基于核心素養(yǎng)下的高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

☉甘肅省白銀市第一中學(xué) 胡貴平

提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，發(fā)展思維能力是高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)應(yīng)該關(guān)注的焦點(diǎn)，尤其針對(duì)經(jīng)典例題的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，感悟數(shù)學(xué)的思想，提高復(fù)習(xí)效率.

一、培養(yǎng)探究復(fù)習(xí)

“倡導(dǎo)探究性學(xué)習(xí)”是高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的基本理念之一，探究性試題在高考以能力立意已成為高考命題的指導(dǎo)思想，以探究性學(xué)習(xí)為命題背景的探究性試題，在數(shù)學(xué)高考中出現(xiàn)得越來(lái)越多.通過(guò)探究性學(xué)習(xí)，有效地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和創(chuàng)造性解決問(wèn)題的能力.

案例（一）三次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心

例1（2013年全國(guó)卷Ⅱ·理10·文11）已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）.

A.?x0∈R，f（x0）=0

B.函數(shù)y=f（x）的圖像是中心對(duì)稱(chēng)圖形

C.若x0是f（x）的極小值點(diǎn)，則f（x）在區(qū)間（-∞，x0）上單調(diào)遞減

D.若x0是f（x）的極值點(diǎn)，則f′（x0）=0

解析：對(duì)于A(yíng)選項(xiàng)，當(dāng)x→+∞，x3→+∞，ax2+bx+c增長(zhǎng)得慢，可以忽略，則f（x）→+∞；當(dāng)x→-∞，x3→-∞，ax2+bx+c可以忽略，則f（x）→-∞，又函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，必?x0∈R，f（x0）=0，這就是極限思想的滲透，故A正確.

對(duì)于C選項(xiàng)，f′（x）=3x2+2ax+b.

（1）當(dāng)Δ=4a2-12b≤0時(shí)，f′（x）≥0，故f（x）在R上單調(diào)遞增，此時(shí)不存在極值點(diǎn).

當(dāng)Δ=4a2-12b＞0時(shí)，f′（x）=0有兩解，不妨設(shè)為x1＜x2，f′（x），f（x）隨x的變化情況列表如下：

x （-∞，x1） x1 （x1，x2） x2 （x1，+∞）f′（x）+0-0+f（x）單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

由表格可知，x2是極小值點(diǎn)，但是f（x）在區(qū)間（-∞，x2）上不具有單調(diào)性，故C不正確.

對(duì)于D選項(xiàng)，由極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于0知，D正確.

B選項(xiàng)是圖像變換，考查對(duì)稱(chēng)中心，三次函數(shù)是否有對(duì)稱(chēng)中心，如果有對(duì)稱(chēng)中心，又該怎么求？課堂探究的一個(gè)過(guò)程：三次函數(shù)f（x）=ax3的圖像關(guān)于原點(diǎn)（0，0）對(duì)稱(chēng).

推論1：三次函數(shù)f（x）=ax3+cx的圖像關(guān)于原點(diǎn)（0，0）對(duì)稱(chēng).

推論2：三次函數(shù)f（x）=a（x-m）3+c（x-m）的圖像關(guān)于點(diǎn)（m，0）對(duì)稱(chēng).

推論3：三次函數(shù)f（x）=a（x-m）3+c（x-m）+n的圖像關(guān)于點(diǎn)（m，n）對(duì)稱(chēng)，即關(guān)于點(diǎn)（m，f（m））對(duì)稱(chēng).

如果三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d能寫(xiě)成f（x）=a（xm）3+p（x-m）+n的形式，由推論3就能得到三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d是中心對(duì)稱(chēng)圖形，其對(duì)稱(chēng)中心是（m，n），即關(guān)于點(diǎn)（m，f（m））對(duì)稱(chēng).

下面用待定系數(shù)法解決這個(gè)問(wèn)題.

f（x）=a（x-m）3+c（x-m）+n=ax3-3amx2+（3am2+p）xam3+n-pm，

令ax3+bx2+cx+d=ax3-3amx2+（3am2+p）x-am3+n-pm.

所以三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，觀(guān)察三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=3ax2+2bx+c，其對(duì)稱(chēng)軸恰好是，即對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo).其實(shí)，對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，若y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)A（m，n）對(duì)稱(chēng)，則y=f′（x）的圖像關(guān)于直線(xiàn)x=m對(duì)稱(chēng).

答案：f（′x）=x2-2x+2，其對(duì)稱(chēng)軸恰好是x=1，所以函數(shù)（fx）=x3-x2+2x-1的對(duì)稱(chēng)中心是

二、立足糾錯(cuò)復(fù)習(xí)

高三復(fù)習(xí)中，總有些知識(shí)點(diǎn)是很多學(xué)生容易出現(xiàn)錯(cuò)誤的，犯錯(cuò)誤的原因有些是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解有偏差，認(rèn)識(shí)片面，有些是教師對(duì)教學(xué)的難點(diǎn)把握不準(zhǔn)，重視不夠.糾錯(cuò)是通過(guò)學(xué)生的切身體會(huì)，認(rèn)識(shí)錯(cuò)誤，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)使知識(shí)重組再建，實(shí)現(xiàn)能力的提高，思維的拓展.同時(shí)也讓教師反思教學(xué)、優(yōu)化教學(xué).

案例（二）坐標(biāo)系與參數(shù)方程

例2 （2015年全國(guó)卷Ⅱ·理·文22）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)（t為參數(shù)，t≠0），其中0≤α＜π，在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ.

（1）求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；

（2）若C1與C2相交于點(diǎn)A，C1與C3相交于點(diǎn)B，求|AB|的最大值.

錯(cuò)解：（1）曲線(xiàn)C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ.

錯(cuò)解剖析：在直角坐標(biāo)系中，兩曲線(xiàn)的交點(diǎn)的坐標(biāo)就是兩曲線(xiàn)方程的公共解，然而在極坐標(biāo)系中，求兩曲線(xiàn)交點(diǎn)的問(wèn)題卻要復(fù)雜得多.如果ρ≥0，0≤θ＜2π，除極點(diǎn)O（0，θ）外，平面上任意一點(diǎn)P與其坐標(biāo)（ρ，θ）之間成一一對(duì)應(yīng).如果ρ∈R，θ∈R，平面上任意一點(diǎn)P與其坐標(biāo)（ρ，θ）之間不是一一對(duì)應(yīng)，極點(diǎn)的坐標(biāo)有無(wú)窮多個(gè)（0，θ），θ可以為任意實(shí)數(shù).非極點(diǎn)的坐標(biāo)也有無(wú)窮多個(gè)，若（ρ，θ）是一個(gè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，則（（-1）kρ，θ+kπ）也是點(diǎn)P的坐標(biāo).在極坐標(biāo)系中，對(duì)于以方程f（ρ，θ）=0所表示的曲線(xiàn)上的一點(diǎn)，其所有極坐標(biāo)有時(shí)并不都滿(mǎn)足此方程，而可能只有一部分極坐標(biāo)滿(mǎn)足此方程.反之，對(duì)于一點(diǎn)P，它的某個(gè)極坐標(biāo)（ρ0，θ0），如果不滿(mǎn)足方程f（ρ，θ）=0，還不足以說(shuō)明P點(diǎn)不在以方程f（ρ，θ）=0所表示的曲線(xiàn)上，只有它的所有極坐標(biāo)（（-1）kρ，θ+kπ）都不滿(mǎn)足方程f（ρ，θ）=0時(shí)，才能說(shuō)明P點(diǎn)不在以方程f（ρ，θ）=0所表示的曲線(xiàn)上.例如，如圖1，圓ρ=3與直線(xiàn)θ=的交點(diǎn)，圓與直線(xiàn)交點(diǎn)的極坐標(biāo)

圖1

在極坐標(biāo)系中，方程f（（-1）kρ，θ+kπ）=0與方程f（ρ，θ）=0所表示的曲線(xiàn)完全一樣.那么在極坐標(biāo)系中，如何求兩曲線(xiàn)C1：f（ρ，θ）=0與C2：g（ρ，θ）=0交點(diǎn)呢？首先令ρ=0，若一元方程f（0，θ）=0與g（0，θ）=0同時(shí)有解（不一定相同），則極點(diǎn)就是兩曲線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)，否則，極點(diǎn)不是它們的交點(diǎn)，再由（k為整數(shù)）或（k為整數(shù)）進(jìn)行判定交點(diǎn).

解法1：（1）曲線(xiàn)C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ，令ρ=0，顯然兩方程均有解，極點(diǎn)是它們的一個(gè)交點(diǎn).

所以C2與C3的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為（0，0）和

故C2與C3的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（0，0）和

解法2：（1）曲線(xiàn)C2的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2y=0，曲線(xiàn)C3的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x=0，聯(lián)立方程

所以C2與C3的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（0，0）和

練習(xí)：求兩圓ρ=sinθ與ρ=cosθ的交點(diǎn)的極坐標(biāo).

圖2