空間幾何中的創(chuàng)新問(wèn)題聚焦

■劉大鳴(特級(jí)教師)

近幾年高考對(duì)空間幾何的考查始終是圍繞“空間問(wèn)題平面化和模型化”展開的,下面對(duì)其創(chuàng)新問(wèn)題進(jìn)行聚焦。

創(chuàng)新1：由三視圖判斷幾何體的特征

例1 某四棱錐的三視圖如圖1所示,在此四棱錐的側(cè)面中,直角三角形的個(gè)數(shù)為____。

圖1

解：根據(jù)三視圖中有兩個(gè)直角三角形的特征來(lái)還原幾何體。由三視圖可得正方體內(nèi)的四棱錐P-ABCD,如圖2所示。

圖2

在四棱錐P-ABCD中,PD=2,AD=2,CD=2,AB=1,容易得到3個(gè)直角三角形,即△PAD,△PCD,△PAB。答案為3。

回味：由三視圖判斷幾何體的特征的關(guān)鍵是正確還原出直觀圖,在還原直觀圖時(shí)要利用三視圖的特征:正俯一樣長(zhǎng),俯側(cè)一樣寬,正側(cè)一樣高。

變式1：某幾何體的三視圖如圖3所示(單位:cm),則該幾何體的體積(單位:cm3)是____。

圖3

提示：根據(jù)三視圖可知該幾何體為一個(gè)直四棱柱。直四棱柱的高為2,底面為直角梯形,梯形的上下底的邊長(zhǎng)分別為1,2,梯形的高為2,因此該幾何體的體積為6。

創(chuàng)新2：旋轉(zhuǎn)體的表面積或體積的計(jì)算

例2 如圖4,已知圓錐的頂點(diǎn)為S,母線SA,SB所成角的余弦值為,SA與圓錐底面所成的角為45°,若△SAB的面積為5,則該圓錐的側(cè)面積為 。______

圖4

解：根據(jù)條件求出圓錐的母線SA,SB及底面圓的半徑長(zhǎng),再利用圓錐的側(cè)面積公式求解。設(shè)S在底面上的射影為O,底面半徑為r,則SO⊥底面ABO。

回味：解答本題的關(guān)鍵是找出母線與底面所成的角及兩母線的夾角,利用平面幾何知識(shí)求出相應(yīng)線段的長(zhǎng)。

變式2：如圖5,已知圓錐的頂點(diǎn)為S,母線SA,SB互相垂直,SA與圓錐底面所成的角為,若△SAB的面積為8,則該圓錐的體積為____。

圖5

創(chuàng)新3：幾何體的表面積或體積的計(jì)算

例3 如圖6所示,正方體的棱長(zhǎng)為2,以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為___。

圖6

解：先分析組合體的構(gòu)成,確定錐體的高,再利用錐體的體積公式求出結(jié)果。由圖6可知,該多面體為兩個(gè)全等正四棱錐的組合體。正四棱錐的高為正方體棱長(zhǎng)的一半即為1,底面正方形的邊長(zhǎng)為2,所以該多面體的體積

回味：求解組合體的體積問(wèn)題,關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解幾何體的定義,真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征。本題其實(shí)是求正八面體的體積,可將正八面體分割為兩個(gè)全等的正四棱錐求解。

變式3：如圖7,已知正方體的棱長(zhǎng)為1,除面ABCD外,該正方體其余各面的中心分別為點(diǎn)E,F,G,H,M,則四棱錐M-EFGH的體積為_________。

圖7

創(chuàng)新4：“平移法”求解異面直線所成的角

例4 如圖8,在四面體ABCD中,△ABC是等邊三角形,平面ABC⊥平面ABD,點(diǎn)M為棱AB的中點(diǎn),AB=2,AD=23,∠BAD=90°。

圖8

(1)求證:AD⊥BC。

(2)求異面直線BC與MD所成角的余弦值。

解：由面面垂直證明線面垂直,進(jìn)而得到線線垂直,再利用中位線得到異面直線所成的角。

(1)由平面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB,AD⊥AB,可得AD⊥平面ABC,故AD⊥BC。

(2)取AC的中點(diǎn)為N,連接MN,ND。由M為棱AB的中點(diǎn),可知MN∥BC,所以∠DMN為異面直線BC與MD所成的角。

由AD⊥平面ABC,可得AD⊥AC。在Rt△DAN 中,由AN=1,可得DN=

回味：已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線a"∥a,b"∥b,a",b"所成的角的大小與點(diǎn)O的位置無(wú)關(guān),把a(bǔ)",b"所成的銳角(或直角)叫作異面直線a,b所成的角(或夾角)。為了簡(jiǎn)便,點(diǎn)O通常取在異面直線的一條上。

變式4：如圖9所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,E為棱CC1的中點(diǎn),則異面直線AE與CD所成角的正切值為______。

圖9

提示：在正方體ABCD-A1B1C1D1中,由于CD∥AB,所以異面直線AE與CD所成的角為∠EAB。設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2a,由E為棱CC1的中點(diǎn),可得CE=a,BE=5a,所以tan

創(chuàng)新5：利用面面垂直的性質(zhì)定理作“點(diǎn)到平面的距離”

例5 如圖10所示,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,則四棱錐A1-BB1D1D的體積為____。

圖10

解：要求四棱錐的體積,需求四棱錐的底面積和高,因此解答本題的關(guān)鍵是利用面面垂直的性質(zhì)定理確定平面外的點(diǎn)在該平面上的射影位置。連接A1C1交B1D1于點(diǎn)O,由平面A1B1C1D1⊥平面BDD1B1,A1C1⊥D1B1,可知A1C1⊥平面BDD1B1,則A1O就是四棱錐A-BBDD的高。由AO=×AC=111111

回味：解答本題的關(guān)鍵是挖掘題設(shè)中面面垂直的條件,尋找所求四棱錐的高。本題的解題過(guò)程凸顯“空間問(wèn)題平面化”的特點(diǎn)。

變式5：如圖11,在三棱錐P-ABC中,AB=BC=22,PA=PB=PC=AC=4,O為AC的中點(diǎn)。

圖11

(1)證明:PO⊥平面ABC。

(2)若點(diǎn)M在棱BC上,且MC=2MB,求點(diǎn)C到平面POM的距離。

提示：(1)因?yàn)锳P=CP=AC=4,O為AC的中點(diǎn),所以O(shè)P⊥AC,且OP=23。

由上可得OP2+OB2=PB2,所以O(shè)P⊥OB。由于OP⊥OB,OP⊥AC,OB∩AC=O,所以PO⊥平面ABC。

(2)作CH⊥OM,垂足為H。

由(1)可得OP⊥CH,平面POM⊥平面COM。由面面垂直的性質(zhì)定理知CH⊥平面POM,所以CH即為點(diǎn)C到平面POM的距離。

創(chuàng)新6：空間中“平行與垂直”的證明方法

例6 如圖12,矩形ABCD所在平面與半圓弧CD所在平面垂直,M是弧CD上異于C,D的點(diǎn)。

圖12

(1)證明:平面AMB⊥平面BMC。

(2)在線段AM上是否存在點(diǎn)P,使得MC∥平面PBD?請(qǐng)說(shuō)明理由。

解：(1)由題設(shè)知,平面CMD⊥平面ABCD,交線為CD。

因?yàn)锽C⊥CD,由面面垂直的性質(zhì)定理可得BC⊥平面CMD,故BC⊥DM。

因?yàn)镸為弧CD上異于C,D的點(diǎn),且DC為直徑,所以DM⊥CM。

又因?yàn)锽C∩CM=C,所以DM⊥平面BMC。而DM?平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC。

(2)當(dāng)P為AM的中點(diǎn)時(shí),MC∥平面PBD。證明如下:

連接AC交BD于O。因?yàn)锳BCD為矩形,所以點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)。

連接OP。因?yàn)镻為AM的中點(diǎn),所以MC∥OP。因?yàn)镸C?平面PBD,OP?平面PBD,所以MC∥平面PBD。

回味：證明面面關(guān)系的核心是證明線面關(guān)系,證明線面關(guān)系的核心是證明線線關(guān)系。同學(xué)們要掌握線線平行、線面平行、線線垂直、線面垂直的證明方法。

變式6：如圖13,在平行六面體ABCDA1B1C1D1中,AA1=AB,AB1⊥B1C1。

圖13

求證:(1)AB∥平面A1B1C。

(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC。

證明：(1)在平行六面體ABCDA1B1C1D1中,AB∥A1B1。

因?yàn)锳B?平面A1B1C,A1B1?平面A1B1C,所以AB∥平面A1B1C。

(2)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,四邊形ABB1A1為平行四邊形。

因?yàn)锳A1=AB,所以四邊形ABB1A1為菱形,可知AB1⊥A1B。

因?yàn)锳B1⊥B1C1,BC∥B1C1,所以AB1⊥BC。因?yàn)锳1B∩BC=B,A1B?平面A1BC,BC?平面A1BC,所以AB1⊥平面A1BC。

又因?yàn)锳B1?平面ABB1A1,所以平面ABB1A1⊥平面A1BC。