“變教為學”需要珍惜學生提出的問題

郜舒竹

編者按

在“變教為學”的課堂教學實踐中，學生的積極性被充分調(diào)動起來后，就會生成各式各樣的問題。這些問題的答案往往超出教師的知識范圍，也就是教師難以回答的問題。教學中面對學生的問題，切忌急于回答。有效的應對方式是首先鼓勵學生，而后記錄下來，與學生共同思考研究。把學生課堂中生成的問題作為教師教學的資源。

在“變教為學”的教學實踐中，經(jīng)常會有學生提出各式各樣的問題。有些問題表面看與本節(jié)課的數(shù)學內(nèi)容無關，因此常常被教師認為是“沒有意義的問題”而被忽略。事實上，應當相信學生提出的任何問題都是因為頭腦中思考的某種不順暢而導致的，這樣的問題不僅應當被視為是合理的，而且應當成為教學研究的素材。

比如數(shù)學運算中的“加”與“減”，在數(shù)學中表達運算過程的含義與日常用語的含義基本是一致的，但對于乘法運算中的“乘”，學生熟悉的含義可能是“乘車”“乘風破浪”等等，而在數(shù)學中表達的是“相同加數(shù)求和”，這兩個含義似乎風馬牛不相及。這時自然就會產(chǎn)生“為什么用‘乘’表示相同加數(shù)求和呢？”這樣的問題。諸如此類的問題表面看與數(shù)學計算無關，但其中蘊含著豐富的歷史、語言文字方面的知識，都體現(xiàn)了數(shù)學知識的文化特征。比如考察“乘”的歷史演變，可以發(fā)現(xiàn)其最初的含義是“人在樹上”，有“升高”的意思。這個意思就與乘法所說的“相同加數(shù)求和”可以溝通聯(lián)系了。因此這樣的問題不僅不應當忽略，而且應當融入到數(shù)學的教學過程中。下面通過對一些學生提出的問題的研究，進一步說明這一點。

一、“幾何”與“方程”究竟何義？

“幾何”一詞是明代學者徐光啟（1562—1633）在與意大利傳教士利瑪竇（Matteo Ricci，1552—1610）合作翻譯古希臘歐幾里得的《原本》的時候首次使用的。關于徐光啟選用這個詞的原因，經(jīng)過考證主要有兩種觀點，第一種認為是在翻譯《原本》中“Geometry”這一英文單詞時考慮了兩方面因素，其一是這個詞匯具有“測量地球”的意思，而測量的過程實際上就是想知道“多少”的問題，古漢語中“多少”通常用“幾何”這個詞匯來表達，這是意譯;其二是英文單詞的前綴“Geo”的發(fā)音接近漢字“幾”的發(fā)音，所以“幾何”是意譯和音譯兼容的翻譯。[1]另一種觀點認為“幾何”是對“Magnitude”這一英文單詞的意譯。[2]“Magnitude”是“量”的意思，而研究量其實關心的就是“多少”，所以用“幾何”。兩種觀點的共同之處就是“幾何”與測量以及數(shù)量的多少直接相關。姑且不論哪一種觀點是正確的，這些內(nèi)容起碼包含了語言及其文化方面的知識，這些知識對于數(shù)學學習都是很重要的。

“方程”這一數(shù)學術(shù)語與“幾何”不同，并非外來語的翻譯，而是由我國古人命名并沿用至今的。由于時間久遠，其一般意義與數(shù)學意義的聯(lián)系已經(jīng)不明顯了。就是說從“方程”的字面上很難聯(lián)想出其“含有未知數(shù)的等式”這一數(shù)學意義。在古漢語中“程”最初是一種度量單位，后來引申有度量的意思。比如，“程者，權(quán)衡丈尺斛斗之平法”[3]的說法，就把“程”理解為各種不同大小的計量工具之間如何平衡（其實就是互相轉(zhuǎn)化）的方法。這樣的理解在許多詞匯中都有所體現(xiàn)，比如“路程”就是度量所走路的結(jié)果。按迄今的考證，“方程”一詞在我國數(shù)學文獻中使用最早的是《九章算術(shù)》第八章。劉徽在其注釋本中對方程的解釋為：“群物總雜，各列有數(shù)，總言其實，另每行為率，二物者再程，三物者三程，皆如物數(shù)程之，并列為行，故謂之方程?！盵4]這句話的大意是說，多個未知數(shù)的時候，就需要分別排列出來共同考慮。兩個未知數(shù)排兩行，三個未知數(shù)排三行，有幾個未知數(shù)就排幾行，有行有列，所以叫作方程。其中“方”指的是排列出來的形狀，“程”就是度量方法的意思。這實際上就是現(xiàn)在數(shù)學中的線性方程組。在《九章算術(shù)·音義》中對“方程”的解釋為：“方者，左右也。程者，課率也。左右課率，總統(tǒng)群物，故曰方程。”[5]這句話的意思是說給未知量配上相應的系數(shù)，使得左右相等就是方程。其中的“方”是左右，“課率”用現(xiàn)在的語言說就是配上系數(shù)。 這樣的解釋與現(xiàn)在所說的“含有未知數(shù)的等式”十分接近。

二、加法的結(jié)果為什么是“和”，而不是“合”？

數(shù)學術(shù)語是前人命名或者翻譯，經(jīng)過長時間歷史沿革沿用至今的。由于文字本身含義的逐步變遷，原始的含義發(fā)生了變化。比如，為什么加法的結(jié)果用“和”而不是“合”？按照一般的理解，似乎“合”更為恰當。按照何金松所著《漢字文化解讀》的解釋，[6] “和”最初的意思是樹上的小鳥此唱彼和的場景，后來引申為很多人演唱或演奏時樂音的諧和，所謂樂音的諧和是多種聲音聽起來就像一個聲音。由此可以推斷“和”是“兩個或多個在一起就像一個”的意思。比如日常生活中所說的“和面（音：huó miàn）”，其意義就是面粉和水融為一體。中國傳統(tǒng)的娛樂項目“打麻將”中的“和牌（音：hú pái）”是把零散的牌融為一個互相關聯(lián)的整體。這顯然與數(shù)學中加法的意思相吻合。而“合”字起初的意思是“關閉”，后來引申為“聚集”，才有了現(xiàn)在聯(lián)合的意思。

三、為什么一定要把“6÷2”讀作“6除以2”？

按照《現(xiàn)代漢語詞典》的解釋，“除”字的一般意義有“去掉”或“減少”的意思，又可以引申為“分”的意思。[7]如果把除法運算理解為“逐步減少”，就與乘法的“逐漸升高”相對應為互逆關系，也就是數(shù)學中所說的“互逆運算”了。至于為什么要把“6÷2”讀作“6除以2”，或“2除6”，而不能讀作“6除2”，其實是古漢語中倒裝的習慣，所謂“6除以2”，用現(xiàn)在習慣的讀法應當是“以2除6”。“2除6”實際上是省略了“以”，也是“以2除6”，都是用2去分6的意思。類似的例子還有分數(shù)的讀法，讀作“三分之二”實際上是“分三之二”，“之”在古漢語中有“的”意思，所以“分三之二”就是“分為三份中的兩份”，與分數(shù)的意義基本上是一致的。

類似的問題還有，除法的結(jié)果為什么叫作“商”？一般意義下這個字往往與“商量”“經(jīng)商”這些用語的意思聯(lián)系在一起。我國古代有一種計時儀器，叫作漏壺，也叫作漏刻。壺內(nèi)有一浮標部件，上面刻有刻度，隨水浮沉，稱為漏箭。人們只需察看漏箭外表所顯露的刻度，便可掌握壺內(nèi)水位的高低，從而知道當下的時辰。我國古代字書《正字通·口部》對“商”有這樣的解釋：“商乃漏箭所刻之處”。[8]由此看出，“商”在古代表示計時工具漏刻中的刻度。刻度實際上就是確定標準，也就是指明“一”，以便于測量“幾”。所謂“商量”，其實就是先確定“商”，然后“量（音：liáng）”。小學數(shù)學中整數(shù)的“等分除法”實際上就是“已知幾倍是多少，求一倍”。這樣就溝通了“商”的一般意義與數(shù)學意義之間的聯(lián)系。

四、“小數(shù)”是很小的數(shù)嗎？

“小數(shù)”并不是指很小的數(shù)。在十三經(jīng)之一的《禮記·內(nèi)則第十二》中有這樣的記載：“億之數(shù)有大小二法，其小數(shù)以十為等，十萬為億，十億為兆也。其大數(shù)以萬為等，萬至萬，是萬萬為億，又從億而數(shù)至萬億曰兆。”[9]大意是說，有大小兩種方法得到“億”和“兆”，一種是用小數(shù)十，那么十萬就是億，十億就是兆。另一種是用大數(shù)萬，那么萬萬就是億，萬億就是兆。這里的“小數(shù)”和“大數(shù)”指的都是我們現(xiàn)在所說的進率。因此，“小數(shù)”實際上是“小率”，也就是“進率小于1”的數(shù)。在十進制的小數(shù)體系中，這個進率就是。

五、“正比例”和“反比例”是比例嗎？

“正比例”和“反比例”分別用“正”和“反”來限定“比例”。那么正比例和反比例是不是比例？首先來看“比例”的含義，這個詞匯并不是用“比”限定“例”。《說文解字·人部》對“例”字的解釋為：“例，比也”，[10]這說明“比例”實際上是兩個字義相同的字組合而成的，隱喻的數(shù)學意義是“兩個比相同”。所以“比例”這個數(shù)學術(shù)語指稱的數(shù)學對象是兩個比的相等關系，比如“1：2=2：4”就是一個比例。這種比例在19世紀的歐洲叫作“幾何比例（Geometrical Proportion）”。當時，還有一種比例叫作“算術(shù)比例（Arithmetical Proportion）”，[11]表達的是兩個“差”相等的關系，比如“19-7=127-115”就是一個算術(shù)比例。算術(shù)比例的一個重要性質(zhì)就是，如果把符合算術(shù)比例的四個數(shù)按順序?qū)懗鰜恚?9，7，127，115。那么首尾兩個數(shù)的和與中間兩個數(shù)的和相等，也就是19+115=7+127這個性質(zhì)與幾何比例中“內(nèi)項積等于外項積”的性質(zhì)非常類似。正比例和反比例與比例是不是屬種關系？也就是說正比例和反比例是不是特殊的比例？數(shù)學教科書中把“正比例”定義為兩個量的比值是固定不變的數(shù)，則稱這兩個量成正比例;如果兩個量的乘積為固定不變的數(shù)，那么這兩個量成反比例。從定義來看，正比例和反比例這兩個數(shù)學術(shù)語所指稱的數(shù)學對象是“兩個量之間的關系”，而不是兩個“比”之間的關系。因此應當說正比例和反比例都不是比例。“正”與“反”對比例的限定，使得比例這一數(shù)學術(shù)語的語義發(fā)生了變化。盡管如此，正比例、反比例和比例還是有著密切關系的。

古時算術(shù)中正比例和反比例的含義與現(xiàn)在不同。首先有“正比”和“反比”的概念，如果把“a：b”視為正比，那么“b：a”或者“：”就是反比。這里反比中的“反”相對于“正”有兩種含義，第一種是比的前項和后項交換位置，比如把正比“a：b”改為“b：a”變?yōu)榉幢龋@種反比對應的英文是“Inverse Ratio”;第二種是對比的前項和后項取倒數(shù)，順序不變。比如把正比“a：b”改為“：”也成為反比，對應的英文是“Reciprocal Ratio”。一個非常有趣的性質(zhì)是，如果對一個正比分別按以上兩種方式連續(xù)取反比，比值是不變的，用符號表示就是：

a：b=：

這樣就可以延伸出當時正比例和反比例的概念。如果把“a：b=c：d”叫作正比例，那么就把“a：b=：”叫作反比例。英文中“反比例”有兩種說法，一種是“Inverse Proportion”，另一種是“Reciprocal Proportion”。其中前者是比例的前項和后項交換位置的意思，后者是取倒數(shù)的意思。在晚清時期的一本《師范講習社師范講義》中還可以看到下面的例證。[12]（見圖1）

圖1 晚清師范講義圖

（當時連接兩個比不用現(xiàn)在的等號“=”，而是四個點“：：”）

由此看出，正比例和反比例起初是一對相關的概念。之所以有正比例的用語，是因為存在與它比值相等的反比例。無論是正比例還是反比例，都是特殊的比例，與現(xiàn)在的意義不一樣了。

六、“函數(shù)”是數(shù)嗎？

“函數(shù)”一詞，表面看是用“函”限定“數(shù)”。但其數(shù)學意義并不是指稱數(shù)，也不是對數(shù)的限定。這一詞匯是清代學者李善蘭（1811-1882）在1859年翻譯Augustus Demorgan所著的《代數(shù)學原理》（The Elements of Algebra）一書時，首次使用的數(shù)學術(shù)語。原書中“Function”一詞的解釋為：“以任何方式包含x的表達式都是x的函數(shù)，所以和都是x的函數(shù)。（Any expression which contains x in any way is called a function of x. Thus， andare functions of x.）”[13]。李善蘭把 “Function”翻譯為“函數(shù)”，解釋為“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)?！盵14]這一解釋更接近李善蘭翻譯的另一本名為《代微積拾級》（Elements of Analytical Geometry and of the Differential and Integral Calculus）的書中對“Function”的定義：“當一個變量等于一個包含另一個變量的表達式的時候，第一個變量就叫作第二個變量的函數(shù)。（One variable is said to be a function of another variable， when the first is equal to a certain algebraic expression containing the second.）”[15]綜上可以看出，李善蘭用“函數(shù)”這個詞匯的用意，其中的“數(shù)”是“變數(shù)”，也就是現(xiàn)在所說的“變量”，而“函”是包含的意思。二者組合在一起叫作“函數(shù)”，表達的就是“變量包含變量”的關系，比如“a+x”是一個變量，包含著變量“x”，那么“a+x”就是 “x”的函數(shù)。所以“函數(shù)”指稱的不是數(shù)，而是變量之間的包含關系，與當時人們對“函數(shù)”的認識是吻合的?，F(xiàn)在數(shù)學中對函數(shù)的理解事實上已經(jīng)發(fā)生了變化，是集合與集合之間的“對應”關系，而不僅僅是變量之間的“包含”關系。

按照通常的認識，數(shù)學屬于科學，強調(diào)真理性和邏輯性。而語文屬于人文學科，更強調(diào)“人”的因素。人文學科的知識一般具有規(guī)定性和可變性的特征。所謂規(guī)定性，體現(xiàn)的是人的主觀意志占主導地位，一旦為多數(shù)人所認可，就成為約定俗成的知識了。所謂可變性，指的是隨著人們對事物認識的不斷變化，這種約定俗成的知識也會發(fā)生變化。比如前面論及的“幾何”這一詞匯，在如今的數(shù)學課程標準中就變成了“空間與圖形”?，F(xiàn)在所使用的“質(zhì)數(shù)”，過去曾經(jīng)是“數(shù)根”。莫紹揆先生曾經(jīng)建議分數(shù)的讀法應當改變，[16]比如應當讀作“五分以六”，這樣更符合人自左至右、自上而下的閱讀習慣，而且與除法算式的讀法相一致。

應當相信，學生學習過程中所產(chǎn)生的問題都是有價值的，而且是有意義的，這些問題的研究應當成為新的課程資源的源泉。因此在“變教為學”的教學中，教師應當鼓勵任何學生提出任何問題，珍惜任何學生提出的任何問題，認真研究任何學生提出的任何問題。

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[16] 莫紹揆. 試論初等數(shù)學符號的改進[J]. 數(shù)學通報， 2000.12.

（首都師范大學初等教育學院 ?100048）