歸納思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

（寶泉嶺高級(jí)中學(xué) 黑龍江鶴崗 154211）

引言

歸納思想是國內(nèi)高中數(shù)學(xué)教育的一個(gè)重要組成部分，在國內(nèi)的高中數(shù)學(xué)教育中，注重歸納推理結(jié)論的實(shí)際的應(yīng)用。而在目前人教版的高中數(shù)學(xué)課本中，對(duì)于歸納思想只是簡單的介紹，缺乏相對(duì)應(yīng)的典型例題分析，通過對(duì)歸納思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究，能夠有效的完善這一空缺。除此之外，掌握相應(yīng)的歸納思想技巧，將其應(yīng)用到高中數(shù)學(xué)教學(xué)中去，能夠有效的培養(yǎng)學(xué)生思維和歸納問題的能力，對(duì)于提高教學(xué)質(zhì)量、證明高中數(shù)學(xué)中的相關(guān)定理有著不容小覷的意義。[1]

一、歸納思想概述

定義：歸納思想是一種重要的數(shù)學(xué)證明方法，通過比較特殊的個(gè)別論斷來對(duì)一般性的結(jié)論進(jìn)行歸納與總結(jié)，主要分為完全歸納法和不完全歸納法，它的產(chǎn)生是基于人們的社會(huì)生活、生產(chǎn)的需要。

主要內(nèi)涵：在高中數(shù)學(xué)的教育中，歸納思想所體現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)思想主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面，即一個(gè)是從“特殊”到“一般”的思想，另一個(gè)是遞推思想，這兩種思想共同構(gòu)成了歸納思想的核心。[2]

二、高中數(shù)學(xué)歸納思想的教學(xué)技巧

對(duì)于在高中數(shù)學(xué)中應(yīng)該怎樣應(yīng)用歸納思想教學(xué)，筆者認(rèn)為，主要從四個(gè)方面進(jìn)行重點(diǎn)把握，即要認(rèn)真的利用好歸納假設(shè)；學(xué)會(huì)從頭看起；注重命題中起點(diǎn)的作用以及正確的選擇起點(diǎn)和過度。

1.審題教學(xué)技巧

在歸納思想的實(shí)際的運(yùn)用，通常情況下，在題目開頭幾個(gè)字中，往往會(huì)隱含著一些解題所必備的條件，如果閱讀題目不從頭讀起，那么就有可能遺漏掉一些重要信息，后續(xù)的題目歸納推理也就很難順利的進(jìn)行。

2.注重起點(diǎn)作用

面對(duì)運(yùn)用歸納思想的具體題目時(shí)，要認(rèn)真的在起點(diǎn)上進(jìn)行研究，因?yàn)橥ǔＧ闆r下對(duì)于起點(diǎn)情況的驗(yàn)證難度較小，比較容易進(jìn)行，這也能夠?qū)崿F(xiàn)步驟得分。[3]

3.正確選擇起點(diǎn)和過渡

在高中歸納思想的實(shí)際運(yùn)用中，解題的切入點(diǎn)一般是讓n=0或者n=1為起點(diǎn)開始的，進(jìn)而跨越至n=k到n=k+1的轉(zhuǎn)變。在這一種轉(zhuǎn)變過程中可以根據(jù)不同的題目，選擇合適的跨度。[4]

三、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中歸納思想的實(shí)際應(yīng)用

在高中歸納思想的實(shí)際應(yīng)用中，主要的應(yīng)用題型包括證明有關(guān)的自然數(shù)不等式、自然數(shù)等式、有關(guān)不等式、數(shù)列等。接下來，筆者將結(jié)合具體的高中數(shù)學(xué)例題，闡述歸納思想的應(yīng)用。

1.歸納思想在恒等變形中的應(yīng)用

運(yùn)用歸納法證明自然數(shù)等式的過程中，在證明n=k+1這個(gè)條件成立的時(shí)候，一定要用到歸納遞推這一個(gè)條件?？梢娨韵吕}，如圖1所示。

這一道例題對(duì)起點(diǎn)n=1進(jìn)行分析之后，再進(jìn)行轉(zhuǎn)換，巧妙地運(yùn)用n=k+1代入進(jìn)行歸納推理。然后聯(lián)系前后所給的條件，使之成為有機(jī)結(jié)合的整體，整個(gè)題目證明起來也比較容易了。

圖1 證明自然數(shù)等式實(shí)例

圖2 證明有關(guān)不等式

圖3 幾何證明教學(xué)

2.歸納思想在不等式證明中的應(yīng)用

不等式的證明涉及的考點(diǎn)范圍更廣，需要在保持邏輯思維清晰的同時(shí)需要隨機(jī)應(yīng)變，在解題中調(diào)動(dòng)更多方面的知識(shí)。請(qǐng)看下例的分析，如圖2所示：

這是一道涉及到不等式的證明、歸納推理法的應(yīng)用以及三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)。由此看出，在進(jìn)行有關(guān)不等式的證明時(shí)，需要邏輯思路清、調(diào)用相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行歸納與推理。

3.歸納思想在高中幾何教學(xué)中的應(yīng)用

在運(yùn)用歸納思想對(duì)高中數(shù)學(xué)幾何進(jìn)行證明教學(xué)時(shí)，要注意語言的規(guī)范性、準(zhǔn)確性、完整性，同時(shí)聲明在從n=k到n=k+1的轉(zhuǎn)換時(shí)，增量是多少。一般增量是1也可根據(jù)題目改變?cè)隽?。?qǐng)看下例的分析：

比如本道例題中，因?yàn)槿切螞]有對(duì)角線，n需要大于等于3，不可能小于3。所以，n或者k的取值范圍是本題中容易出錯(cuò)的地方。在運(yùn)用歸納法進(jìn)行幾何題目證明時(shí)，也要充分考慮到這些細(xì)節(jié)之處。

4.歸納思想在高中數(shù)列教學(xué)中的應(yīng)用

高中歸納思想在數(shù)列中的應(yīng)用，一般也是與不等式證明相結(jié)合的。在實(shí)際的數(shù)學(xué)證明題目教學(xué)中，需要注意數(shù)列的性質(zhì)（等比、等差及其他數(shù)列），結(jié)合具體的數(shù)列性質(zhì)進(jìn)行相應(yīng)的證明。其他的證明步驟、審題步驟如上文所述。

四、在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用歸納思想的教學(xué)反思

歸納思想是高中數(shù)學(xué)始終的一個(gè)重要的方法，對(duì)相關(guān)定理證明有著重要的意義，同時(shí)也能提高高中生的邏輯思維能力、靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)能。而歸納思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，大多數(shù)結(jié)論、定理直接拿來用，但是很多情況下學(xué)生卻不知道這些定理是如何得出的。而運(yùn)用歸納思想對(duì)這些結(jié)論、定理進(jìn)行證明，能夠讓學(xué)生一步步的推導(dǎo)定理的證明過程，讓學(xué)生明白定理的原始意義，也能夠讓學(xué)生更加深入的理解相關(guān)數(shù)學(xué)定理，從而更好的運(yùn)用。

結(jié)語

歸納思想作為高中數(shù)學(xué)中的重要組成部分，在高中數(shù)學(xué)的歸納法應(yīng)用中，我們需要掌握相關(guān)的歸納法技巧，學(xué)會(huì)審讀題目，確定起點(diǎn)，找好過渡，同時(shí)充分調(diào)動(dòng)自身所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行歸納與證明?？偟膩碚f，歸納法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，提高學(xué)生自身的思維邏輯能力，提高學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，全面提高高中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。