淺析二次函數(shù)根的分布問題的學(xué)習(xí)

（懷化市湖天中學(xué) 湖南懷化 418000）

引言

二次函數(shù)是高中數(shù)學(xué)知識體系的有機(jī)組成部分，而二次函數(shù)根的分布問題是學(xué)習(xí)中的難點問題，困擾著很多同學(xué)?；诖?，我們在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的過程中，一定要注意探索二次函數(shù)根的分布規(guī)律，進(jìn)而提高學(xué)習(xí)效率，提高數(shù)學(xué)成績。所以，筆者針對《淺析二次函數(shù)根的分布問題的學(xué)習(xí)》一題的研究具有現(xiàn)實意義。[1]

例題1：“已知方程ax2-2x+1=0（a＞0）的兩個根滿足以下條件：其中較小的根小于1，而較大的根在1，3之間。問a的取值范圍。”

解：令f（x）=ax2-2x+1（a＞0），根據(jù)已知條件其中較小的根大于1，而較大的根在1，3之間”可以得出f（1）＜0，f（3）＞0，進(jìn)而可以得出a-1＜0，9a-5＞0，從而得出a的取值范圍是a∈

分析與思考：該題目最關(guān)鍵的就是要是要找出“其中較小的根大于1，而較大的根在1，3之間”這一已知條件的充分必要條件，所以在解題的過程中可以利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，首先畫出“ax2-2x+1=0”的圖像，然后觀察圖像。

例題2：“m是什么實數(shù)的時候，方程x2+2mx+2m+1=0在{x|-4＜x＜0}當(dāng)中具有兩個不等的實數(shù)根？”

解：令f（x）=x2+2mx+2m+1=0，根據(jù)題意可知得出：

分析與思考：二次函數(shù)根的分布問題是可以分為兩大類的：（1）兩個根分布在統(tǒng)一區(qū)間之上的時候，那么在解題的過程中只需要考慮區(qū)間端點對應(yīng)的函數(shù)符號就可以了；（2）如果兩根分布在不同的區(qū)間上的時候，就需要考慮三個方面的問題，即Δ的符號、區(qū)間端點對應(yīng)的函數(shù)值的符號以及對稱軸的范圍。但是需要注意的是，并不是全部而是函數(shù)根的分布問題都必須利用該種方法進(jìn)行解答，在解題的過程中只需要找出函數(shù)根分布的其中一個充分必要條件就可以了。

例3：“如果方程x2-mx-m+3=0具有兩個根，且兩個根滿足以下條件：其中一個根處于0和1之間，另一個根在1和2之間，問m的集合?！?/p>

解：根據(jù)題目中所給出的已知條件，可以得出：

f（0）f（1）＜0，

f（1）f（2）＜0，

（3-m）（4-2m）＜0，

（4-2m）（7-3m）＜0，

可得出2＜m＜7/3。

證明：根據(jù)題意可知：f（x）-x=a（x-X1）·（x-X2）

∵0＜x＜X1＜X2＜1/a

∴a（x-X1）（x-X2）＞0

∴當(dāng)x∈（0，X1）的時候，有f（x）＞x。

又f（x）-X1=a（x-X1）（x-X2）+x-X1=（x-X1）（ax-ax2+1），x-X1＜0

且ax-ax2+1＞1-aX2＞0，

∴f（x）＜X1。

分析與思考：在已知方程f（x）-x=0有來兩個根的時候，根據(jù)題目當(dāng)中所給出的函數(shù)與方程之間的關(guān)系，就可以得出f（x）-x的表達(dá)式，進(jìn)而也就可以得出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，之后就可以開展證明。

例題5：“已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R且a＞0），設(shè)函數(shù)f（x）=x的兩個根分別為X1、X2。問題1：如果已知X1＜2＜X2＜4，設(shè)f（x）的對稱軸是x=x0，證明x0＞-1.問題2：如果|X1|＜2，|X2-X1|=2，那么b的取值范圍是什么樣的？”

解：設(shè)g（x）=ax2+（b-1）·x+1，那么就有g(shù)（x）=0的兩個根是X1、X2。

（1）由于a＞0且X1＜2＜X2＜4，可知4a+2b-1＜0，16a+4b-3＞0，從而得出3+3·將兩式相加可以得出b/2a＜1，從而證得x0＞-1。

（2）由（X1-X2）2=（b-1/a）2-4/a，可以得出

又X1X2=1/a＞0，所以可以得出X1、X2屬于同號；

與X2＜-2＜X1＜0，是等價關(guān)系；

與g（-2）＞0，g（0）＞0是等價關(guān)系。

最終解得：b＜1/4或者b＞4/7.

分析與思考：在題目當(dāng)中所給出的已知條件X1＜2＜X2＜4實際上已經(jīng)給出了函數(shù)f（x）=x兩個實數(shù)根的區(qū)間，所以在解答問題的過程中，可以利用函數(shù)的圖像特征進(jìn)行等價轉(zhuǎn)換。

結(jié)論與反思：

上述5道例題分別代表了高中二次函數(shù)根的分布問題的幾種典型題型，希望筆者的思考分析與解答可以為同學(xué)們的學(xué)習(xí)帶去一定的幫助。但是需要注意的是，在學(xué)習(xí)的過程中，單純掌握解題技巧是不夠的，“萬丈高樓平地起”，我們依然要堅信只有在學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識的過程中將基礎(chǔ)打牢，在平時的練習(xí)中注意積累與總結(jié)，才能在解答問題的時候得心應(yīng)手，提高解題的效率。同時，由于筆者的學(xué)識有限，在討論分析問題的過程中難免會有妄自菲薄與不夠深入之處，還望老師與同學(xué)給予建議，進(jìn)而實現(xiàn)共同進(jìn)步。