一類非線性Burgers方程組差分格式的計算穩(wěn)定性*

馬永柳，曹艷華

(華北電力大學數(shù)理學院，北京 102206)

在利用數(shù)值方法求解非線性偏微分方程時會產(chǎn)生計算不穩(wěn)定性.計算不穩(wěn)定性不同于線性不穩(wěn)定性，它是一種突變型的指數(shù)增長，且不會隨著時間步長和空間步長的改變而改變，因此在求解非線性偏微分方程時首先要分析其計算穩(wěn)定性.非線性偏微分方程初值問題的解，一般情況下只在時間T的局部范圍內(nèi)存在，即使初值充分光滑，其解的整體存在性也無法確定.相應的解在有限時間內(nèi)會失去正則性并產(chǎn)生奇解，稱為解的破裂[1-2].1968年，C W Hirt[3]提出了分析非線性偏微分方程差分格式計算穩(wěn)定性的方法，即啟發(fā)性分析方法.楊曉忠等[4]將啟發(fā)性分析方法用于判定KdV方程和Burgers方程的差分格式的計算穩(wěn)定性，并討論了三時間層和二時間層差分格式的計算穩(wěn)定性問題，得到了計算穩(wěn)定性的判斷依據(jù).Burgers方程是模擬沖擊波傳播和反射的非線性數(shù)學物理方程，被廣泛應用在流體力學、非線性聲學和氣體動力學等領(lǐng)域[5-9].對于非線性耦合Burgers方程組

(1)

曲娜等[10]僅分析了其差分格式的穩(wěn)定性而沒有考慮計算穩(wěn)定性.筆者將利用啟發(fā)性分析方法來推導該非線性耦合Burgers方程組差分格式具有計算穩(wěn)定性的必要條件.

1 差分格式的表示

向前差分格式為

(2)

選適當內(nèi)節(jié)點(xj,tk+1)，則該節(jié)點處的微分方程組為

向后差分格式為

(3)

2 差分格式計算穩(wěn)定性的啟發(fā)性分析

將差分格式進行Taylor展開和自循環(huán)消元，轉(zhuǎn)化為等價的變形方程組，即修正微分方程組(Modified PDE).判斷該差分格式具有計算穩(wěn)定性的依據(jù)是其修正微分方程組等號右端的二階導數(shù)項為正耗散項，此方法稱為MPDE識別法.筆者將MPDE識別法運用于非線性耦合Burgers方程組(1)，以向前差分格式(2)為例進行分析.由Taylor展開，可得

進一步得到如下展開：

(4)

將Taylor展開結(jié)果(4)代入向前差分格式(2)，可得

略去上下標后可得

(5)

由方程組(5)可得

對(6)式關(guān)于t求微分，可得

(8)

對(6)式關(guān)于x求微分，可得

(9)

對(7)式關(guān)于x求微分，可得

(10)

對(9)式關(guān)于x求微分，可得

(11)

將(7)，(10)，(11)式代入(8)式，可得

(12)

同理

(13)

將(12)，(13)式代入方程組(5)可得向前差分格式(2)的修正微分方程組

同理，向后差分格式(3)的修正微分方程組為

由啟發(fā)性分析方法可知，只有當差分格式的修正微分方程等號右端的二階耗散項系數(shù)為正時，差分格式才具有計算穩(wěn)定性；因此有如下結(jié)論：

定理1非線性耦合Burgers方程組(1)的向前差分格式(2)具有計算穩(wěn)定性的必要條件為

定理2非線性耦合Burgers方程組(1)的向后差分格式(3)具有計算穩(wěn)定性的必要條件為

3 數(shù)值實驗

由定理1和定理2可知，非線性耦合Burgers方程組(1)的差分格式的計算穩(wěn)定性僅與u(x,t)和v(x,t)的初值及α，β，Δt有關(guān).現(xiàn)取4個初值進一步驗證非線性耦合Burgers方程組(1)的普遍性差分格式的計算穩(wěn)定性與初值、差分格式結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系.4個初值分別為：

取α=-1,β=2,-5≤x≤5,0≤t≤1，則非線性耦合Burgers方程組(1)化為

取Δx=0.1,Δt=0.001，左邊界值為0，右邊界值用Lagrange一次插值方法外插.差分格式的計算穩(wěn)定性結(jié)果列于表1.

表1 差分格式的計算穩(wěn)定性結(jié)果

由表1可知，當α，β，Δt固定時，差分格式的計算穩(wěn)定性僅與u(x,t)和v(x,t)的初值有關(guān)，而不同的初值在x處取不同值時，就得到不同的計算穩(wěn)定性結(jié)果.

4 結(jié)語

利用啟發(fā)性差分格式對一類非線性耦合Burgers方程組的差分格式進行計算穩(wěn)定性分析，當差分格式的修正微分方程組等號右端的二階耗散系數(shù)大于0時,差分格式是穩(wěn)定的.非線性發(fā)展方程差分格式是否具有計算穩(wěn)定性，與方程解的性質(zhì)緊密相關(guān)，而本研究中的非線性耦合Burgers方程組差分格式的計算穩(wěn)定性，依賴于其耗散系數(shù)α，β，Δt及初值u(x,0)，v(x,0)的選取.

雖然本研究得到的判斷依據(jù)只是判斷一類非線性耦合Burgers方程組差分格式計算穩(wěn)定性的必要條件，即差分格式具有計算穩(wěn)定性必須滿足該判斷依據(jù)，而滿足該判斷依據(jù)的差分格式未必具有計算穩(wěn)定性；但是，由于在計算中利用該判斷依據(jù)可以刪除不具有計算穩(wěn)定性的差分格式，避免盲目計算，因此計算穩(wěn)定性的必要條件是非常有效且實用的.