高中數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化與化歸思想

廣西 黃漢羨

轉(zhuǎn)化與化歸思想方法是數(shù)學(xué)中最基本的思想方法，數(shù)學(xué)中一切問題的解決都離不開轉(zhuǎn)化與化歸，如數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)了數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；函數(shù)與方程思想體現(xiàn)了函數(shù)、方程、不等式之間的互相轉(zhuǎn)化；分類討論思想體現(xiàn)局部與整體的互相轉(zhuǎn)化.各種變換方法，分析法、反證法、待定系數(shù)法、構(gòu)造法等也是轉(zhuǎn)化的手段.本篇文章主要通過幾個(gè)實(shí)例，談?wù)劯咧袛?shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化與化歸思想.

一、轉(zhuǎn)化與化歸思想方法

1.什么是轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想？

可以簡單地說，轉(zhuǎn)化就是把一個(gè)問題變?yōu)榱硪粋€(gè)問題，化歸就是把一個(gè)陌生問題變?yōu)橐粋€(gè)熟悉的問題，用數(shù)學(xué)語言來說就是把未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題、化一般問題為特殊問題、化抽象問題為具體問題.其實(shí)，化歸思想就是一種轉(zhuǎn)化思想，因此，我們數(shù)學(xué)上，就把轉(zhuǎn)化和化歸作為一種數(shù)學(xué)思想方法——轉(zhuǎn)化與化歸思想.

2.轉(zhuǎn)化與化歸思想的基本類型

(1)正與反的轉(zhuǎn)化；

(2)一般與特殊的轉(zhuǎn)化；

(3)常量與變量的轉(zhuǎn)化；

(4)數(shù)形之間的轉(zhuǎn)化；

(5)數(shù)學(xué)各個(gè)分科之間的轉(zhuǎn)化；

(6)相等與不等的轉(zhuǎn)化；

(7)實(shí)際問題與數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)化.

二、轉(zhuǎn)化與化歸思想在高中數(shù)學(xué)解題中的主要應(yīng)用

1.一般與特殊的轉(zhuǎn)化

解題思路：這個(gè)數(shù)列是陌生的數(shù)列，通過分析我們發(fā)現(xiàn)能夠化歸為我們所熟悉的等差數(shù)列.

所以我們?cè)谔幚砟吧臄?shù)列時(shí)，經(jīng)常通過一定的變形，轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的等差數(shù)列或等比數(shù)列.

2.常量與變量的轉(zhuǎn)化

【案例2】設(shè)f(x)是定義在R上的單調(diào)遞增函數(shù),若f(1-ax-x2)≤f(2-a)對(duì)任意a∈[-1,1]恒成立,則x的取值范圍為 .

解題思路：f(x)是定義在R上的單調(diào)遞增函數(shù)，

且f(1-ax-x2)≤f(2-a)→1-ax-x2≤2-a,

其中a∈[-1,1]→a(x-1)+x2+1≥0

對(duì)任意a∈[-1,1]恒成立→令g(a)=(x-1)a+x2+1

函數(shù)就轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的一次

解：∵f(x)在R上是增函數(shù)，

∴由f(1-ax-x2)≤f(2-a)，可得1-ax-x2≤2-a,a∈[-1,1]，

即?a∈[-1,1],a(x-1)+x2+1≥0恒成立.

解得x≤-1或x≥0.所以實(shí)數(shù)x的取值范圍為x≤-1 或x≥0.

由此可見，在處理多變量的數(shù)學(xué)問題時(shí),當(dāng)常量(或參數(shù))在某一范圍取值,求變量x的范圍時(shí),經(jīng)常進(jìn)行常量與變量之間角色的轉(zhuǎn)化,即可以選取其中的常量(或參數(shù)),把它看作是變量,而把變量看作是常量,從而達(dá)到簡化運(yùn)算的目的.案例2就是把a(bǔ)看作變量而把x看作常量，函數(shù)就轉(zhuǎn)化為我們比較熟悉的一次函數(shù).

3.換元法

【案例3】求函數(shù)y=(1-2sinx)(1-2cosx)的最小值．

解：由y=(1-2sinx)(1-2cosx)得y=1-2(sinx+cosx)+4sinxcosx,

由t2=(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx,

通過換元法把三角函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的二次函數(shù)的最值問題，從而使問題得以解決.換元法是將一個(gè)復(fù)雜的或陌生的函數(shù)、方程、不等式轉(zhuǎn)化為簡單的或熟悉的函數(shù)、方程、不等式的一種重要的方法，是轉(zhuǎn)化與化歸思想的具體體現(xiàn).

4.命題的等價(jià)轉(zhuǎn)化

( )

解題思路：該題是解析幾何與概率的綜合題目.

過點(diǎn)A(1，1)可以作兩條直線與圓

在該圓外

解得k<-4或-1

又k∈[-2,2]， 所以-1

在應(yīng)用化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法去解決數(shù)學(xué)問題時(shí),沒有一個(gè)統(tǒng)一的模式,它可以在數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與形之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換.在解題過程中進(jìn)行化歸與轉(zhuǎn)化時(shí),要遵循以下五項(xiàng)基本原則:(1)化繁為簡的原則;(2)化生為熟的原則;(3)等價(jià)性原則;(4)正難則反的原則;(5)形象具體化原則.

5.函數(shù)與方程轉(zhuǎn)化

【案例5】方程sinx=lgx的解有

( )

A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)

與函數(shù)y=lgx圖象

交點(diǎn)的個(gè)數(shù)

解：畫出函數(shù)y=sinx與y=lgx的圖象如圖，

由圖象可知共有三個(gè)交點(diǎn)，故選C.

本題是先把方程的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，再運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化為求函數(shù)圖象交點(diǎn)問題，尋求幾何性質(zhì)與代數(shù)方程之間的內(nèi)在聯(lián)系.

函數(shù)、方程與不等式三者之間存在著密不可分的聯(lián)系,解決方程、不等式的問題，需要函數(shù)幫助,解決函數(shù)的問題需要方程、不等式的幫助,因此借助于函數(shù)、方程、不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸可以將問題化繁為簡,常常將不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題;將證明不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性與最值問題;將方程的求解問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問題、兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題等.

三、怎樣培養(yǎng)學(xué)生化歸思想

1.充分挖掘課本

課本不僅是學(xué)習(xí)知識(shí)的主要信息來源，同時(shí)也是學(xué)習(xí)和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的戰(zhàn)場，是開發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的有效工具．教師應(yīng)該深入的對(duì)課本進(jìn)行分析，挖掘出課本中的數(shù)學(xué)思想方法，有意識(shí)的在課堂教學(xué)中對(duì)學(xué)生進(jìn)行培養(yǎng)訓(xùn)練,從而達(dá)到提高學(xué)生綜合素質(zhì)的能力．

2.加強(qiáng)變式訓(xùn)練

在課堂教學(xué)的過程中教師應(yīng)該有意識(shí)的增加變式訓(xùn)練，加強(qiáng)變式練習(xí)能夠讓化歸思路更加清晰，讓學(xué)生能夠正確選擇轉(zhuǎn)化與化歸的方向.

3.堅(jiān)持一題多解

問題是數(shù)學(xué)的心臟，大部分的數(shù)學(xué)問題都能夠運(yùn)用思維方法來解決，數(shù)學(xué)問題的解決方法與思路是多樣化的．一題多解能夠讓我們從各種角度來看待問題，從不同的思考方向?qū)ο嗤膯栴}予以化歸．在數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)中，堅(jiān)持一題多解，能夠幫助我們打開思路，提高轉(zhuǎn)化與化歸能力.

四、結(jié)束語