☉江蘇省南京市雨花臺中學 劉 恒
在學完等差數(shù)列后,等比數(shù)列的教與學來得就比較自然流暢,既可輕松獲得等比數(shù)列知識,又可鞏固反思數(shù)列概念及等差數(shù)列知識的教與學.教材已給出我們研究有規(guī)律的數(shù)列的方法,自然地,我們只要循規(guī)蹈矩,輔以對函數(shù)方法及數(shù)列特殊性的深刻認識,相信無論是對于教,還是對于學都是有益的.堅信能夠輕易實現(xiàn)教學目標,突破教學難點.但教學中可能并不如此.
設計等比數(shù)列概念的教學理念應該是:在教學中貫穿明暗兩線,相信教與學會來得自然一些.事實上,由于對數(shù)列的知識性、系統(tǒng)性認識的匱乏,會造成對教與學的牽強.具體地:①等比數(shù)列的引入與概念(文字語言描述);②等比數(shù)列的遞推公式(數(shù)學語言描述);③等比數(shù)列的通項公式(推導);④等比數(shù)列通項公式的應用;⑤等比數(shù)列的性質(zhì)的探究.實際上,在層層相扣的各個環(huán)節(jié)中,由于對知識的深刻性認識不夠,造成了教與學的勉強.因此,類比等差數(shù)列學習的過程,進而獲得等比數(shù)列的概念、性質(zhì),成為學習的一條合理途徑.
本節(jié)課為“數(shù)列”第三節(jié)教學內(nèi)容,是在學習了數(shù)列概念、等差數(shù)列概念及性質(zhì)的基礎上,學習另一種特殊數(shù)列——等比數(shù)列,進一步加強和學習對數(shù)列問題研究的思路和方法,完善學生數(shù)列的認識結構,解決一些相關實際問題.教學重點是等比數(shù)列定義的掌握及通項公式的推導;教學難點是等比數(shù)列通項公式的推導.以學生主動學習為準則,計算機輔助教學為手段;重在學生的自主探究學習,輔以教師的啟發(fā)式教學,徹底貫徹“教學活動的主體是學生,活動的組織者為教師”的原則.
對于數(shù)列的教材地位、教學目標、教學難點、方法采用、教學流程,教學實施過程中大同小異,均能較好地體現(xiàn),但教學中由定義到遞推公式、由遞推公式得通項公式的環(huán)節(jié)轉換,顯得不自然.以下反思教與學中對等比數(shù)列概念教學的不足,提一些建議.(情境和小結部分刪減)
引例 最近全球禽流感蔓延,我國部分地區(qū)也出現(xiàn)了疫情,其中最危險的是高致病的H5N1型.假設現(xiàn)在試驗室里有1個H5N1型病菌,它進行分裂時,由1個分裂成2個,2個分裂成4個,4個分裂成8個,…,這個病菌分裂n次后,得到的細胞個數(shù)是:____.我們將每次分裂得到的病菌個數(shù)記錄下來,就得到一列數(shù):1,2,22,23,…,2n,….
評價:這里的引入略為簡單,但基本可行.從折紙游戲(紙的對折)的厚度、面積、邊長、次數(shù)等的變化構成的多個數(shù)列,從而引入等比數(shù)列.
問題1:這列數(shù)構成數(shù)列嗎?是.
評價:復習、鞏固數(shù)列的概念.實踐中,多名教師未能突出函數(shù)關系.
問題2:這個數(shù)列的項有什么特征?
學生思考:學生會得到多種特征.(多名教師與學生思維錯位)
評價:得到等比項及項與項的關系等.由于問得含糊,現(xiàn)場混亂,應對照數(shù)列表示法及等差數(shù)列的學習經(jīng)驗加以引導.
問題3:這是一個具體的等比數(shù)列,同學們能否給出一般的定義?
實施:學生積極地投入到討論中,然后齊聲回答:等比數(shù)列概念.
評價:類比等差數(shù)列,獲取等比數(shù)列的知識,強調(diào)從第二項起.齊聲回答了,但是朗讀.若能深刻理解數(shù)列第二表示法及等差概念,不難得到,課堂時有尷尬、勉強.
問題4:上述我們研究了等比數(shù)列的定義,接著我們應該研究什么了?(學生表現(xiàn)差強人意)
實施:教師邊設問邊啟發(fā),學生小聲討論,抬頭看黑板,最后笑了.板書:遞推關系.
評價:師生互動,熟悉研究數(shù)列的流程,既鞏固舊知,又獲取新知.由于對等差數(shù)列研究流程認識的缺乏,學生茫然.至此對數(shù)學規(guī)律及數(shù)列知識本身研究什么的理解顯得尤為重要.
問題5:數(shù)學語言怎樣表述?如何用數(shù)學語言詮釋、描述任意前后兩項的關系呢?
評價:學生自主探究發(fā)現(xiàn)問題、解決問題.領悟an≠0,q≠0,學生能模仿等差數(shù)列的做法.教師未能從數(shù)的本質(zhì)入手強調(diào):an≠0,q≠0.
問題6:如何判定一個數(shù)列是不是等比數(shù)列?
實施:啟發(fā)學生回到數(shù)列的定義.
評價:一種數(shù)學的方法,定義既是判定,又是性質(zhì).還需強調(diào)“從第二項起”認為無所謂,事實并非如此.
練習:已知{an}是等比數(shù)列,c≠0,求證:{c·an}是等比數(shù)列.
實施:學生先做,教師巡視,請學生回答,教師板書并加以補充說明.
評價:展現(xiàn)嚴謹?shù)倪壿嬐评磉^程,培養(yǎng)強化學生的嚴密思維能力.c≠0強調(diào)不夠,這里可能師生共同完成的話.還需強調(diào)“第二項起”,才能起到強化作用.
問題7:已知等比數(shù)列{an}的首項為a1,公比為q(a1≠0,q≠0),求{an}的通項公式.
實施:等差數(shù)列的通項公式是如何推導的?
續(xù)問:那等比數(shù)列呢?學生思考后:累差疊加→累商疊乘.
評價:類比等差數(shù)列公式推導,得到等比數(shù)列公式的推導方法,培養(yǎng)觀察猜想能力.
問題8:得到an=a1·qn-1有何不妥之處?
實施:這里n≥2,n∈N*不完整,應該對n=1進行驗證.
評價:驗證是要點,也是今后學習的易錯點.由于多人對等比概念的理解不深入,只是生硬地進行了對n=1的驗證教學,甚至有人忘了.“從第二項起”重要了吧.在今后的學習中,更要掌握疊加、疊乘均為“從第二項起”,須驗證n=1時的情形.
(1)已知等比數(shù)列{an},請完成下表.
基本量題號 a 1 q n a n①-3 -3 2②5 2 8 0③1.2 4 7 6.8④■ 6 4 2 2■
評價:題組訓練是為了熟悉“知三求一”,至此數(shù)學已有知識的應用得心應手,才能夠完成教學任務,達成教學目標.可學得怎樣呢?仍感性多于理性.
(2)等比數(shù)列{an}中,a3=18,a4=54.
①求公比q及a1;
②求a5,a6,a10.
評價:基本方法:等比定義、方程(組)思想,問題設計欠缺,公比時正時負,顯然對積的本質(zhì)認識更為深刻.
變式:等比數(shù)列{an}中,a3=18,a5=54,求a2.
評價:歸納總結,任意兩項、三項、四項之間的關系.作為第二課繼續(xù)學習的內(nèi)容,學生勉強會,仍由于對等差數(shù)列研究的價值取向不明,因此存在學生概念模糊.
在等比數(shù)列概念的教學實踐中,我們都能夠給出一個較生動的實例引入,設法由學生自述等比數(shù)列的定義,嘗試由學生發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列通項公式的推導方法,試圖讓學生探究等比數(shù)列的性質(zhì)等.教學實施過程中也嘗試了多種教學方法,啟發(fā)引導、聯(lián)想類比、思維遷移等.
但由于沒有掌握數(shù)列知識的本質(zhì)特征,從而教學現(xiàn)場時時冷場.譬如,由于沒有掌握數(shù)列第二表示法——遞推公式表示法,從而描述混亂;由于沒有掌握等比數(shù)列的定義(第二項起)而留下隱患;由于沒有區(qū)分差與積,等比知識停留在等差認識的層次等.
教與學的得與失:本節(jié)課在數(shù)列概念的基礎上,若按部就班,則把等差數(shù)列與等比數(shù)列這兩類重要數(shù)列的有關概念和性質(zhì)進行類比對照,不僅可鞏固等差數(shù)列的概念和性質(zhì),而且較自然地得出了等比數(shù)列的定義,以及類似的性質(zhì),又非常清楚地揭示了等比數(shù)列的本質(zhì).整個教學過程遵循“教學、研究、發(fā)現(xiàn)”同步協(xié)調(diào)的原則,滲透“猜想——證明”的數(shù)學問題研究的思想和方法,恰當?shù)匾蒙钪械膶嵗?,從激發(fā)學生的學習興趣,進行數(shù)學教學中的合情推理、恰當類比、邏輯推理和歸納總結,能較圓滿地完成“等比數(shù)列”第一課時的教學任務,實現(xiàn)教學的目標.
一些不足:在生活實例引入時,學生對新數(shù)列的特征歸納發(fā)散性太廣,在這里應該作適當?shù)奶釂杹砑右砸龑?;在教學過程中學生參與的積極性很高也很投入,不時地崩出智慧的思想火花,但由于對數(shù)列知識特殊性的認識不夠,概念不明,導致答非所問,學無長處.
教是一件難事,把一個知識點傳授,需要我們教師付出艱辛的勞動,把一個知識體系建立起來更需要教師與學生共同的努力.教師首先掌握知識,通過教,學生得以順利掌握知識、領悟數(shù)學知識的應用,學生的學就顯得那么自然.H