反思空間幾何教學(xué)的層次性

☉江蘇省梁豐高級(jí)中學(xué) 陳 燕

眾所周知，空間幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)的難點(diǎn)和重點(diǎn).空間幾何教學(xué)一直是培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力的核心章節(jié)，也是不可或缺的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落腳點(diǎn).從教學(xué)方式來說，空間幾何分為兩部分教學(xué)方式，其一是歐氏幾何的公理化體系，其嚴(yán)密的理論論證、同一問題的不同解決方式都讓我們感受到空間想象能力的魅力；其二是空間向量解決方式的引入，相比傳統(tǒng)方式，這是劃時(shí)代的解決方式，特別是讓偏文類的學(xué)生，獲得了問題解決的可能.

從空間幾何教學(xué)層次來說，筆者以為需要逐步深入思考，既要學(xué)會(huì)空間感知，也要學(xué)會(huì)用不同的方式解決空間幾何問題的全面性.本文從層次性設(shè)計(jì)和學(xué)習(xí)的角度來談一談空間幾何教學(xué)如何進(jìn)行.

一、培養(yǎng)感知

空間幾何與其他章節(jié)有所不同的是，其在生活中的模型更具普遍性，不需要深度抽象即可獲得.比如，水塔的圓柱形形態(tài)、公交車的長方體形態(tài)、廣州塔的組合體形態(tài)等.而以往老教材對(duì)于空間幾何的教學(xué)是先教公理——定理，再認(rèn)知各種形態(tài)，這種教學(xué)方式現(xiàn)已經(jīng)被徹底否定，畢竟缺乏感性認(rèn)知的純理論教學(xué)并不符合中學(xué)教學(xué)的實(shí)際.因此，現(xiàn)教材中普遍讓學(xué)生努力感受各種空間幾何體，進(jìn)而學(xué)習(xí)歐式公理化體系的方式值得認(rèn)可.培養(yǎng)感知的方式可以通過學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，也可以從基本的投影概念出發(fā)，結(jié)合三視圖實(shí)現(xiàn)，這樣作為空間幾何學(xué)習(xí)的第一層級(jí)是符合教學(xué)實(shí)際的.

層級(jí)1：動(dòng)手操作的必要性

空間幾何是研究空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的章節(jié)，要學(xué)習(xí)這一復(fù)雜的知識(shí)，首先需要進(jìn)行感性的認(rèn)識(shí).而感性認(rèn)知最好的方式，是請(qǐng)學(xué)生動(dòng)手參與，獲得良好的空間感知.筆者請(qǐng)學(xué)生實(shí)踐兩個(gè)方面：第一是做常見幾何體的模型，第二是用投影繪制一幅作品，思考為什么這樣畫？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生實(shí)際動(dòng)手操作的幾何模型，大大加深了對(duì)幾何模型的認(rèn)識(shí)，投影概念下的畫面符合人的視角以及良好的空間概念，這是幾何教學(xué)的感性層級(jí)，為后續(xù)認(rèn)識(shí)歐式幾何公理化體系打好鋪墊.

層級(jí)2：三視圖教學(xué)的設(shè)計(jì)

在獲得良好的空間感知之后，需要不斷加強(qiáng)這一感知的認(rèn)識(shí)，結(jié)合三視圖教學(xué)來實(shí)現(xiàn)這種鞏固.我們知道三視圖是空間幾何和投影（平面幾何）結(jié)合的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，其有助于幫助學(xué)生建立空間想象能力，從投影的平面圖形中獲得空間模型的建立，這種能力是不斷訓(xùn)練和培養(yǎng)得到的.

問題1：一個(gè)幾何體的三視圖如圖1所示，則該幾何體的體積為______.

問題2：某幾何體的三視圖如圖2所示，且該幾何體的體積是3，則正視圖中的x的值是______.

圖1

圖2

設(shè)計(jì)意圖：三視圖教學(xué)可以說是沒有太多知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)，但是又可以說是有著不同層次設(shè)計(jì)的教學(xué)，教師在設(shè)計(jì)時(shí)考慮的三個(gè)因素是：第一，是否能夠從三種視圖中獲得基本圖形的輪廓；其二，能否結(jié)合體積、面積公式尋求解決；其三，尋求更為多變的問題.從這樣的層次性來設(shè)計(jì)問題，可以更好地幫助學(xué)生感知空間幾何的結(jié)構(gòu)，又能結(jié)合知識(shí)點(diǎn)整合進(jìn)行教學(xué).

簡解：圖1是底面半徑為1，高為1的半圓錐，易得所求幾何體體積為；圖2是直角梯形為底的四棱錐，易得x=3.

二、建立公理化的歐式體系

歐氏幾何已經(jīng)創(chuàng)立近千年，特別是完善的公理化體系，讓學(xué)過傳統(tǒng)幾何證明的人都感到其無比的嚴(yán)密和精妙.回想一下歐氏立體幾何大廈的18大公理、定理體系，完美而精妙地將立體幾何問題框于其中，使得我們可以論證各種問題.在學(xué)習(xí)立體幾何教學(xué)的時(shí)候如何設(shè)計(jì)傳統(tǒng)歐式幾何的層次性呢？筆者認(rèn)為有兩點(diǎn)：第一，對(duì)18大公理和定理體系的完美打造和論證，這一點(diǎn)來說，已經(jīng)讓不少學(xué)生感覺到非常困難，因此筆者建議要從層次性和使用頻率角度來說全新設(shè)計(jì)，才能讓學(xué)生記憶深刻；第二，變式題組的訓(xùn)練，主要是對(duì)于如何求解一類問題的訓(xùn)練.

層級(jí)3：定理重要程度的層次性設(shè)計(jì)

筆者以為，按照使用頻率和重要程度，所學(xué)過的公理和定理也需要將其分為不同的層級(jí)，方便學(xué)生學(xué)習(xí)和整理，某些定理幾乎根本不被使用，學(xué)生難以掌握也是情有可原的.

層級(jí)A第一層次：線面垂直的判定定理、面面垂直的性質(zhì)定理、三垂線定理第二層次：面面垂直的判定定理、線面平行的判定定理、面面平行的判定定理第三層次：線面平行的性質(zhì)定理、面面垂直的判定定理、最小角定理層級(jí)B第一層次：公理4（空間的平行線之間具有傳遞性）第二層次：線面垂直的性質(zhì)定理、公理3第三層次：公理1、公理2以及三個(gè)推論、等角定理

按照上述筆者對(duì)于公理化體系的定理分層，我們不難發(fā)現(xiàn)，層級(jí)A中的三個(gè)層次是需要重點(diǎn)掌握的，也是頻率非常高的考點(diǎn)，因此隨著學(xué)生數(shù)學(xué)能力的高低，需要逐步掌握.

問題3：已知ABCD-A1B1C1D1是底面邊長為1的正四棱柱，且AA1=2，O1是A1C1與B1D1的交點(diǎn)，若E是AB1的中點(diǎn)，求證：O1E∥平面ADD1A1.

簡證：連接AD1，因?yàn)镺1是B1D1的中點(diǎn)，E是AB1的中點(diǎn)，所以平面ADD1A1.

設(shè)計(jì)意圖：按照重要程度對(duì)定理進(jìn)行分類，做到教學(xué)的層級(jí)化分層，是空間幾何傳統(tǒng)法教學(xué)的重要保障，通過問題3也看到了什么定理是頻率使用最高的，所以教學(xué)層級(jí)化設(shè)計(jì)是有的放矢的.

三、向量運(yùn)用的層級(jí)性

空間向量方式介入對(duì)于我們研究空間幾何有了全新的視角——用代數(shù)的方式獲得更為簡捷的途徑.這種方式的確大大簡化了學(xué)生的思維方式，特別是偏文類學(xué)生、空間想象能力較弱的學(xué)生，都有著無可匹敵的優(yōu)勢(shì).但是這種方式必須放在空間幾何教學(xué)的最后階段實(shí)施，否則一旦過早介入，勢(shì)必導(dǎo)致學(xué)生側(cè)重向量運(yùn)算解決問題，而拋棄對(duì)于公理化體系的嚴(yán)密論證，從而對(duì)空間想象能力的培養(yǎng)是不利的.

向量方式的運(yùn)用如何設(shè)計(jì)層次性？筆者以為考慮下列方面：首先，自由向量的使用，自由向量是不拘泥于直角坐標(biāo)系，方便學(xué)生靈活運(yùn)用，這是學(xué)習(xí)向量的初衷；其次，正交分解下的直角坐標(biāo)系的向量問題的解決；最后，向量解決方式的代數(shù)化極致使用方式.筆者通過一個(gè)案例進(jìn)行說明.

層級(jí)4：向量運(yùn)用的層次性

問題4：如圖3，三棱錐P-ABC中，E、D分別是棱AC、BC的中點(diǎn)，PB=PC=AB=4，AC=8，BC=4，PA=2.求直線AC與平面PBC所成角的正弦值.

圖3

層次1：若運(yùn)用空間向量解決問題，學(xué)生的第一方式是如何建立坐標(biāo)系？常規(guī)建立坐標(biāo)系的方式是：首先分析清楚面PDE⊥面ABC，進(jìn)而可以通過點(diǎn)P向DE作垂線，從而獲得z軸的方向，進(jìn)而利用法向量求解，這種方式最大的困難是沒有完全利用向量的代數(shù)性，而需要傳統(tǒng)的公理化體系幫助.

層次2：向量方式的高層次方式是完全不需要公理化體系，而是自成一派！不妨以BC作為x軸，BA作為y軸，以垂直于ABC平面的線作為z軸，此時(shí)B（0，0，0）、A（0，4，0）、C（4，0，0），這樣對(duì)于點(diǎn)P我們就設(shè)其坐標(biāo)為（x，可以求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而利用向量方式求解.

設(shè)計(jì)意圖：從向量角度來說，其代數(shù)和幾何的雙重性讓我們對(duì)于向量有了更為美妙的認(rèn)識(shí)，如何更好地利用其某一性質(zhì)學(xué)習(xí)空間幾何，才是教學(xué)層次性設(shè)計(jì)的關(guān)鍵.

總之，空間幾何教學(xué)是難點(diǎn)，但是如何處理好教學(xué)的設(shè)計(jì)對(duì)于我們來說并非困難，因?yàn)檎n程標(biāo)準(zhǔn)從感性到理性的宏觀指導(dǎo)給了我們教學(xué)方向，教師將這一理念落到教學(xué)一線，具體化、層次化的實(shí)施對(duì)于空間幾何教學(xué)是有意義的.