帶有延遲脈沖的時(shí)滯切換系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性

丁 建, 馮桂珍

(1.南京信息工程大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,江蘇 南京 210044；2.南京工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)課部,江蘇 南京 210023)

切換系統(tǒng)是一種混合系統(tǒng)，由一族連續(xù)或離散的子系統(tǒng)構(gòu)成，各子系統(tǒng)間通過(guò)切換信號(hào)(或切換律)進(jìn)行模式切換。脈沖系統(tǒng)能夠比較真實(shí)地模擬許多實(shí)際問(wèn)題中的狀態(tài)突變現(xiàn)象，近些年引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者極大的研究興趣。隨著切換系統(tǒng)在電子、通訊、計(jì)算機(jī)領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，脈沖切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題逐漸成為新的研究熱點(diǎn)。在信息傳播和脈沖采樣過(guò)程中，時(shí)間延遲(時(shí)滯)不可避免，時(shí)滯的存在導(dǎo)致系統(tǒng)狀態(tài)不僅與當(dāng)前時(shí)刻相關(guān)，也受到延遲時(shí)段內(nèi)系統(tǒng)演化的影響，因此，對(duì)于時(shí)滯脈沖系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究也顯得非常重要。

在當(dāng)前研究時(shí)滯脈沖系統(tǒng)穩(wěn)定性的結(jié)果中，絕大部分主要關(guān)注時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)連續(xù)演化(即脈沖間隔時(shí)間段的狀態(tài)變化)的影響，關(guān)注時(shí)滯對(duì)脈沖時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài)影響的結(jié)果較少。最近，[1]研究了帶有延遲脈沖作用的無(wú)時(shí)滯自治系統(tǒng)，得到了系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性的充分條件，但這一方法不適用于非自治系統(tǒng)。[2]應(yīng)用常數(shù)變異法研究了一類帶有穩(wěn)定的延遲輸入脈沖的時(shí)滯系統(tǒng)，得到了一些穩(wěn)定性結(jié)果。[3]應(yīng)用微分不等式方法研究了帶有不穩(wěn)定脈沖延遲的時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)穩(wěn)定性。[4]應(yīng)用脈沖系統(tǒng)法研究了數(shù)據(jù)采樣系統(tǒng)。在幾乎所有時(shí)滯脈沖系統(tǒng)穩(wěn)定性的結(jié)果中，對(duì)于相鄰脈沖間的時(shí)間間隔都有比較嚴(yán)格的限定。一般來(lái)說(shuō)，這些結(jié)果均需要脈沖間隔長(zhǎng)度控制在事先設(shè)定的某個(gè)區(qū)間內(nèi)，這大大限制了脈沖發(fā)生和脈沖采樣的隨機(jī)性，使得結(jié)果的應(yīng)用受到了很大的束縛。

筆者注意到，文[5]和[6]應(yīng)用“平均脈沖區(qū)間”條件來(lái)代替對(duì)脈沖間隔長(zhǎng)度的要求，研究了一類脈沖網(wǎng)絡(luò)的同步性。后來(lái)，文[7]應(yīng)用類似條件研究了帶有延遲脈沖的時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性。受此啟發(fā)，本文擬用這一條件研究帶有延遲脈沖的切換時(shí)滯系統(tǒng)。本文的創(chuàng)新點(diǎn)主要在于：(1)通過(guò)平均化脈沖間隔消除對(duì)每個(gè)脈沖間隔的長(zhǎng)度限制。結(jié)果表明，只要使得脈沖出現(xiàn)的頻率足夠合理，系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定即可得以保證；(2)在應(yīng)用Lyapunov-Krasovskii方法證明系統(tǒng)穩(wěn)定性時(shí)，需要針對(duì)系統(tǒng)的連續(xù)狀態(tài)和脈沖狀態(tài)分別構(gòu)造符合切換要求的Lyapunov切換函數(shù)，本文通過(guò)對(duì)連續(xù)狀態(tài)和脈沖狀態(tài)構(gòu)造統(tǒng)一的切換函數(shù)，證明系統(tǒng)能夠達(dá)到穩(wěn)定；(3)本文給出的條件能更清晰地揭示系統(tǒng)狀態(tài)的演化，在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用更為便捷。

1 準(zhǔn)備工作

對(duì)ρ≥0,r>0,令I(lǐng)(ρ)={x∈Rn||x|ρ},PRC([-r,0],Rn)={φ:[-r,0]→Rn|φ是逐段右連續(xù)函數(shù)}。對(duì)φ∈PRC([-r,0],Rn)，其范數(shù)‖φ‖r=sup-rθ0|φ(θ)|。對(duì)x∈PRC([t0-r,+),Rn)及t≥t0，定義xt∈PRC([-r,0],Rn)為xt(s)=x(t+s)。D?Rn為一開(kāi)集，滿足I(ρ)?D。

考慮下述帶有延遲脈沖的時(shí)滯切換系統(tǒng)

其中,x(t)∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài),x(t-)是x在t時(shí)刻的左極限。Nc和Nd為切換指標(biāo)集，滿足對(duì)每個(gè)k∈N,ik∈Nc,jk∈Nd。因此，對(duì)應(yīng)不同的脈沖區(qū)間，連續(xù)狀態(tài)服從不同的演化規(guī)律(a)；對(duì)應(yīng)于不同的脈沖時(shí)刻，脈沖狀態(tài)服從不同的跳變規(guī)律(b)。切換函數(shù)fik:R+×PRC([-r,0],D)→Rn滿足fik(t,0)=0。gjk:D×D→Rn為脈沖切換函數(shù)。{dk≥0,k∈N}為脈沖延遲，滿足max {dk}=d<,t0為初始時(shí)刻，{tk}為(t0,+)上的增列，tk→+,φ∈PRC([-τ,0],Rn)為初始狀態(tài)，τ=max {r,d}。

本文后面均假定對(duì)φ∈PRC([-τ,0],Rn),(1)有惟一解x(t)=x(t,t0,φ),且為右連續(xù)的,即x(t+)=x(t)。

定義1對(duì)給定的脈沖列{tk},(1)的零解稱為指數(shù)穩(wěn)定的,如果存在正數(shù)ρ0,M,λ使得對(duì)φ,‖φ‖<ρ0，(1)的解x(t,t0,φ)滿足|x(t,t0,φ)|M|φ|τe-λ(t-t0),t≥t0。

定義2[5]對(duì)給定的脈沖列ζ={tk},稱其平均脈沖區(qū)間不小于Ta1，若存在N1∈Z+,使得

Nζ(T,t)?T≥t≥0,

其中，Nζ(T,t)表示ζ在(t,T)上的脈沖次數(shù)。

定義3函數(shù)V:[-τ,)×I(ρ)→R+稱為是ν0類的，若

(2)V(t,x)關(guān)于x∈I(ρ)是局部李普希茲的，且對(duì)所有t≥to,V(t,0)≡0。

2 主要結(jié)果

本節(jié)給出切換系統(tǒng)(1)的指數(shù)穩(wěn)定性法則,首先,做如下假設(shè):

(A1)對(duì)每個(gè)i∈Nc，存在L1i>0使得對(duì)任一φ∈PRC([-r,0],I(ρ))，有|fi(t,φ)|L1i‖φ‖r。

(A2)對(duì)每個(gè)j∈Nd，存在L2j,L3j>0使得對(duì)所有x,y1,y2∈I(ρ),有|gj(x,0)-x|L2j|x|,|gj(x,y1)-gj(x,y2)|L3j|y1-y2|。

(A3)脈沖列ζ={tk}的平均脈沖區(qū)間不小于Ta>0,即存在N0∈N,使得對(duì)所有T≥t≥t0，Nζ(T,t)

定理1設(shè)(1)滿足(A1)-(A3)，存在Vi∈ν0，正數(shù)ai,bi,ci,vi,k1i,k2i及pi≥1,滿足下述條件

(S1)對(duì)(t,x)∈[tk-1,tk)×I(ρ),aik|x|pikVik(t,x)bik|x|pik,k∈N。

(S2)對(duì)t∈(tk-1,tk),s∈[-τ,0)及x(·)∈PRC([-τ,0],I(ρ)),只要t+s∈(tk-1,tk)且ecikτVik(t,x(t))≥Vik(t+s,x(t+s))即有D+Vik(t,x(t))-cikVik(t,x(t))。

(S3)對(duì)t=tk及x,y1,y2∈I(ρ)且y1+y2∈I(ρ),有

(Vik+1(tk,gjk(x,x))/(vik+1bik+1))1/pik+1

以及Vik+1(tk,gjk(x,y1+y2))k1ik+1Vik+1(tk,gjk(x,y1))+k2ik+1Vik+1(tk,gjk(0,y2))。

令a=inf {ai},b=sup {bi},c=inf {ci},p=inf {pi},p=sup {pi},kj=sup {kji},(j=1,2),v=sup {vi},Lj=sup {Lji}(j=1,2,3)。設(shè)a,b,p,kj,v,Lj<+,c>0。若存在d≥0使得

(2)

證明由(A3),對(duì)滿足(2)的正數(shù)d,在(t0,t0+d]上至多存在l次脈沖。令leL1d。

(3)

且

(4)

令x(t)=x(t,t0,φ)為方程(1)的解，我們將證明

|x(t)|)。

(5)

設(shè) (t0,t0+d]上的脈沖時(shí)刻為{ti},i=1,2,…m,ml。應(yīng)用文[7]的方法可證

|x(t)|l‖φ‖τeL1(t-t0)l‖φ‖τeL1d=σ‖φ‖τ,t∈[t0-τ,t0+d]。

對(duì)t∈[tk-1,tk],k∈N,Vik(t,x(t))為[t0,+)上的右連續(xù)函數(shù)，令

我們將用數(shù)學(xué)歸納法證明:對(duì)任一k∈N,

Wik(t)

(6)

顯然，當(dāng)k=1,2,…,m時(shí)，(6)成立。我們斷言其對(duì)k=m+1也成立。

若否，則存在t*∈(tm,tm+1)及0<εim+1

(7)

且對(duì)t∈[tm,t*),

Wim+1(t)

(8)

故對(duì)t∈[t*-τ,t*)∩(tm,t*),有

Vim+1(t*)>e-λ(t*-t)pim+1/pVim+1(t)≥e-λτpim+1/pVim+1(t)≥e-cim+1τVim+1(t)。

由(S2)得D+Vim+1(t*)-cim+1Vim+1(t*)。

故有D+Wim+1(t*)-(cim+1-λpim+1/p)eλ(t*-t0-d)pim+1/pVim+1(t*)<0,與(7)矛盾。

因此，(6)在[tm,tm+1)上成立。

現(xiàn)在，假定對(duì)任一取定的自然數(shù)s,(6)對(duì)不超過(guò)s的自然數(shù)k均成立，據(jù)此證明(6)對(duì)k=s+1成立。

由 (S1),對(duì)t∈[tk-1,tk),ks,有

a|x(t)|pikVik(t,x(t))

(9)

故對(duì)t∈[tk-1,tk),ks,

(10)

據(jù)此可得 |x(t)|<ρ,t∈[t0-τ,ts)。

顯然，

(11)

由于Nζ(ts,ts-ds)在(ts-ds,ts)上至多存在l次脈沖，設(shè)這些脈沖時(shí)刻為ts-l0,ts-l0+1,…ts-1,l0l。

(12)

據(jù)(10)和(12)不難驗(yàn)證

|Δs|

(13)

注意到δ的選取，由(10)可證

(14)

結(jié)合(4),(9),(13),(S1)及(S3)可得

因此，Wis+1(ts)

用證明(6)在[tm,tm+1)上成立相同的方法，可證(6)在[ts,ts+1)上成立。由數(shù)學(xué)歸納法知對(duì)任意的k∈N,(6)在[tk-1,tk)上成立。

由上述證明可知，

Vik(t)

故又由(S1)得|x(t)|在[t0,+)上成立，定理得證。

注1條件(S3)表明，若Lypunov函數(shù)在時(shí)刻t前的一個(gè)延遲周期[-τ,0]內(nèi)以不超過(guò)速率c指數(shù)增長(zhǎng)，為實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定，其在t后的一段時(shí)間內(nèi)應(yīng)以不低于速率c指數(shù)下降。

注2定理1用以研究系統(tǒng)在充分小脈沖延遲作用下的指數(shù)穩(wěn)定性，即魯棒指數(shù)穩(wěn)定性。應(yīng)用該定理需先由不等式(2)確定出脈沖延遲的上界。

接下來(lái)考慮帶有任意有界脈沖延遲的切換系統(tǒng)(1)的指數(shù)穩(wěn)定性。

定理2設(shè)(1)滿足(A1)-(A3)，存在Vi∈ν0，正數(shù)ai,bi,ci,vi,k1i,k2i及pi≥1,滿足(S1)和(S2),且有下述條件成立。

Vik+1(tk,gjk(x,y))M1ik+1Vik+1(tk,x)+M2ik+1Vik+1(tk,y)。

設(shè)x(t)=x(t,t0,φ)為方程(1)的解。用證明定理1相同的方法，可以驗(yàn)證(6)對(duì)k=1,2,…,m+1成立。假設(shè)(6)在[tk-1,tk),ks,s∈N上成立，我們要證明其在[ts,ts+1)上也成立。由定理1的證明，只需證明Wis+1(ts)

從而定理得證。

3 結(jié) 論

本文研究了帶有脈沖作用的時(shí)間延遲切換系統(tǒng)。不同于以往結(jié)果，本文沒(méi)有分別構(gòu)造連續(xù)狀態(tài)和脈沖(切換)時(shí)刻狀態(tài)的Lyapunov函數(shù)，而是構(gòu)造了同時(shí)適用于兩種狀態(tài)的統(tǒng)一的Lyapunov函數(shù)，分析了系統(tǒng)狀態(tài)的演化，得到了帶有有界時(shí)間延遲脈沖和任意時(shí)間延遲脈沖作用的切換系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性結(jié)果，這些結(jié)果較已有結(jié)果有更廣的應(yīng)用性。本文結(jié)果還有一些值得進(jìn)一步研究的問(wèn)題，比如，當(dāng)脈沖時(shí)刻與切換時(shí)刻不一致時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題，當(dāng)系統(tǒng)(1)的連續(xù)狀態(tài)(a)不穩(wěn)定((S2)中ci<0)時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題等，這些問(wèn)題將在今后的研究中進(jìn)一步討論。