自動化多面函數(shù)GPS高程擬合在既有鐵路中的應(yīng)用

王文黨　姚穎軻

摘 要：為了使GPS大地高向正常高轉(zhuǎn)換的精度得到有效改善，需要在局部區(qū)域內(nèi)，對區(qū)域的具體情況進行有效分析，建立多面函數(shù)模型進行高程擬合，提高模型的精度，增強最終的使用效果。本文以多面函數(shù)擬合法為切入點，借助相關(guān)的公式，選取分布均勻的GPS水準聯(lián)測點和有關(guān)的函數(shù)形式，對各種數(shù)據(jù)進行有效整合，進行了詳細的分析和探討，增強高程擬合精度。

關(guān)鍵詞：GPS高程；多面函數(shù)法；核函數(shù)

當(dāng)前，水準測量仍然是建立高程控制基準的主要方法。對于工程建設(shè)來說，高程系統(tǒng)通常采用正常高系統(tǒng)，水準測量作為獲取正常高的直接方法而得到普遍使用。采用GPS建立平面控制基準的精度毋庸質(zhì)疑，高程定位精度仍需進一步研究和提高。對局局部區(qū)域工程控制網(wǎng)，可以采用數(shù)學(xué)方法建立合理的GPS高程擬合模型，GPS高程擬合的結(jié)果既可以驗證水準測量的正確性，也可以作為精度要求較低的高程控制基準使用。本文對多面函數(shù)方法進行研究，建立多面函數(shù)模型對某工程控制網(wǎng)GPS點的高程異常進行擬合和分析，得出了一些有益的結(jié)論，并進行了實際應(yīng)用。

1 多面函數(shù)擬合法的概念

多面函數(shù)擬合法，1971年由美國哈笛（Hardy）提出。1976年將此法應(yīng)用于美國大地測量、擬合重力異常、大地水準面差距、垂線偏差等，1978年將此法用于地殼形變。它的基本思想是任何一個規(guī)則或不規(guī)則的連續(xù)曲面均可以由若干簡單面（或稱單值數(shù)學(xué)面）來疊加逼近。具體做法是在每個數(shù)據(jù)點上建立一個曲面，然后在方向上將各個旋轉(zhuǎn)曲面按一定比例疊加成一張整體的連續(xù)曲面，使之嚴格地通過各個數(shù)據(jù)點，從而實現(xiàn)最終的逼近效果。這種方法與信息化、數(shù)字化社會具有密切聯(lián)系，在人類生活、生產(chǎn)以及工程建設(shè)中具有非常廣泛的應(yīng)用。

2 GPS高程擬合基本特點

多面疊加的數(shù)學(xué)表達式為：

這里Q（x，y，xi，yi）為參加插值計算的簡單數(shù)學(xué)面，又稱為多面函數(shù)的核函數(shù)；n為簡單數(shù)學(xué)面的張數(shù)或多層疊加面的層數(shù)，它的值與分塊擴充范圍內(nèi)參與點的個數(shù)相等；Ki（i=1，2，3，…，n）為待定參數(shù)，它代表了第i個核函數(shù)對多層疊加面的貢獻。為了計算方便，多層疊加面中的個核函數(shù)一般選用同一類型的簡單函數(shù)，通常是圍繞豎向軸旋轉(zhuǎn)的曲面，這條豎正好通過某一參考點，例如：

這里為非零參數(shù)。在一段雙曲線繞豎直軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面，當(dāng)σ=0時，此曲面就退化為圓錐面。

在研究的過程中，需要注意為內(nèi)插點到參考點之間的水平距離。

α為研究公式的參數(shù)。Q6是以高斯曲線為母線的旋轉(zhuǎn)面，C0和a為兩個參數(shù)。設(shè)已知參考點有m個，選擇其中n個點作為節(jié)點（j=1，2，…，n≤m）記B=（a1，a2，…an）T，則同樣有V=AX-ζ0誤差方程，式中X為核函數(shù)矩陣。

當(dāng)已知數(shù)m大于節(jié)點數(shù)n時，利用最小二乘法原理，可以根據(jù)A=（XTX）-1XTζ0計算方程系數(shù)，在核函數(shù)權(quán)陣的情況下，也可以計算方程系數(shù)。系數(shù)求出后，同樣可以求出待求點的ζ，從而求出Hr。

如果已知數(shù)m等于節(jié)點數(shù)n時，方程唯一解，可以按線性方程求解。如下式：B=X-1s

這時待定點的解為：ζP=XPB=XPX-1ζ

這里補充說明，對于已知參考點個數(shù)等于誤差方程系數(shù)的情況下，方程存在唯一解，只可以線性求解。這種方法的m個已知點，要求是高程異常顯著點，即能很好描述該區(qū)域內(nèi)高程異常分布的特征點，最好位于最高、最低及坡度變化處。

這種擬合法，雖然理論上嚴密，但使用上有些困難，特別是σ和核函數(shù)的選取，需要不斷試驗改進選取。下面就其中三個問題進行深入分析。

2.1 核函數(shù)的選擇

Hardy的研究結(jié)果是對擾動位型調(diào)和函數(shù)擬合倒雙曲面函數(shù)，對地形模型非調(diào)和型擬合正雙曲面函數(shù)。在參考文獻[5]的研究結(jié)果中，認為倒雙曲面擬合效果良好。因此，在以前的研究中，大多數(shù)測量人員對倒雙曲面的探討比較多，而對其他核函數(shù)的研究沒有涉及。

2.2 光滑系數(shù)的確定

優(yōu)化的σ選取對其高擬合效果有作用，但比較困難，正如Hardy提出，是需要深入研究的一個問題。對于雙曲面函數(shù)，文中取0～1000000對實驗數(shù)據(jù)進行試驗，結(jié)果表明σ越大，內(nèi)插的曲面越平滑，但當(dāng)大于某一值時將使結(jié)果出現(xiàn)很大的偏差。σ對于倒雙曲面函數(shù)，σ必須大于零，否則無法計算，同時σ的取值也有正雙曲面的性質(zhì)，σ越大，內(nèi)插的曲面越平滑。但當(dāng)大于某一值時也將使結(jié)果出現(xiàn)很大的偏差。

2.3 核函數(shù)節(jié)點的選取

在大范圍有較多的GPS水準點，即已知高程異常的點較多，可選其中部分作為節(jié)點，其余作為擬合高程異常的檢核。此時，擬合結(jié)果就與所選節(jié)點不同而異，這是需要實驗研究的問題。對于局部GPS網(wǎng)，GPS水準點不會很多，就可全部用來作為節(jié)點，進行擬合。

3 多面函數(shù)擬合高程異常

應(yīng)用多面函數(shù)擬合內(nèi)插高程異常，其中有3個問題需要進一步

研究。

3.1 核函數(shù)的選擇

多面函數(shù)是屬于純數(shù)學(xué)通近方法，其差值精度與選用的核函數(shù)有密切的關(guān)系，高程變化大的地區(qū)內(nèi)插的精度往往較低，所以我們要選擇一個一成不變的核函數(shù)對各種地形進行最小二乘推估。只要高程變化大的地區(qū)保證了精度，對于平坦地區(qū)的推估，其核函數(shù)影響是不大的。對于待求點的估值實質(zhì)上就是數(shù)據(jù)點的加權(quán)平均值。因而選擇優(yōu)良核函數(shù)的準則是：由它計算的權(quán)系數(shù)P要相對集中，并且數(shù)值穩(wěn)定性好。在對地殼垂直運動中速率面的擬合采用正雙曲線函數(shù)。

3.2 圓滑因子6的選擇

優(yōu)化選取δ對提高擬合效果有作用，但比較困難。對于倒倒雙曲線函數(shù)，6必須大于0，否則無法計算。

3.3 函數(shù)結(jié)點的選取

在大范圍有較多的GPS水準點，即已知高程異常的點較多，可選取其中部分點為結(jié)點，其余作為擬合高程的檢核。此時擬合結(jié)果就與所選結(jié)點不同而異，這是需要試驗研究的問題。對于局部GPS網(wǎng)，GPS水準點不會很多，可以用全部GPS水準點來作結(jié)點進行擬合。

4 模型選擇與應(yīng)用

某大型工程控制網(wǎng)有18個首級控制點，布設(shè)在水域的兩岸，記為A1～A18。平面控制采用GPSB級標準進行，高程采用二等水準進行觀測，采用成熟的平差軟件進行計算，獲得各點的GPS大地高，通過擬合似大地水準面來獲得各點的高程異常值。

均勻選取控制網(wǎng)中8個點作為擬合函數(shù)的中心點，建立多面函數(shù)擬合模型，對剩余的10個點進行高程擬合，用擬合所得的高程與已知的水準高程進行比較，來驗證多面函數(shù)擬合的精度。為分析核函數(shù)形式的選取對擬合效果的影響，選取了三種不同的核函數(shù)建立多面函數(shù)模型。

通過相關(guān)數(shù)據(jù)可以得出，擬合所得高程與已知高程相比較，最大偏差為-0.02675mn和-0.0238m，擬合效果比較好；采用后一種核函數(shù)建立高程擬合模型，擬合的效果低于第一種情況。擬合結(jié)果說明：選取的核函數(shù)形式不同，擬合效果的差異很大。選用上述第一種多面函數(shù)模型進行高程擬合，可以滿足利用全站儀進行施工放樣和檢核的需要，根據(jù)工程階段性的高程放樣精度要求，多面函數(shù)模型擬合的高程是可以使用的。

5 結(jié)束語

在科學(xué)技術(shù)的發(fā)展下，數(shù)字化在鐵路工程中應(yīng)用的越來越廣泛，對社會信息化的進步作出了積極有益的貢獻，催生了新的經(jīng)濟增長點，在實際工作中，這一技術(shù)的使用范圍愈加廣泛。在研制的過程中，需要以GPS軟件平臺為基礎(chǔ)，通過二次開發(fā)，將人力、物力、財力等進行有效結(jié)合，增強應(yīng)用開發(fā)軟件數(shù)據(jù)的精確性和統(tǒng)一性，使數(shù)據(jù)實現(xiàn)有效分享。在計算機技術(shù)不斷發(fā)展的過程中，數(shù)字產(chǎn)品將迎來更加開放的平臺，未來將會有更好的軟件和方法服務(wù)于人類社會。

參考文獻

[1]吳迪軍，熊偉.跨海橋梁GPS高程擬合方法[J].測繪科學(xué).2017（06）.

[2]王強，崔希民，張恒璟，杜俊秀.多項式擬合模型在GPS水準測量中的應(yīng)用[J].測繪工程.2014（08）.

[3]王建忠.GPS高程擬合精度淺析[J].西部探礦工程.2014（06）.