溫度對我國近期H7N9型禽流感傳播影響的數(shù)學(xué)分析

張琬婧， 湯琳瑜， 陶益婷， 林支桂

(揚州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 揚州 225002)

2013年3月底開始，在上海和安徽兩地出現(xiàn)了禽流感疫情，引起疫情的H7N9型禽流感病毒是首次發(fā)現(xiàn)的新亞型流感病毒，當(dāng)時尚未納入我國法定傳染病監(jiān)測報告系統(tǒng)，目前也無有效的疫苗進行及時防控。并且初期感染者均出現(xiàn)發(fā)熱、咳嗽、頭痛、肌肉酸痛和全身不適等特征，重癥感染者甚至導(dǎo)致死亡，且死亡率高達35%[1]。目前尚未證實此類病毒是否具有人傳染人的特性。

由于氣候異常等多種因素的影響，全球禽流感疫情呈高發(fā)態(tài)勢，我國的H7N9型禽流感在2013年春季爆發(fā)過后，又出現(xiàn)幾波較為明顯的疫情，整體均呈現(xiàn)出分布廣、病例多、傳播快等特點，且主要在經(jīng)濟發(fā)達的南方地區(qū)爆發(fā)大規(guī)模疫情，進而對我國經(jīng)濟發(fā)展和人民生活造成了較大影響。

本文以2013年至2015年爆發(fā)的三波禽流感疫情的病例數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，建立模型進行理論分析，利用軟件進行模擬，為未來禽流感疫情發(fā)展趨勢的預(yù)測和防控提供定量分析工具[2-6]。

1 經(jīng)典的Logistic模型

世界衛(wèi)生組織(WHO)發(fā)布了2013年3月27日至2015年3月28日期間中國(包括香港在內(nèi))累計確診H7N9型禽流感病例人數(shù)(見：http://www.who.int/mediacentre/factsheets/avian_influenza/zh/)，下面給出三波病例發(fā)展趨勢圖。第一波：2013年3月31日至2013年5月10日(圖1按天統(tǒng)計)；第二波：2013年12月19日至2014年3月19日(圖2按天統(tǒng)計)；第三波：2014年12月14日至2015年3月28日(圖3按周統(tǒng)計)。

圖1 第一波禽流感累計發(fā)病人數(shù)(按天)

圖2 第二波禽流感累計發(fā)病人數(shù)(按天)

圖3 第三波禽流感累計發(fā)病人數(shù)(按周)Fig.3 The cumulative number of total avian influenza infected cases in China(by week)

首先考慮經(jīng)典的Logistic增長模型[7-9]

(1)

其中，r為禽流感發(fā)病率，k為預(yù)防效果指數(shù)，N為累計發(fā)病人數(shù)。對(1)式求解得到

(2)

根據(jù)已知的2013年3月27日至2015年3月28日累計發(fā)病人數(shù)，可以用Matlab軟件進行擬合，求出模型的系數(shù)，得到擬合曲線，如圖4所示。

第一波：k=0.001815,r=0.2336,N0=3,

第二波：k=0.0007038,r=0.16,N0=1,如圖5所示。

圖4 經(jīng)典的Logistic曲線；原始數(shù)據(jù)

圖5 經(jīng)典的Logistic曲線；原始數(shù)據(jù)

第三波：k=0.003121,r=0.6335,N0=1,如圖6所示。

圖6 經(jīng)典的Logistic曲線；原始數(shù)據(jù)Fig.6 The classical Logistic curve;Raw data.

顯然，經(jīng)典的Logistic模型與實際數(shù)據(jù)有較大的誤差，不能很好地擬合。

2 具溫度的Logistic模型

為達到更好的擬合效果，我們將經(jīng)典的Logistic模型進行改進。由于病毒活性受到溫度影響，而當(dāng)日禽流感發(fā)病率的變化與“前幾天溫度”有關(guān)，上述的“前幾天”即為傳染病的潛伏期。根據(jù)世界衛(wèi)生組織(WHO)的資料，本文視禽流感的潛伏期為7天左右，并且取當(dāng)日前7天疫情主要地區(qū)的平均氣溫作為禽流感的潛伏期溫度。圖7，8和9表示了疫情當(dāng)日前7天的平均溫度變化情況(見天氣網(wǎng)：http://lishi.tianqi.com/)。

考察潛伏期溫度θ(t)對發(fā)病增長速率r的影響，改進后的Logistic模型為

(3)

其中，α,β為參數(shù)，θ(t)為當(dāng)時前6，7，8天的平均溫度，即潛伏期溫度。(3)式化為

N(t+1)-N(t)=(β-αθ(t))N(t)-kN2(t)。

(4)

(4)式為多元線性方程，通過數(shù)學(xué)軟件Matlab的擬合功能可以得出α,β,k的參數(shù)估計值，

第一波：α=0.001957，β=0.2353，k=0.001541,如圖10所示。

第二波：α=0.00047，β=0.11，k=0.0004,如圖11所示。

第三波：α=0.01753，β=0.6521，k=0.002418,如圖12所示。

而已了解到病毒會在一個特定的溫度下活性最強，該溫度我們稱之為最適環(huán)境溫度，最后考慮具最適溫度的Logistic模型：

圖7

圖8

圖9 主要地區(qū)疫情爆發(fā)當(dāng)日前7天平均溫度變化圖(按周)

圖10 第一波具潛伏期溫度的Logistic曲線；原始數(shù)據(jù)；經(jīng)典的Logistic曲線

圖11 第二波具潛伏期溫度的Logistic曲線；原始數(shù)據(jù)；經(jīng)典的Logistic曲線

(5)

其中參數(shù)θ*為病毒活性最強時的最適環(huán)境溫度。將(5)式化為

N(t+1)-N(t)=[β-α(θ(t)-θ*)2]N(t)-kN2(t),

并運用數(shù)學(xué)軟件Matlab的擬合工具箱，得到參數(shù)估計值為

第一波：α=0.0002127，β=0.2121，k=0.001604,θ*=15.0132,如圖13所示。

第三波：α=0.002343，β=0.543，k=0.002581,θ*=6.624,如圖15所示。

圖13是最適溫度為15.0132℃的第一波疫情的擬合曲線，圖14是最適溫度為8.517℃的第二波疫情的擬合曲線，圖15是最適溫度為6.624℃的第三波疫情擬合曲線，第一波及第二波擬合曲線與原始數(shù)據(jù)比較幾乎完全接近，而第三波具最適溫度的擬合曲線與原始數(shù)具有一定的偏差，誤差原因可能在于第三波疫情由于數(shù)據(jù)量較少，數(shù)據(jù)之間間隔較大，故擬合曲線難以完美吻合。

但根據(jù)圖13和圖14可見，考慮了潛伏期溫度得到的擬合曲線模擬效果很好，這說明：溫度對H7N9型禽流感傳播影響較大，在研究禽流感疫情控制時，溫度是不可忽視的重要因素。

圖12 第三波具潛伏期溫度的Logistic曲線；原始數(shù)據(jù)；經(jīng)典的Logistic曲線

圖13 最適環(huán)境溫度的Logistic曲線與原始數(shù)據(jù)的對比

第二波：α=0.0000481，β=0.1012，k=0.0004199,θ*=8.517,如圖14所示。

圖14 最適環(huán)境溫度的Logistic曲線與原始數(shù)據(jù)的對比

圖15 最適環(huán)境溫度的Logistic曲線與原始數(shù)據(jù)的對比

3 結(jié) 論

從上述分析和模擬的結(jié)果得出，經(jīng)典Logistic模型具有一定的貼合性，但與實際病例有一定的偏差，改進后的溫度模型將潛伏期溫度和最適溫度納入考慮范圍，進而能夠較好地與實際數(shù)據(jù)相貼合，并且我們得到的三波疫情的最適溫度分別為15.0132℃[10]、8.517℃、6.624℃。

從中我們可以發(fā)現(xiàn)，H7N9型禽流感爆發(fā)高峰期主要為冬春兩季，集中在12月至次年5月期間。并且由結(jié)果表明春季禽流感的最適溫度為15℃左右[11]，與實驗所得數(shù)據(jù)基本吻合，而冬季禽流感的最適溫度范圍在6-9℃之間。此結(jié)果有助于引導(dǎo)大眾在不同季節(jié)下做好防范措施，同時也盡量減少接觸活禽的幾率，避免交叉感染。另外，對于日后我國H7N9型禽流感的預(yù)防、控制工作提供了理論基礎(chǔ)，更好地完善禽間病毒傳播防控的長效體系。

此外，本文只著重考慮了溫度對疫情傳播的影響，未考慮政府干預(yù)[12]等其他影響因素。因此，在同時考慮這兩種因素下，政府應(yīng)在疫情高發(fā)季節(jié)結(jié)合所得到的最適溫度對活禽加大監(jiān)管力度，必要時關(guān)閉活禽市場，并且對人們進行大力宣傳，科普防范措施，從而控制疫情規(guī)模。