基于Mathematica的電磁場(chǎng)散度和旋度分布仿真實(shí)驗(yàn)研究

蔣少華

摘要：散度、旋度是研究電磁場(chǎng)理論的基礎(chǔ)，由于其定義抽象難以理解，不利于后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)。該文在實(shí)驗(yàn)教學(xué)中利用Mathematica對(duì)各種矢量場(chǎng)散度、旋度空間分布進(jìn)行仿真，可以方便地畫(huà)出矢量場(chǎng)的分布圖，讓學(xué)生直觀地看到發(fā)散場(chǎng)、旋渦場(chǎng)的分布特點(diǎn)，更好地理解散度、旋度以及亥姆霍茲定理的意義。

關(guān)鍵詞：電磁場(chǎng)；散度；旋度；Mathematica

中圖分類(lèi)號(hào)：TN011 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-3044（2018）25-0236-03

Research on Simulation Experiments of Field Distribution of Divergence and Curl in Electromagnetic Field based on Mathematica

JIANG Shao-hua

（College of Information Science and Engineering， Shaoguan University， Shaoguan 512005， China）

Abstract： Divergence and curl are the basis of the research on electromagnetic field theory. For abstract define， divergence and curl affect the follow-up content of learning. The software Mathematica is introduced for the experimental teaching of divergence and curl in electromagnetic field， which can easily draw the vector field distribution. Therefore， these help the students to see divergence field and vortex field distribution characteristics visually and better understand the meaning of divergence and curl and Helmholtz's theorem.

Key words： Electromagnetic field； Divergence； Curl； Mathematica

散度和旋度是描述矢量場(chǎng)的重要概念，是學(xué)習(xí)電磁場(chǎng)理論的基礎(chǔ)[1]。由于靜態(tài)電磁場(chǎng)、時(shí)變的電磁場(chǎng)等各種場(chǎng)的學(xué)習(xí)都圍繞場(chǎng)的旋度、散度進(jìn)行分析與研究，掌握散度和旋度的計(jì)算方法，理解這兩個(gè)概念的物理意義很重要。有關(guān)散度、旋度的研究，教學(xué)同行提供了有益的建議，但文獻(xiàn)大多從公式推導(dǎo)、理論講述去研究，直觀性仍不夠[2，3]。

因?yàn)樯⒍?、旋度的?nèi)容安排在教材的前面章節(jié)，這部分內(nèi)容還沒(méi)有跟具體的應(yīng)用結(jié)合，學(xué)生一開(kāi)始學(xué)習(xí)覺(jué)得比較抽象，對(duì)散度、旋度的物理意義認(rèn)識(shí)不足。因此，在電磁場(chǎng)理論實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，以靜電場(chǎng)與恒定磁場(chǎng)為例，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)發(fā)散場(chǎng)、旋渦場(chǎng)的不同空間分布；另外，利用Mathematica軟件，畫(huà)出不同矢量場(chǎng)的分布圖，讓學(xué)生可以直觀地看到不同的二維或三維分布圖，改變參數(shù)圖形會(huì)隨著變化，通過(guò)這些方式，加深對(duì)兩種不同場(chǎng)的理解，最后列舉兩個(gè)例子來(lái)加深理解亥姆霍茲定理的含義。

Mathematica軟件是由沃爾夫勒姆研究公司（Wolfram Research Inc.）研發(fā)的一款計(jì)算軟件，可以解決各種領(lǐng)域復(fù)雜的符號(hào)計(jì)算和數(shù)值計(jì)算的問(wèn)題，可以方便地畫(huà)出各類(lèi)圖形，從而形象地看到函數(shù)的某些特性，是目前為止使用最廣泛的數(shù)學(xué)軟件之一[4～7]。

1 發(fā)散場(chǎng)和旋渦場(chǎng)的區(qū)別

1.1 散度的物理意義

根據(jù)矢量場(chǎng)A在點(diǎn)P處的散度

由式（1）可知，?·[A]的物理意義是從點(diǎn)P單位體積內(nèi)散發(fā)的通量，表征空間中通量源的密度，即發(fā)散源強(qiáng)度。?·[A≠0]表示有發(fā)散源，?·[A=0]表示無(wú)散源；矢量的散度是標(biāo)量，大小等于三個(gè)方向的偏導(dǎo)數(shù)之和。

1.2 旋度的物理意義

根據(jù)矢量場(chǎng)A在點(diǎn)P處的旋度

由式（2）可知，?×[ A]的物理意義是點(diǎn)P的環(huán)量面密度，即旋渦源強(qiáng)度。[?×A≠0]，表示有旋場(chǎng)，?×[A=0]，表示無(wú)旋場(chǎng)。當(dāng)矢量A旋渦面與l 圍成的面元矢量方向一致時(shí)，環(huán)量面密度最大。

?×[A]是矢量，其大小等于最大環(huán)量面密度的數(shù)值，方向?yàn)榄h(huán)量面密度最大時(shí)l 圍成的面元的方向。

1.3 兩種典型的發(fā)散場(chǎng)和旋渦場(chǎng)

為了更好區(qū)別發(fā)散場(chǎng)和旋渦場(chǎng)，以靜電荷產(chǎn)生的靜電場(chǎng)以及通過(guò)恒定電流直導(dǎo)線產(chǎn)生的恒定磁場(chǎng)為例。

靜電荷在空間周?chē)a(chǎn)生的靜電場(chǎng)，其電力線是一簇從點(diǎn)電荷出發(fā)向空間發(fā)散的徑向輻射線，是發(fā)散場(chǎng)，如圖1所示；長(zhǎng)直通電導(dǎo)線周?chē)暮愣ù艌?chǎng)的磁力線是同心圓，是連續(xù)的閉合曲線，是旋渦場(chǎng)，如圖2所示。

點(diǎn)電荷的電場(chǎng)以及長(zhǎng)直通電導(dǎo)線周?chē)暮愣ù艌?chǎng)的矢量分布仿真圖如圖3、圖4所示。從圖中可以看出，發(fā)散場(chǎng)與旋渦場(chǎng)的分布是不同的。

2 亥姆霍茲定理的散度和旋度

根據(jù)亥姆霍茲定理（Helmholtz's theorem），矢量場(chǎng)A的散度代表著形成矢量場(chǎng)的一種源——標(biāo)量源ρv，而矢量場(chǎng)A的旋度代表著形成矢量場(chǎng)的另一種源——矢量源J。 一般來(lái)說(shuō)， 當(dāng)一個(gè)矢量場(chǎng)的兩類(lèi)源（ρv， J） 在空間的分布確定時(shí)，該矢量場(chǎng)就唯一地確定了。

亥姆霍茲定理給出了電磁場(chǎng)研究的思路：研究任意一個(gè)矢量場(chǎng)（如電場(chǎng)、磁場(chǎng)等）都應(yīng)該從散度和旋度兩個(gè)方面去進(jìn)行，其中▽·A=ρv ，▽×A=J，稱(chēng)此為矢量場(chǎng)基本方程的微分形式；或者研究任意一個(gè)矢量場(chǎng)（如電場(chǎng)、磁場(chǎng)等）都應(yīng)該從矢量場(chǎng)的通量和環(huán)量?jī)蓚€(gè)方面去研究， 即[SA?dS=VρvdV]，[lA?dl=SJ?dS]，稱(chēng)此為矢量場(chǎng)基本方程的積分形式。

下面列舉兩個(gè)例子，從矢量的散度、旋度仿真分析結(jié)果來(lái)更好理解亥姆霍茲定理的含義。

例1：[A=ax（x-z）+ay（y+x）+azz]

首先，將A分成分解為一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)分量A1和一個(gè)無(wú)散場(chǎng)分量A2之和，

即A=A1+A2

其中：[A1=axx+ayy+azz]， [A2=ax（-z）+ayx]

由于?×[A1=0]，?·[A2=0]，

則

?×[A=][?×A1][=3]

在本例中，ρv =?×[A][=3]， J=?×[A][=-ay+az]。矢量場(chǎng)A由兩類(lèi)源（ρv， J） 確定了在空間的分布。

矢量場(chǎng)A與A1 、A2的矢量場(chǎng)分布仿真圖如圖5～圖7所示，從矢量分布圖可以看出：矢量場(chǎng)A既有散度也有旋度，無(wú)旋有散場(chǎng)分量A1矢量分布是發(fā)散場(chǎng)，無(wú)散有旋場(chǎng)分量A2矢量分布是旋渦場(chǎng)，矢量場(chǎng)A的空間場(chǎng)分布是發(fā)散源與旋渦源共同作用的結(jié)果。

矢量場(chǎng)A與A1 、A2的矢量場(chǎng)仿真圖如圖8～圖10所示，從矢量分布圖可以看出：矢量場(chǎng)A既有散度也有旋度，無(wú)旋有散場(chǎng)分量A1矢量分布是發(fā)散場(chǎng)，無(wú)散有旋場(chǎng)分量A2矢量分布是旋渦場(chǎng)，矢量場(chǎng)A的空間場(chǎng)分布是發(fā)散源與旋渦源共同作用的結(jié)果。

在例2中，[??A]不是恒定值，A1是個(gè)通量值變化的發(fā)散場(chǎng)，而例1[?·A]是恒定值，A1是個(gè)通量值恒定的發(fā)散場(chǎng)，兩個(gè)都是發(fā)散場(chǎng)，分布圖都是發(fā)散的，但兩者分布不一致；例1、例2的A2矢量分布是旋渦場(chǎng)，分布圖都是有旋的，兩者旋渦分布有差別。由此可見(jiàn)，不同的矢量場(chǎng)，其散度、旋度在空間的分布不同。

3 結(jié)語(yǔ)

利用Mathematica強(qiáng)大的計(jì)算功能以及圖形可視化仿真環(huán)境，對(duì)不同的發(fā)散場(chǎng)、旋渦場(chǎng)分布進(jìn)行了動(dòng)態(tài)仿真，可以輔助電磁場(chǎng)理論的實(shí)驗(yàn)教學(xué)，增加了學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)，幫助學(xué)生理解散度、旋度的概念，彌補(bǔ)了電磁場(chǎng)理論實(shí)驗(yàn)的不足。

參考文獻(xiàn)：

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