 基于DEM的目標區(qū)域局部參數(shù)化

為建立特征網(wǎng)格邊界與基網(wǎng)格上目標區(qū)域之間的映射關系，需要對基網(wǎng)格進行局部參數(shù)化。本文采用SCHMIDT等[6]提出的DEM方法，該方法是一種局部參數(shù)化方法，具有速度快、可有效滿足實時交互需求的特點。對于在網(wǎng)格曲率變化大的情況下產(chǎn)生較大畸變的問題，采用路徑加權策略和法矢光順的方法優(yōu)化[7]，可有效減小畸變。

2.1.1指數(shù)映射

如圖3a所示，在曲面S:r=r(u1,u2)上取定一點P，任取切向量v∈TP，作測地射線CP,v從P點出發(fā)，且以v/|v|為初始切向，則CP,v由P和v/|v|唯一確定。取CP,v的正向弧長s參數(shù)化ui(s),i=1,2，使P點在S上的曲線坐標為(u1(0),u2(0))。定義映射

即像點Qs=r(u1(s),u2(s))是CP,v上從點P出發(fā)而經(jīng)過弧長s所到達的點。由此定義映射

expP:v?TP→S

v→expP(v)

則此映射稱為曲面S上點P處的指數(shù)映射[8]。

2.1.2離散指數(shù)映射參數(shù)化

對于網(wǎng)格曲面，為得到曲面S上點p處的指數(shù)映射，需要計算網(wǎng)格上其他點q的測地線距離與極角，進而得到測地線向量。對于種子點P的一環(huán)鄰域點，測地線距離就是兩點間距離，所以很容易得到一環(huán)鄰域點的測地線向量，但是對于k-ring鄰域(k>2)的情況，測地線的計算耗時巨大，不能滿足實時交互的要求。離散指數(shù)映射參數(shù)化方法[6]采用近似策略，通過由Dijkstra算法[9]產(chǎn)生分段線性測地線向量的疊加來代替直接計算點q到點p的測地線向量，有效減小了計算量。

如圖3b所示，假設網(wǎng)格曲面上有3點p、r、q，容易得到點r在切平面Tp上的測地線向量up,r和點q在切平面Tr上的測地線向量ur,q，而up,q未知，即點q在切平面Tp上的測地線向量未知。在線性系統(tǒng)中存在：

up,q=up,r+(up,q-up,r)

(1)

(a)指數(shù)映射概念[8]

(b)離散指數(shù)映射近似[6]圖3 離散指數(shù)映射參數(shù)化Fig.3 Discrete exponential map parameterization

考慮用ur,q的一個相關量來代替(up,q-up,r)，首先將切平面Tr中的測地線向量ur,q轉換到Tp中，然后進行向量疊加。設Tp和Tr對應的法矢分別為np和nr，首先將nr旋轉一定角度使其與np共線，此時Tr和Tp共面，然后將Tr繞著np方向旋轉角度θp,r使得兩坐標系完全重合。此時Tr上的ur,q就可以用Tp的基底來表示。由于up,r和ur,q都是二維向量，忽略第一次旋轉的影響，可以得到up,q的近似值：

up,q=up,r+rot2D(θp,r)ur,q

(2)

式中，rot2D(θ)表示做角度為θ的二維(2D)旋轉。

此方法求取的up,q與網(wǎng)格上實際測地線向量值存在誤差，但是在只考慮局部參數(shù)化的情況下，精度在一定參數(shù)化范圍內能夠保證。對于該方法在曲率變化大或者突變處不理想的情況，采用上層鄰域點路徑加權和法矢光順的改進方法[7]。

采用唯一路徑求取網(wǎng)格上點的測地線向量會造成累積誤差。路徑加權策略(即后續(xù)擴張點的測地線向量由其上層鄰域點加權決定)避免了由某一過大誤差對后續(xù)點產(chǎn)生壓倒性的影響。重新定義up,q：

(3)

(4)

式中，ri為點q的上層鄰域點，ri為其坐標向量；q為點q的坐標向量；w為反距離權值。

計算過程中由法矢確定切平面，故法矢對結果有重要影響。對法矢進行光順(某點處的法矢用該點的k環(huán)鄰域內所有點的法矢的加權平均值代替)能有效改善曲率變化大的網(wǎng)格區(qū)域處的參數(shù)化結果，權重函數(shù)采用式(4)。

2.2 特征網(wǎng)格邊界參數(shù)化

針對特征網(wǎng)格邊界參數(shù)化問題，BIERMANN等[4]提出對特征網(wǎng)格本身進行參數(shù)化，但該方法不僅計算量大，需要對整個特征網(wǎng)格進行參數(shù)化，而且對于空間結構復雜的特征網(wǎng)格無法有效保持邊界的幾何信息，誤差較大；錢歸平等[10]提出垂直投影參數(shù)化方法，同樣不能有效保持邊界信息，導致融合網(wǎng)格畸變嚴重。本文首先以邊界點為約束條件，利用最小二乘網(wǎng)格[11]對特征網(wǎng)格進行補洞處理，進而對補洞網(wǎng)格利用DEM方法進行參數(shù)化，得到邊界點的參數(shù)化結果。

2.2.1最小二乘網(wǎng)格

對于具有n個頂點的三角網(wǎng)格模型(V、E、F)(V、E、F分別表示點集、邊集和三角面片集)，定義第i個頂點vi的拉普拉斯坐標為

(5)

wij=1/|N(i)|

式中，N(i)為頂點vi的一環(huán)鄰域點的集合；ki為點vi的平均曲率；ni為單位法向量;vi為vi的坐標向量。

給定光順條件δi=0，即頂點的平均曲率均為0，通過求解下式得到最小二乘網(wǎng)格：

LV=0

(6)

其中，矩陣L為如下n×n的拉普拉斯矩陣：

(7)

對于一個連通的網(wǎng)格模型，矩陣L的秩為n-1，另給一個頂點的位置約束作為初始條件就可以求得唯一解。在實際應用中，通常引入一組控制點vs=(xs,ys,zs)；s∈C,C={s1,s2,…,sm}，si為第個i控制點的序號。此時線性系統(tǒng)變成超靜定線性系統(tǒng)：

Ax=b

(8)

V中y,z分量同理。對式(8)的求解等價于優(yōu)化如下能量方程：

(9)

對上式利用線性最小二乘法，通過Cholesky分解[12]并回代求出擬合解，得到最小二乘網(wǎng)格[11]。

2.2.2補洞網(wǎng)格參數(shù)化

采用補洞法進行邊界參數(shù)化，主要考慮網(wǎng)格融合過程中特征網(wǎng)格的初始形變條件不僅需要邊界點的坐標信息，還需要邊界點的法矢信息來構建邊界點的局部坐標框架。初始形變條件下，邊界點的局部坐標框架與基網(wǎng)格上目標區(qū)域邊界點的局部坐標框架重合，即兩邊界點的法矢同向。當特征網(wǎng)格與基網(wǎng)格在邊界處平滑過渡時，特征網(wǎng)格邊界點的法矢取其本身即可，但對于零件，特征通常是“矗立”在基體之上，此時依然取特征網(wǎng)格邊界點法矢本身相當于給定平滑約束，會導致融合網(wǎng)格嚴重畸變。利用補洞網(wǎng)格邊界點的法矢來代替特征網(wǎng)格邊界點的法矢則在兩種情況下都有較好的結果。

顯然，當特征網(wǎng)格的邊界在一個平面上時，其參數(shù)化結果是精確的。同樣，特征網(wǎng)格邊界點分布越接近于平面，其參數(shù)化結果誤差就越小，網(wǎng)格融合效果越好。由此考慮用一個盡量接近于平面的網(wǎng)格進行補洞。如圖4所示，對圖2中輔特征Part1提取其網(wǎng)格邊界(圖4b)，將邊界保邊長地映射至一個平面圓上，并將此圓利用Delaunay三角化[13]生成一個二維的補洞初始網(wǎng)格(圖4c)，指定邊界點為控制點生成最小二乘網(wǎng)格(圖4d)。圖4d就是保持光順的同時最接近于平面的網(wǎng)格。對圖4d利用DEM方法進行參數(shù)化，結果見圖5。

(a)Part1特征網(wǎng)格 (b)網(wǎng)格邊界

(c)補洞初始網(wǎng)格 (d)最小二乘網(wǎng)格圖4 最小二乘網(wǎng)格補洞Fig.4 Filling holes with least-squares meshes

(a)坐標 (b)邊界點法矢圖5 特征網(wǎng)格邊界參數(shù)化結果Fig.5 Results of boundary parameterization offeature meshes

2.3 基于層的網(wǎng)格變形優(yōu)化算法

三維網(wǎng)格變形的本質就是通過某種映射關系將源網(wǎng)格中的頂點轉換到一個新的位置，生成新的網(wǎng)格并保持拓撲關系。在SINGH等[14]提出的基于曲線的變形方法基礎上，SCHMIDT等[7]提出了COILS(本文稱為“基于層的網(wǎng)格變形”)算法，該算法具有細節(jié)保持好的特點。本文在此基礎上提出基于層距的距離權值分布優(yōu)化方法，以得到更優(yōu)保形結果。

(10)

在變形過程中保證一定剛性的同時也需要具有一定的柔韌度，使初始形變能夠較均勻地分布在整個網(wǎng)格上，即保證點p相對于某一區(qū)域Ω具有一定程度的剛性即可。對式(10)在區(qū)域Ω上積分，有微分表示：

(11)

(12)

式中，d為兩點間的歐氏距離或測地距離；k通常取2；ε為誤差調整值。

對于網(wǎng)格模型，式(11)的離散形式為

(13)

(a)點p隨控制點qi的變化而變化[7]

(b)模型分層示意圖圖6 基于層的網(wǎng)格變形算法示意圖Fig.6 Graph of mesh deformation algorithm based on layer

其中，Ω={pi}為線性閉合離散點集。式(13)就是基于曲線變形的表示形式[14]，可以看出，采樣點的選取和權值函數(shù)是變形的關鍵。選取特征網(wǎng)格邊界為Ω，模型上點p遠離邊界曲線時，基于距離的權值會越來越一致，導致質心下降引起擠壓變形，故考慮將曲線的控制范圍縮小到一定區(qū)域，不同區(qū)域用相鄰的不同曲線來控制變形，從而減小上述的擠壓變形。具體方法如下：從邊界線開始對網(wǎng)格模型由下而上進行分層(圖6b右)，每一層的上一層為該層的控制層，控制層決定著下一層的形變(圖6b左)。將每一層看作一條曲線，這種方法類似于基于曲線的變形，變形自邊界逐層向上傳遞，完成整體變形。這里依據(jù)測地距離進行層的劃分，利用Dijkstra[9]算法近似得到模型上每一點相對于模型邊界的測地距離。設任一點pi的測地距離為gpi，層寬為ru(通常取網(wǎng)格模型平均邊長的2.1倍)，那么控制點pi變形的控制區(qū)域(層)為

Ω(pi)={pj:gpi-ru

(14)

由于權值函數(shù)選取為反距離權值，距離點pi越近的點產(chǎn)生的影響越大(其權值接近1)，產(chǎn)生壓倒性影響，導致變形扭曲，另外在網(wǎng)格比較規(guī)則的情況下容易出現(xiàn)不對稱變形，因此選用數(shù)值從1到0的平滑衰減函數(shù)：

引入調節(jié)權值

warr(pi,pj)=f(Δg,ru)(1-f(Δg,rn))

(15)

式中，Δg為兩點間的測地距離差值；rn為點pi與控制區(qū)域Ω內所有點歐氏距離中的最小值。

對細節(jié)豐富的網(wǎng)格模型而言，存在不同區(qū)域其網(wǎng)格密度不同的情況，同樣會造成網(wǎng)格變形向密度較大的區(qū)域傾斜。引入面積調節(jié)權值

(16)

其中，N(pj)為點pj的一環(huán)鄰域，Tk為一環(huán)鄰域內的三角面片；A(Tk)為Tk的面積。wreg即為點pj的一環(huán)鄰域內所有三角面片面積之和，這樣使得采樣點在密集和稀疏區(qū)域的權值差異不會過大。最終權值定義如下：

wup(pi,pj)=warr(pi,pj)wreg(pi,pj)w(pi,pj)

(17)

上述變形方法在初始形變較小的情況下具有較好的保形性，但當初始形變較大時，會將形變傳遞至整個網(wǎng)格，全局保形結果差。對于大多數(shù)零件(如焊接件)，特征結合處一般為非工作區(qū)域，精度要求較低，可以通過對零件特征的分割(即在精度要求不太高的區(qū)域進行特征分割)來降低融合邊界附近的精度要求。若形變能夠較多地集中在融合邊界處，同時保證遠離邊界的網(wǎng)格區(qū)域能夠具有良好的保形性，那么可以得到更為理想的結果?？梢酝ㄟ^調節(jié)式(12)中的k值來調整距離權值，使邊界附近的點在其控制層中增加距離更近的點的權重，以達到形變集中在邊界附近的目的。如圖7a所示，當k不斷減小，距離權值的分布曲線更加陡峭，形變的分布將更加集中。

如果k值取得過小，將會引起形變的過度集中，導致邊界處過渡不自然，甚至出現(xiàn)折疊邊等一些網(wǎng)格缺陷；對于遠離邊界的網(wǎng)格部分，需要更加均勻的權值分布。由此，考慮依據(jù)點pi到邊界的測地距離di來決定該點的ki值，即隨著di的增大，減小ki值。設網(wǎng)格上任意點到邊界的測地距離最大值為dmax，引入

ki=k1{1-[1-(di/dmax)2]3}+k2[1-(di/dmax)2]3

(18)

式(18)即是根據(jù)di在k1和k2之間進行兩端平滑的非線性插值，通常上限k1取2，調整k2的大小就可以得到不同di處的ki值，即在di較小處ki值較小，距離權值分布集中，di較大處ki值較大，距離權值分布均勻。不同k2值下k值隨層距比的分布圖見圖7b，調整k2可以得到整體網(wǎng)格從下到上不同程度的距離-權值分布。

(a)不同k值下距離-權值分布圖

(b)不同k2值下k值隨層距比變化圖圖7 基于層距的權值優(yōu)化Fig.7 Weight optimization based on layer distance

為達到自動控制網(wǎng)格適應性變形的目的，即對于不同的特征網(wǎng)格都能得到相適應的ki分布，考慮量化某一相關量來調整式(18)中的k2值。在2.2.2節(jié)中提到，特征網(wǎng)格的邊界點分布越接近于平面，其參數(shù)化結果誤差就越小，網(wǎng)格融合的效果越好，即邊界點分布很大程度上決定了初始形變量的大小。在這樣的思路下，首先確定一個平面P，使得補洞網(wǎng)格上所有點到平面P的距離平方和最小，設補洞網(wǎng)格上任一點vi到平面P的距離為d(vi,P)，P滿足下式：

P=argmin(∑d2(vi,P))

(19)

式(19)即是用最小二乘法進行平面擬合，對圖4d中的補洞網(wǎng)格平面擬合，結果見圖8。設補洞網(wǎng)格上所有點到平面P的平均距離為dave，最大距離為dmax1，對k2進行粗略的線性調節(jié)(當dave、dmax1都趨向于0時，dave/dmax1取1)：

k2=c1(dave/dmax1)+c2

(20)

補洞網(wǎng)格本身為平面時，k2取c1+c2，補洞網(wǎng)格相對于平面更加離散時，k2向c2靠近。

圖8 最小二乘法對補洞網(wǎng)格平面擬合Fig.8 Plane fitting to filling hole mesh based on least square method

2.4 特征網(wǎng)格體積膨脹收縮優(yōu)化

上述變形方法存在網(wǎng)格體積膨脹或收縮的問題，導致特征無法和基網(wǎng)格保持恒定的距離，這在零件的建模中是致命的。解決問題的同時也希望可以在一個較小的范圍內通過用戶交互指定距離，得到一個可控的彈性的體積變化效果。分析體積變化產(chǎn)生的原因發(fā)現(xiàn)，在邊界映射對齊過程中，邊界點的局部坐標框架重合時產(chǎn)生的影響很大，而局部坐標框架是由邊界點法矢來決定的?？紤]通過修正邊界點法矢來解決體積變化問題以及小范圍內控制體積變化。

大量實驗表明，在一定程度范圍內，邊界點的法矢朝向越靠向邊界中心，特征網(wǎng)格的縱向膨脹越加明顯，反之縱向收縮明顯。圖4中邊界點法矢分布局部放大見圖9a，發(fā)現(xiàn)法矢大部分朝向邊界中心，而該特征的變形重建結果也確實存在體積膨脹的現(xiàn)象。如圖9b所示，對于邊界上任一點pi，對其法矢ni進行如下修正：

(21)

其中，Mθi(pi-1,pi+1)為一旋轉矩陣，表示繞軸線pi-1pi+1進行θi角度的旋轉，pi-1、pi+1為點pi在邊界環(huán)上前后相鄰兩點。為了不造成特征網(wǎng)格的非對稱變形，對邊界上的每一點都進行同樣角度θi的修正。調整θi的目的是保證特征網(wǎng)格與基網(wǎng)格上的某些位置關系，反過來可以通過兩網(wǎng)格之間的位置關系(點、線、面等圖元的距離或投影距離)來動態(tài)調節(jié)θi的變化。由于體積變化在適當范圍內與θi是成單調增減的，故采用二分法進行迭代逼近，直至滿足設置的誤差ε要求，表達如下：

θ={θi|(dr(θi)-ds)≤ε}

(22)

式中，ds為用戶指定的兩網(wǎng)格某特征圖元之間的距離；dr(θi)為在θi角度下融合結果中指定特征圖元之間的實際距離。

(a)邊界點法矢分布及局部放大(b)法矢修正圖9 網(wǎng)格體積變化原因及其修正Fig.9 Reason and correction of mesh volume change

2.5 特征圖元提取與幾何約束

2.5.1局部坐標系的建立

進行網(wǎng)格融合首先需要導入基網(wǎng)格，由于模型來源不同(可能是實體建模導出，或實物重建模型，或其他模型上分割的一部分)，故基網(wǎng)格在全局坐標系中形態(tài)各異，沒有規(guī)則。根據(jù)基網(wǎng)格本身特征建立一個局部坐標系FL，并計算其與全局坐標系FG的變換矩陣M1，M1滿足FG=M1FL，對網(wǎng)格整體V1進行坐標變換，得到指定規(guī)則下網(wǎng)格新位置V2：

V2=M1V1

(23)

這樣不僅為幾何約束提供了方便，還有利于后續(xù)對模型的切片打印等處理。不同的基網(wǎng)格有著不同的特征，同時面向不同的建模需求可能需要建立不同的坐標系。本文使用交互的方式建立坐標系，選取圖2撥叉零件的基特征Base(一個空心圓柱)予以簡單說明，如圖10所示。首先通過選取端面上任一點向外擴張，依據(jù)法矢差異大小作為擴張停止條件，得到整個端面以及端面兩邊界圓環(huán)(圖10左)；其次對兩邊界圓環(huán)分別利用最小二乘法進行空間圓擬合，分別求出兩圓心位置并求平均值，作為坐標系的原點；然后對端面所含面片集求平均法矢作為z軸，原點與端面上任一點共同決定x軸，y軸由x、z軸確定。所建坐標系如圖10所示。

圖10 建立局部坐標系Fig.10 Construct local coordinate system

2.5.2特定圖元提取與添加幾何約束

添加幾何約束需要拾取特定的圖元(點、線、面等)。如上所述，可以依據(jù)法矢或者曲率對網(wǎng)格進行簡單的分割，得到不同面、面面相交的特征線以及線的各端點。對離散的面和線擬合以得到具體幾何信息。

特征網(wǎng)格在基網(wǎng)格上的位置形態(tài)完全由兩者的參數(shù)映射決定，因此通過確定參數(shù)域中心可以確定位置，確定參數(shù)域的縮放比例(同時對特征網(wǎng)格進行等比例縮放)可以確定大小，確定參數(shù)域的二維旋轉變換可以確定朝向。實體建模中幾何約束理論成熟，對提取的特定圖元進行類似約束(如點面距離、面面平行等)，最后反求出參數(shù)域中心和二維旋轉變換，得到最終帶位置約束的融合結果。

3 實驗分析

本文算法采用C+ +語言在VS2008平臺及OpenGL函數(shù)庫下實現(xiàn)，PC機配置為CPU i5-4460、3.20GHz，內存4GB。

3.1 基于層的網(wǎng)格變形優(yōu)化結果

選取圖2拔叉零件中特征Part1和Base作為實驗模型，見圖11a，利用2.3節(jié)算法，隨著k2值不斷減小得到圖11b所示的變形結果，其中k2=2.0時的結果也就是SCHMIDT等[7]的結果。直觀上看，隨k2不斷減小，特征網(wǎng)格的形變從全局慢慢集中到邊界附近，而遠離邊界處的細節(jié)高度保形。

為準確衡量特征網(wǎng)格的保形性，取圖11a中的A、B兩平面分析其平面度和垂直度，具體見表1，最后一組k2=0.8是通過2.3節(jié)中所述方法自動計算的結果。表1中，平均值指面的平均法矢與各頂點法矢夾角的平均值，最大、最小差值指平均法矢與各頂點法矢的最大夾角和最小夾角。A包含423個頂點，747個三角面片；B包含483個頂點，880個三角面片。顯然，k2=0.8時A、B保形程度很高。

表1 特征網(wǎng)格保形性分析

3.2 體積膨脹收縮優(yōu)化結果

同樣選取圖2拔叉零件中特征Part1和Base作為實驗模型，在基于層的網(wǎng)格變形優(yōu)化之后，采用2.4節(jié)中體積控制方法，在k2=0.8、ds=10.0、ε=0.02的條件下，得到圖12d所示的控制結果。為反映體積隨角度θ變化而變化的趨勢，給出不同θ下的網(wǎng)格形變結果，見圖12。θ取值以及衡量網(wǎng)格體積變化的dr值見表2，其中θ取負值表示朝背向邊界中心的方向調整邊界點法矢。

(a)θ=0 (b)θ=-0.12 rad

(c)θ=-0.26 rad (d)θ=-0.362 rad圖12 網(wǎng)格體積變化控制Fig.12 Variation control of mesh volume

θ(rad)0-0.12-0.26-0.362dr (mm)12.21211.49810.64210.015

3.3 幾何約束結果

(1)特征網(wǎng)格的大小確定。通過對特征網(wǎng)格在不同方向按指定參數(shù)縮放，同時對邊界參數(shù)化結果進行同比例的縮放，可實現(xiàn)特征網(wǎng)格在基網(wǎng)格上的局部方向縮放和全局縮放，圖13a給出了一個圓形凸臺在不同方向下進行縮放后的最終融合效果。

(2)特征網(wǎng)格的位置確定。即基網(wǎng)格上參數(shù)化區(qū)域中心點的確定(僅適用于特征網(wǎng)格邊界對稱的情況，此時認為邊界參數(shù)化中心為邊界幾何中心)?？紤]傳統(tǒng)實體建模流程與零件對位置公差的嚴格要求，首先在基網(wǎng)格上選取幾何參照，然后通過給定約束進行求解。圓形凸臺分別在矩形平面上的任意定位和圓平面上的圓心定位見圖13b和圖13c。對于矩形平面，首先提取平面上相交兩條邊，并以此作為二維基底，通過指定距離參數(shù)即可確定平面內任意位置；對于圓平面，利用2.5.1節(jié)中方法確定圓心。對于特征網(wǎng)格邊界非對稱的情況，可以根據(jù)參數(shù)化中心與特征網(wǎng)格上某特定圖元的位置關系和添加的約束間接求解。

(3)特征網(wǎng)格的旋轉通過對二維參數(shù)域進行旋轉來實現(xiàn)，旋轉的角度需要通過兩網(wǎng)格間的約束來確定。圖13d給出了一個吊耳在平面中心點不同轉向的情況。由于在距離權值分布優(yōu)化后特征網(wǎng)格的保形性很高，故這里近似認為特征網(wǎng)格上的二維平面與基網(wǎng)格上的二維平面平行。二維平面分別由網(wǎng)格上的特征邊來確定。定義X軸和X′軸的夾角為α，α分別取0°、45°、90°的情況見圖13d。

3.4 零件整體建模及精度分析

對圖2中撥叉零件利用本文方法進行整體融合建模并分析其精度，見圖14。圖14a是對圖2a利用Creo 3.0設計的實體模型進行網(wǎng)格劃分(步長0.5 mm)后的網(wǎng)格模型；圖14b是利用本文方法在基網(wǎng)格Base上分別對三個特征網(wǎng)格Part1、Part2、Part3進行融合最終得到的重建結果；圖14c是網(wǎng)格圖14a與圖14b的偏差映射圖，在Geomagic Studio 2012中得到。圖14c的局部放大圖及偏差信息見圖15，其中淺色部分正負偏差在0.04 mm之內，最大偏差為+0.213 mm和-0.253 mm，標準偏差0.017 mm。從圖15中可以看出，只有在融合結合處偏差較大，在其他部分偏差很小，精度高。

(a)圓形凸臺在不同方向下縮放后的融合效果

(b)圓形凸臺在矩形平面上的定位

(c)圓形凸臺在圓平面的圓心定位

(d)吊耳在平面中心點不同轉向的情況圖13 簡單幾何約束Fig.13 Simple geometric constraint

(a) (b) (c)圖14 建模流程及對比Fig.14 Modeling process and comparison

圖15 局部偏差映射圖Fig.15 Local deviation map

3.5 算法效率與特征重用實現(xiàn)

圖14b中拔叉零件重建的算法耗時見表3。算法耗時主要與模型大小有關，但同時也與特征網(wǎng)格邊界大小、形狀，目標網(wǎng)格參數(shù)化面積等有關。根據(jù)設計流程將算法耗時分為邊界參數(shù)化時間t1和局部參數(shù)化與特征網(wǎng)格重建時間t2。從耗時上來看，t1是t2的10倍左右，但是對特征網(wǎng)格來說，邊界參數(shù)化只需要進行一次，在得到參數(shù)化結果后保存并與其他已參數(shù)化特征網(wǎng)格一起組成特征庫。在新零件設計時對于需要的特征只需要從特征庫中取出然后進行融合，此時執(zhí)行目標網(wǎng)格局部參數(shù)化與特征網(wǎng)格變形重建部分，耗時在百毫秒級別，故在對特征網(wǎng)格進行縮放、旋轉、移動位置等交互操作時也能實時重建。從特征庫構建及重用設計流程上來看，對于已有的特征，不管其復雜度大小(如Part2一個簡單類圓柱體，Part3一個幾何結構較復雜的叉型結構)，均能夠通過網(wǎng)格融合來實現(xiàn)特征重用，且耗時相差不大；在實體建模中，要想實現(xiàn)較為復雜的特征重用是比較困難的，需要逆向數(shù)據(jù)提取與再設計，不僅專業(yè)要求較高，耗時還比較長。

表3 模型大小及算法耗時

(a)縮放Part1 (b)移動Part2

(c)縮放和移動Part3 (d)替換Part3 圖16 變型設計及特征重用Fig.16 Variant design and feature reuse

對特征Part1、Part2、Part3進行重用，設計出結構不同的系列化撥叉零件，見圖16。其中圖16a改變了Part1的大小，圖16b改變了Part2的位置，圖16c改變了Part3的大小和位置，圖16d則對Part3進行了替換，實現(xiàn)了另外一個特征的重用。可見該方法可以有效實現(xiàn)零件特征的重用，并且操作簡單靈活，有效縮短新模型的建模時間。

4 結論

(1)本文針對零件中設計重用困難的問題提出了網(wǎng)格融合技術，該技術簡單方便，有效縮短了新模型的建模時間，提高了設計效率，并使重建結果具有良好的保形性，在一定精度范圍內滿足設計要求。

(2)本文方法可重用任意復雜的特征，同時對設計人員的專業(yè)水平要求較低，具有大眾化的特點。

(3)增材制造技術在設計方面突破了傳統(tǒng)設計思維的束縛，使得產(chǎn)品設計趨向個性化、藝術化，以上特點促使該方法在新模型的探索、創(chuàng)新設計上有著更為重要的意義；同時由于設計自由度較大，對于非專業(yè)設計人員可能出現(xiàn)設計模型無法滿足力學性能等一些問題。

(4)本文方法對特征網(wǎng)格必須有一個邊界環(huán)的要求使其在零件適用范圍上存在一定局限性。

(5)對零件特征的定義需要進一步完善，對模型的特征分割理論及組合表達有待進一步研究。

(6)存在融合邊界處形變較大造成的應力集中問題，可以考慮局部光順操作。