立體車庫服務(wù)系統(tǒng)存取車隨機(jī)模型的研究

齊鳳蓮，王永章，張幗英，劉冠誠

（1.沈陽建筑大學(xué)，遼寧 沈陽 110168；2.北方重工防務(wù)事業(yè)部技術(shù)部，內(nèi)蒙古 包頭 014000）

0 引言

隨著生活水平的提高，我國的汽車擁有量大幅度增加，據(jù)國家統(tǒng)計(jì)局?jǐn)?shù)據(jù)顯示，截止2015年底，每百戶家庭擁有私家車31輛，汽車占機(jī)動(dòng)車比例達(dá)到61.8%，汽車擁有量達(dá)到了16284.45萬輛。汽車擁有量的大幅度增長，就需要大量的停車設(shè)施滿足停車的需要?，F(xiàn)有的停車設(shè)施大部分是平面停車場，不僅不能滿足需要，而且大量占用土地面積，使城市土地資源越來越緊張[1～3]。立體車庫的出現(xiàn)極大地緩解了停車位數(shù)量需求增加和停車位建設(shè)難之間的矛盾，但是立體車庫在運(yùn)行過程中也有很多不足的地方?，F(xiàn)階段，存取車耗費(fèi)時(shí)間長是立體車庫運(yùn)行過程中的一個(gè)重要問題，針對這個(gè)問題，學(xué)者們在存取策略的優(yōu)化問題上做了大量的研究[1～10]。筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)者們在對存取策略進(jìn)行研究時(shí)，只是對一段時(shí)間或特定的存取隊(duì)列進(jìn)行優(yōu)化分析，對于研究對象的描述與實(shí)際情況有較大出入，無法準(zhǔn)確描述一天甚至更長時(shí)間段內(nèi)的立體車庫的運(yùn)行情況，使得優(yōu)化策略雖然獲得了良好的優(yōu)化效果，但只是特定情況下的情況，難以代表更為普遍的情況，所以需要為優(yōu)化策略的研究提供一種更為貼近實(shí)際的模型。

本文從顧客的到達(dá)規(guī)律出發(fā)，創(chuàng)新性地引入了嵌入式馬爾可夫鏈，建立了能夠長時(shí)間模擬立體車庫系統(tǒng)服務(wù)過程的動(dòng)態(tài)模型，使存取策略的研究更加接近實(shí)際。而且該模型不依賴于特定的立體車庫，所以也為研究各種立體車庫服務(wù)過程中的情況提供了一個(gè)可行性。

1 立體車庫服務(wù)系統(tǒng)概述

在立體車庫系統(tǒng)中，顧客為了請求獲得存車或取車服務(wù)而來到系統(tǒng)，若不能立即獲得服務(wù)而系統(tǒng)又允許排隊(duì)等待，則加入等待隊(duì)伍，待獲得服務(wù)后離開系統(tǒng)，這種服務(wù)模式符合排隊(duì)論所研究的問題，所以立體車庫是一個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)，或稱隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)。

對于排隊(duì)問題，必須說明的問題有三個(gè)：①顧客到達(dá)系統(tǒng)的情況；②系統(tǒng)對每個(gè)顧客提供服務(wù)時(shí)所花費(fèi)的時(shí)間長短；③系統(tǒng)對顧客提供服務(wù)的先后順序。實(shí)際的排隊(duì)系統(tǒng)各有不同，但概括起來都由3個(gè)基本部分組成：輸入過程、服務(wù)機(jī)制、排隊(duì)及排隊(duì)規(guī)則[11]。

本文針對立體車庫的實(shí)際運(yùn)行情況，重點(diǎn)研究立體車庫服務(wù)系統(tǒng)中的輸入過程，以及輸入過程和服務(wù)機(jī)制的結(jié)合。

2 基于非齊次泊松分布的輸入過程

立體車庫服務(wù)系統(tǒng)的輸入過程描述的是顧客的來源以及顧客按照怎樣的規(guī)律到達(dá)系統(tǒng)，前者說明的是顧客的總體數(shù)，后者說明的是顧客的到達(dá)類型和相繼到達(dá)顧客的間隔時(shí)間服從什么樣的概率分布[11]。

2.1 輸入過程的研究現(xiàn)狀

目前國內(nèi)的學(xué)者們在研究過程中通常假設(shè)顧客的數(shù)量是無限的或不考慮顧客的數(shù)量，到達(dá)規(guī)律服從泊松流分布，以這種簡化的到達(dá)規(guī)律對立體車庫服務(wù)系統(tǒng)的服務(wù)對象進(jìn)行研究，然后模擬一段時(shí)間內(nèi)有若干個(gè)存取車顧客，以存取車比例來區(qū)分高峰和平峰[1～5]，這種方法在普遍性和隨機(jī)性上體現(xiàn)不明顯，沒有完全體現(xiàn)立體車庫運(yùn)行過程中顧客到達(dá)的隨機(jī)性。

2.2 存取車規(guī)律匯總

對于立體車庫的服務(wù)系統(tǒng)，顧客的到達(dá)規(guī)律是相當(dāng)復(fù)雜的，與立體車庫的建設(shè)位置和服務(wù)對象有密切的關(guān)聯(lián)，如表1所示。為獲得更準(zhǔn)確的客流量數(shù)據(jù)，筆者在某商場做了為期一天的調(diào)查，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表2～表4所示。

表1 建設(shè)位置與顧客服務(wù)規(guī)律的關(guān)聯(lián)Tab.1 The relationship between construction location and custom er service

表2 早晨時(shí)間段部分客流量情況Tab.2 Partial passenger flow in the morning time period

表3 中午時(shí)間段部分客流量情況Tab.3 Partial passenger flow at noon time

表4 傍晚時(shí)間段部分客流量情況Tab.4 Partial passenger flow in the evening time

調(diào)查數(shù)據(jù)顯示，一天中顧客的到達(dá)強(qiáng)度是一個(gè)變化值，早晨存車較多但強(qiáng)度不是很大呈現(xiàn)平穩(wěn)上升趨勢，平時(shí)存取車平穩(wěn)且存取車平衡。研究過程中發(fā)現(xiàn)，一種特定的顧客到達(dá)模型無法代表所有的立體車庫服務(wù)場所和所有的時(shí)間段立體車庫服務(wù)系統(tǒng)的顧客到達(dá)情況，即模型不具有代表性。為此本文結(jié)合顧客到達(dá)規(guī)律建立了一種具有廣泛適用性的顧客到達(dá)模型。

2.3 基于非齊次泊松分布的顧客到達(dá)模型

對于立體車庫的服務(wù)系統(tǒng)，我們對顧客的到達(dá)情況作如下假設(shè)：

（1）在不相交的時(shí)間區(qū)間中到達(dá)系統(tǒng)的顧客個(gè)數(shù)是獨(dú)立的，即無后效性。

（2）在時(shí)刻 t，對充分小的時(shí)間長度 Δt，在時(shí)間區(qū)間[t，t+Δt）內(nèi)有一個(gè)顧客到達(dá)的概率與t和Δt有關(guān)，與 t成函數(shù)關(guān)系 λ（t），約與 Δt成正比，即：

式中：P1—時(shí)間區(qū)間[t，t+Δt）內(nèi)有 1 個(gè)顧客到達(dá)的概率；ο（Δt）—當(dāng) Δt→0 時(shí)，是Δt的高階無窮??；λ—單位時(shí)間有一個(gè)顧客到達(dá)的概率，稱為概率強(qiáng)度。

（3）對于充分小的 Δt，在時(shí)間區(qū)間[t，t+Δt）內(nèi)有兩個(gè)或兩個(gè)以上顧客到達(dá)的概率極小，以致可以忽略，即：

式中：Pn—時(shí)間區(qū)間[t，t+Δt）內(nèi)有 n 個(gè)顧客到達(dá)的概率。

假設(shè)1說明顧客的到達(dá)具有獨(dú)立增量性，假設(shè)2說明顧客到達(dá)不具有平穩(wěn)增量性，由假設(shè)我們得到顧客的到達(dá)規(guī)律是強(qiáng)度函數(shù)為λ（t）的非齊次泊松分布。令：

則：

式中：Pn—時(shí)間長度為s內(nèi)到達(dá)顧客為n時(shí)的概率；N（t）—時(shí)間區(qū)間[t，t+Δt）內(nèi)到達(dá)系統(tǒng)的顧客數(shù)。

立體車庫服務(wù)系統(tǒng)的顧客到達(dá)過程中，其強(qiáng)度函數(shù)λ（t）有界，在研究過程中將非齊次泊松過程看作齊次泊松過程的隨機(jī)取樣。即，λ（t）≤λ，在強(qiáng)度為λ的齊次泊松過程中，時(shí)刻t來到的顧客以概率λ（t）/λ被允許接受服務(wù)或加入等待隊(duì)列，被接受的顧客所構(gòu)成的分布就是符合強(qiáng)度函數(shù)λ（t）的非齊次泊松分布。

3 研究對象的動(dòng)態(tài)模擬

3.1 服務(wù)機(jī)制

服務(wù)機(jī)制需要說明服務(wù)員的數(shù)量以及連接形式，顧客是單個(gè)還是成批接受服務(wù)，服務(wù)時(shí)間的分布情況，其中服務(wù)時(shí)間的分布情況是最重要的一項(xiàng)[11]。

立體車庫服務(wù)系統(tǒng)中顧客是單個(gè)還是成批接受服務(wù)跟立體車庫的結(jié)構(gòu)有關(guān)，升降橫移式可以多個(gè)顧客同時(shí)接受服務(wù)；垂直升降式顧客單個(gè)接受服務(wù)；巷道堆垛式的服務(wù)情況跟堆垛機(jī)數(shù)量有關(guān)。

立體車庫的服務(wù)時(shí)間與其結(jié)構(gòu)有關(guān)，升降橫移式立體車庫的服務(wù)時(shí)間同移動(dòng)載車板的次數(shù)成正比，巷道堆垛式立體車庫和垂直升降式立體車庫的服務(wù)時(shí)間同服務(wù)車位的位置有關(guān)。目前學(xué)者對于服務(wù)時(shí)間的確定是通過建立立體車庫服務(wù)時(shí)間的數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)公式描述了服務(wù)時(shí)間與車位之間的關(guān)系[1，2，4，6，7，10]。

3.2 排隊(duì)及排隊(duì)規(guī)則

排隊(duì)指的是隊(duì)長的限制，對于立體車庫一般是允許排隊(duì)但不允許隊(duì)長無限長。排隊(duì)規(guī)則指的是排隊(duì)等待的顧客接受服務(wù)的順序是什么，一般有先到先服務(wù)、后到先服務(wù)、隨機(jī)服務(wù)、有優(yōu)先權(quán)的服務(wù)等[11]。

立體車庫的服務(wù)系統(tǒng)，由于車位的數(shù)量有限，所以立體車庫允許排隊(duì)但不允許隊(duì)長無限長。目前國內(nèi)學(xué)者對于立體車庫服務(wù)系統(tǒng)的研究側(cè)重于排隊(duì)規(guī)則。分析連續(xù)存車、連續(xù)取車、交叉存取和原地待命四種策略在不同時(shí)間段的應(yīng)用，得出省時(shí)間的策略或策略組合[1～4]或采用遺傳算法對一段時(shí)間的若干個(gè)存取車顧客的服務(wù)順序進(jìn)行優(yōu)化[6～9]。

目前國內(nèi)的學(xué)者在研究立體車庫的存取策略時(shí)選擇的研究對象一般是在一段時(shí)間內(nèi)有若干個(gè)存取車顧客，然后將優(yōu)化策略對這些顧客的服務(wù)時(shí)間進(jìn)行計(jì)算，最后進(jìn)行比較，得出一種優(yōu)化策略[1～10]。

這種研究對象的選取方法只能模擬一段時(shí)間內(nèi)的存取情況，無法說明實(shí)際情況中不同時(shí)刻有不同數(shù)量的存取車顧客排隊(duì)等待時(shí)存取策略的優(yōu)化情況。

本文創(chuàng)新性地引入了嵌入式馬爾可夫鏈，使用馬爾可夫鏈對顧客在接受服務(wù)過程中，系統(tǒng)中排隊(duì)顧客的變化情況進(jìn)行了模擬。應(yīng)用此模型，多種優(yōu)化算法可以在更接近實(shí)際情況的條件下進(jìn)行模擬仿真，得到更有力的分析結(jié)果。

3.3 馬爾可夫鏈定義

馬爾可夫鏈的定義：設(shè)隨機(jī)過程{X（t），t∈T}的狀態(tài)空間為 I，如果對時(shí)間 t的任意數(shù)值 t1＜t2＜…＜tn，n≥3，ti∈T 在條件 X（ti）=xi，xi∈I，i=1，2，…，n-1 下，X（tn）的條件分布函數(shù)恰等于在條件 X（tn-1）=xn-1下 X（tn）的條件分布函數(shù)，即：

則稱隨機(jī)過程{X（t），t∈T}為馬爾可夫鏈。

馬爾可夫鏈具有這樣的性質(zhì)，過程（或系統(tǒng)）在時(shí)刻t0之前所處的狀態(tài)為已知條件下，過程在時(shí)刻t＞t0所處狀態(tài)的條件分布與過程在時(shí)刻t0之前所處的狀態(tài)無關(guān)，即在已知過程“現(xiàn)在”的條件下，“將來”的狀態(tài)不依賴于“過去”。

在立體車庫服務(wù)系統(tǒng)中，顧客的到達(dá)規(guī)律符合泊松流，服務(wù)時(shí)間是確定但不是恒定的，若以X（t）記在時(shí)刻t系統(tǒng)中的顧客人數(shù)，在任意的時(shí)刻t，正在接受服務(wù)的顧客可能還沒有服務(wù)結(jié)束，那么從時(shí)刻t起的剩余服務(wù)時(shí)間分布不再具有無記憶性質(zhì)，即{X（t），t≥0}不具有馬爾可夫性。

3.4 嵌入式馬爾科夫排隊(duì)模擬

為了解決這個(gè)問題，采用嵌入式馬爾可夫鏈進(jìn)行排隊(duì)模擬，只在顧客離開系統(tǒng)時(shí)考察系統(tǒng)，即以Xn記第n個(gè)顧客離開系統(tǒng)后留在系統(tǒng)中的顧客數(shù)，n≥1。又以Yn記第n個(gè)顧客接受服務(wù)期間來到系統(tǒng)的顧客數(shù)，Tn記第n個(gè)顧客的服務(wù)時(shí)間。當(dāng)Xn＞0時(shí)，第n個(gè)顧客離開系統(tǒng)時(shí)剩余Xn個(gè)顧客，其中一個(gè)顧客接受服務(wù)，其余Xn-1個(gè)顧客排隊(duì)等候。因此第n+1個(gè)顧客離開系統(tǒng)時(shí)系統(tǒng)將包含在排隊(duì)的Xn-1個(gè)顧客以及第n+1個(gè)顧客服務(wù)期間來到系統(tǒng)的顧客。當(dāng)Xn=0時(shí)類似?？傻茫?/p>

由于Yn，n≥1表示不相重疊的服務(wù)時(shí)間中來到系統(tǒng)的顧客數(shù)，到達(dá)規(guī)律服從泊松分布，所以相互獨(dú)立，且：

當(dāng)已知 Xn時(shí)，Xn+1只與到達(dá)過程有關(guān)，而與 X1，X2，…，Xn-1無關(guān)，所以過程{Xn，n≥1}是馬爾可夫鏈，由于此馬爾可夫鏈?zhǔn)墙缍ㄔ谔囟c(diǎn)上的，所以這個(gè)鏈又稱為嵌入式馬爾可夫鏈。

其一步轉(zhuǎn)移概率是最重要的式子：

當(dāng) i≥1，時(shí)，

其中：M=m（t+Tn+1）-m（t），k=j-i+1

當(dāng) i=0，時(shí)，

其中：k=j

嵌入式馬爾可夫鏈{Xn，n≥1}的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣可寫成：

其中：

嵌入式馬爾可夫鏈模型的建立需要的數(shù)據(jù)有顧客的到達(dá)規(guī)律和服務(wù)時(shí)間，到達(dá)規(guī)律在上一節(jié)已經(jīng)說明，服務(wù)時(shí)間跟結(jié)構(gòu)和服務(wù)類型有關(guān)。

3.5 模型應(yīng)用

立體車庫由于建設(shè)位置的不同，服務(wù)對象會(huì)有很大的差異，優(yōu)化策略的研究也就不盡相同。本文建立的模型適合多種立體車庫，而且由于是動(dòng)態(tài)模擬，優(yōu)化策略研究的結(jié)果更加符合實(shí)際情況。在使用模型過程中需要的參數(shù)有到達(dá)強(qiáng)度函數(shù)λ（t）和存取車比例函數(shù)p（t）。此模型假設(shè)在較長時(shí)間內(nèi)顧客到達(dá)服從參數(shù)為λ（t）的泊松分布，在較短的時(shí)間段內(nèi)顧客的到達(dá)強(qiáng)度可以認(rèn)為是不變的，即服從齊次泊松分布，不同時(shí)間段內(nèi)顧客的存取車比例不相同，通過調(diào)節(jié)存取車比例函數(shù)p（t）來適應(yīng)不同時(shí)間段的情況。

4 結(jié)論

本文主要針對立體車庫的服務(wù)系統(tǒng)進(jìn)行了研究，重點(diǎn)對其客流的輸入過程和排隊(duì)服務(wù)等環(huán)節(jié)進(jìn)行了深入研究，獲得以下結(jié)論：

提出了一種新的與實(shí)際情況接近的存取車模型，即非齊次泊松分布規(guī)律，顧客到來強(qiáng)度是時(shí)間t的函數(shù)。

采用嵌入式馬爾可夫鏈，提出了一種動(dòng)態(tài)模擬排隊(duì)的模型，該模型將顧客的到達(dá)規(guī)律和立體車庫系統(tǒng)的服務(wù)時(shí)間結(jié)合起來，建立了一個(gè)立體車庫的動(dòng)態(tài)服務(wù)過程，更接近實(shí)際的研究對象。

本文提出的存取車模型和動(dòng)態(tài)服務(wù)過程可以適用多種不同的排隊(duì)規(guī)則，更好的服務(wù)多種類型立體車庫和多種服務(wù)場合。