多位數(shù)碼構(gòu)成的數(shù)字金字塔

周小輝

(浙江財(cái)經(jīng)大學(xué) 東方學(xué)院,浙江 嘉興 314408)

引 言

文獻(xiàn)[1]對(duì)F.B.selkin的數(shù)字金字塔[2,3]做相應(yīng)的推廣，由數(shù)字1構(gòu)成的數(shù)字金字塔也做了詳細(xì)的討論，并且得到了幾個(gè)定理。換句話說(shuō)，數(shù)字1金字塔解決對(duì)于任意整數(shù)k,[1]k×[1]k=?的問(wèn)題。然后，考慮在任意整數(shù)n,m且m≠n的情形下[1]n×[1]m=?的問(wèn)題，討論了解的結(jié)構(gòu)，其中符號(hào)[b]k表示一個(gè)整數(shù)是由連續(xù)k個(gè)數(shù)字b組成的[1]，例如[1]4=1111。這類正整數(shù)可稱為由數(shù)字1生成的循環(huán)數(shù)。

注意：一般地，k是有限的正整數(shù)。若k取無(wú)窮大，而正整數(shù)A也是正無(wú)窮大。

在文獻(xiàn)[1]中，對(duì)于任意n階循環(huán)正整數(shù)[1]n，存在以下一些有用的結(jié)論。

引理1[1]任意的n∈N*，存在k,r∈N*，使得n=9k+r，(k≥0，0≤r<9)則

對(duì)于兩個(gè)階數(shù)不相等的循環(huán)正整數(shù)[1]n和[1]m，存在以下引理。

引理2[1]?n,m∈N*，存在k,r∈N*，使得n=9k+r，滿足m>n，則

上述引理1與引理2給出了[1]n×[1]m的結(jié)論，包含了n=m和n≠m的情形。本文將首先給出由其他一位數(shù)碼生成的循環(huán)正整數(shù)與自身乘積的相關(guān)結(jié)果。

1 一位數(shù)碼生成的數(shù)字金字塔

在這一節(jié)中，一位數(shù)碼生成的數(shù)字金字塔的討論實(shí)質(zhì)上是探討任意n階循環(huán)正整數(shù)[a]n的乘積[a]n×

[a]n，其中a=2，3，…，9。根據(jù)引理1和算式123456790×4=493827160，98765432×4=395061728,可以得到如下結(jié)果：

定理1?n∈N*，?k,r∈N*，有n=9k+r，(k≥0,0r<9)，那么

結(jié)合引理2，則有

推論1?n,m∈N*，?k,r∈N*，有n=9k+r,(k≥0,0r<9)。如果n

但是考慮[3]n×[3]n時(shí)，存在其他簡(jiǎn)潔方法。直接計(jì)算可得，

[3]n×[3]n=[1]n×[9]n=[1]n×(1[0]n-1)=[1]n×1[0]n-[1]n=[1]n-10[8]n-19

然而利用引理1，也可以得到相同的結(jié)果。事實(shí)上，

類似地，結(jié)合引理2，

定理2?n,m∈N*，?k,r∈N*，有n=9k+r,(k≥0,0r<9)。如果n

在上述計(jì)算中注意到，利用循環(huán)正整數(shù)符號(hào)計(jì)算時(shí)，需要考慮進(jìn)位。再如，[5]n×[5]n。

由于123456790×25=3086419750，[123456790]k×25=[308641975]k0，98765432×25=2469135800，[098765432]k×25=[246913580]k0，

則

類似的，結(jié)合引理2，

定理3?n,m∈N*，?k,r∈N*，有n=9k+r,(k≥0,0r<9)。如果n

其他一位數(shù)碼生成的任意n階，m階的循環(huán)正整數(shù)[a]n和[a]m，相應(yīng)的乘積[a]n×[a]n，[a]n×[a]m存在上述類似的結(jié)果。通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，[6]n×[6]n，[9]n×[9]n的結(jié)果類似于[3]n×[3]n的形式。其他的情形類似于[2]n×[2]n和[5]n×[5]n，需要考慮到進(jìn)位。

例1根據(jù)上述定理1,定理2和定理3的結(jié)論，我們給出相應(yīng)的三層數(shù)字金字塔。

考慮m=20，n=18，19，20。即，先固定m的取值，通過(guò)計(jì)算，第18層，19層和20層的數(shù)字金字塔如下：

[1]20×[1]18=1234567901234567899987654320987654321

[1]20×[1]19=12345679012345679010987654320987654321

[1]20×[1]20=123456790123456790120987654320987654321

[2]20×[2]18=4938271604938271599950617283950617284

[2]20×[2]19=49382716049382716043950617283950617284

[2]20×[2]20=493827160493827160483950617283950617284

[5]20×[5]18=30864197530864197499691358024691358025

[5]20×[5]19=308641975308641975274691358024691358025

[5]20×[5]20=3086419753086419753024691358024691358025

其他一位數(shù)碼生成的數(shù)字金字塔類似于上述結(jié)果。

2 多位數(shù)碼生成的數(shù)字金字塔

在這一節(jié)中，討論多位數(shù)碼生成的數(shù)字金字塔。而n階循環(huán)正整數(shù)符號(hào)[a]n可以多層嵌套使用，如[1[0]2]3=100100100。關(guān)于任意n階循環(huán)正整數(shù)[a]n的乘積[a]n×[a]n有如下重要引理。

引理3[1]?n,m∈N*，存在k,r∈N*，使得n=[9]m+1k+r，(k≥0，[0]m+1≤r<[9]m+1)

令A(yù)=[0]m1[0]m2[0]m3…[9]m7[9]m+1[0]m+1,B=[0]m+1[9]m+1[9]m8…[0]m3[0]m2,

Cn=[1[0]m]n×[1[0]m]n，則

進(jìn)一步，可得

定理4?n,m,l∈N*，存在k,r∈N*使得n=[9]m+1k+r，(k≥0，[0]m+1≤r<[9]m+1)，如果n

令A(yù)=[0]m1[0]m2[0]m3…[9]m7[9]m+1[0]m+1,B=[0]m+1[9]m+1[9]m8…[0]m3[0]m2,

Cnl=[1[0]m]n×[1[0]m]l，則

證明：?n，m，l∈N*，當(dāng)n>l時(shí)有n=2，

C2l[1[0]m]2×[1[0]m]l=1[0]m[2[0]m]l-2+11[0]2m

當(dāng)n=2時(shí)結(jié)論成立。

假設(shè)當(dāng)n=p時(shí)成立，則?k，r∈N*，使得p=[9]m+1k+r，

當(dāng)n=p+1時(shí)，p+1=9k+r+1，

若r+1為[0]m3～[9]m8時(shí)即r為[0]m2～[9]m7時(shí)的情況，

C(p+1)l=[1[0]m]p+1×[1[0]m]l=[1[0]m]l×[1[0]m]p+1

=[1[0]m]l×[1[0]m][0[0]m]p+[1[0]m]p×[1[0]m]l

=[1[0]m]l×[1[0]m][0](m+1)p+[1[0]m]p×[1[0]m]l

=[1[0]m]l[0](m+1)p+m+[A]k[0]m1[0]m2…[r]l-p+1…[0]m3[0]m2[B]k[0]m1[0]2m

=[[0]m1]p+l-p[0]m[0](m+1)p+m+[[0]m1[0]m2[0]m3…[9]m7[9]m+1[0]m+1]k

[0]m1[0]m2…[r]l-p+1…[0]m3[0]m2[[0]m+1[9]m+1[9]m8…[0]m3[0]m2]k[0]m1[0]2m

=[A]k[0]m1[0]m2…[r+1]l-p+1…[0]m3[0]m2[B]k[0]m1[0]2m

結(jié)論成立。

同理，當(dāng)r為其他情況時(shí)結(jié)論也成立。

因此該定理成立。

說(shuō)明：定理4與引理3從不同的方面討論了數(shù)字金字塔規(guī)律，但是他們的結(jié)論卻是一致的，在定理4中若l=n時(shí)就是引理3的情況。當(dāng)l

例2：根據(jù)定理4,和引理3的結(jié)論，我們給出相應(yīng)的三層數(shù)字金字塔。

考慮m=2，l=5，n=3，4，5。即，先固定m的取值，通過(guò)計(jì)算，第3層，4層和5層的數(shù)字金字塔如下：

[1[0]2]3×[1[0]2]5=10020030030030020010000

[1[0]2]4×[1[0]2]5=10020030040040030020010000

[1[0]2]5×[1[0]2]5=10020030040050040030020010000

多位數(shù)碼生成的數(shù)字金字塔的討論實(shí)質(zhì)上是探討任意n階循環(huán)正整數(shù)[a]n的乘積[a]n×[a]n，其中a是二位以上不全相同的數(shù)碼。例如，利用定理4，可以考慮任意n階循環(huán)正整數(shù)[12]n的乘積[12]n×[12]n及[12]n×[12]m。此算式可以改寫(xiě)成[10]n×[10]n×1.44及[10]n×[10]m×1.44。一般情形下，如果數(shù)A和B與m+1位正整數(shù)數(shù)碼a的a2的乘積A×a2，B×a2進(jìn)位數(shù)不超過(guò)m時(shí)，計(jì)算[a]n×[a]n和[a]n×[a]l可以改寫(xiě)成

令α=A×a2，β=B×a2，于是，可以得到如下結(jié)論：

定理5?n,m∈N*，存在k，r∈N*，使得n=[9]m+1k+r，(k≥0，[0]m+1≤r<[9]m+1)，

令A(yù)=[0]m1[0]m2[0]m3…[9]m7[9]m+1[0]m+1,B=[0]m+1[9]m+1[9]m8…[0]m3[0]m2,

γn=[a]n×[a]n，如果α=A×a2，β=B×a2進(jìn)位數(shù)不超過(guò)m，則

證明:?n,m∈N*，存在k,r∈N*,使得n=[9]m+1k+r,(k≥0，[0]m+1≤r<[9]m+1)。根據(jù)引理3，可以考慮其中一種情形，即r=[0]m+1，而其他情形類似。

=[A]k-1[0]m1[0]m2…[9]m8[9]m+1[9]m8…[0]m3[0]m2[B]k-1[0]m1×a2

=([A]k-1[0]m1[0]m2…[9]m8[9]m+1[9]m8…[0]m3[0]m2[B]k-1[0]m+1+[0]m1)×a2

=([A]k-1[0]m1[0]m2…[9]m8[9]m+1[9]m8…[0]m3[0]m2[0]m+[B]k-1[0]m+1)×a2+a2

=([A]k-1[0]n+[9]m+1×(m+1)+[9]m7×(m+1)+[0]m1[0]m2…[9]m8[9]m+1[9]m8…[0]m3[0]m2[0]m)×a2+

[β]k-1[0]m+1+a2

=[α]k-1[0]n+[9]m+1×(m+1)+[9]m7×(m+1)+([0]m1[0]m2…[9]m8[9]m+1[9]m8…[0]m3[0]m2[0]m×a2)+

[β]k-1[0]m+1+a2

=[α]k-1([0]m1[0]m2…[9]m8[9]m+1[9]m8…[0]m3[0]m2×a2)[β]k-1[0]m+1+a2

定理6?n，m，l∈N*，存在k，r∈N*使得n=[9]m+1k+r，(k≥0，[0]m+1≤r<[9]m+1)，如果n

令A(yù)=[0]m1[0]m2[0]m3…[9]m7[9]m+1[0]m+1,B=[0]m+1[9]m+1[9]m8…[0]m3[0]m2,

Cnl=[1[0]m]n×[1[0]m]l，如果α=A×a2，β=B×a2進(jìn)位數(shù)不超過(guò)m,則

證明與定理5類似。

例3根據(jù)定理4，和引理3的結(jié)論，我們給出相應(yīng)的三層數(shù)字金字塔。

考慮a=12，l=5，n=3，4，5。即，先固定a的取值，通過(guò)計(jì)算，第3層，4層和5層的數(shù)字金字塔如下：

[12]3×[12]5=146923636348944

[12]4×[12]5=14692378180348944

[12]5×[12]5=1469237832580348944

例4根據(jù)定理4,和引理3的結(jié)論，我們給出相應(yīng)的三層數(shù)字金字塔。

考慮a=101，l=5，n=3，4，5。即，先固定a的取值，通過(guò)計(jì)算，第3層，4層和5層的數(shù)字金字塔如下：

[101]3×[101]5=10221432633633623412201

[101]4×[101]5=10221432643844834623412201

[101]5×[101]5=10221432643855045834623412201