從德雷克方程看費米悖論

陳厚尊

德雷克方程，又叫薩根公式，是著名的美國天文學(xué)家弗蘭克·德雷克（Frank Drake）于20世紀(jì)60年代在綠岸鎮(zhèn)提出的一個用以估計銀河系內(nèi)可能與我們接觸的高等智慧文明數(shù)目的公式。后來，康奈爾大學(xué)的天文學(xué)家卡爾·薩根（Carl Sagan）也在自己的著作中研究了此方程。這在某種程度上提升了德雷克方程在民眾間的知名度。最初版本的德雷克方程是如下形式的六個因子的乘積：

g=Gfpneflfifc

其中g(shù)是我們感興趣的，它是高等智慧文明的“平均產(chǎn)生率”，代表了每年銀河系誕生的文明數(shù)目;G是銀河系的恒星形成率;fp是擁有行星的恒星比例;ne是每顆恒星周圍可能具有的類地行星的數(shù)量;fl是類地行星上有生物的比例;fi是生物進化為智慧文明的比例;fc是智慧文明中具備向外發(fā)送信息能力（比如無線電通信）的比例。值得注意的是，這些因子是按照人們對其認知的深度依次排列的。G是天文學(xué)家最了解的一項。銀河系的恒星形成率為每年1倍至2倍太陽質(zhì)量。依照新生恒星的質(zhì)量不同，相應(yīng)的G值為1～7。fp因子在德雷克的時代尚沒有很好的估計，進入21世紀(jì)以來，隨著開普勒衛(wèi)星的升空，一大批新的系外行星被發(fā)現(xiàn)，據(jù)此給出的fp在0.05～0.2之間。接下來，ne大小的估計目前存在很大問題，因為一顆行星能否被判定為類地行星取決于多方面的因素。以太陽系為例，你可以認為只有1顆類地行星（地球），也可以認為有3顆（金星、地球、火星），這取決于你的標(biāo)準(zhǔn)。標(biāo)準(zhǔn)越嚴苛，限制因素也越多，ne的值就越小，比如行星的軌道偏心率、行星的理想質(zhì)量、是否有大個的天然衛(wèi)星、是否有巨行星幫忙清空小天體、理想的黃赤交角……類似的標(biāo)準(zhǔn)要多少有多少。至于后面3個因子，人們對其知之甚少，不同的人從不同角度出發(fā)，給出的估計相差甚遠。更糟糕的是，單看后面的4個因子，每一個似乎都是個“迷你版”的德雷克方程，對它們的解讀和估計引發(fā)了許多爭議。這在某種程度上削弱了德雷克方程的科學(xué)價值。面對質(zhì)疑，德雷克辯解說這個方程的意義在于“將我們的無知條理化”。但是我們注意到，德雷克方程成立的前提是各因子在統(tǒng)計學(xué)上彼此獨立，互不相干。而這不太符合實際情況。舉例而言，一些星暴星系（Starburst Galaxy）可以有很高的恒星形成率G（數(shù)百倍于銀河系），導(dǎo)致高能射線充斥星系內(nèi)部，從而顯著降低ne或者fl因子的值。

但是在筆者看來，德雷克方程的科學(xué)價值不僅限于其數(shù)學(xué)形式，更在于它提出了一個“智慧文明平均產(chǎn)生率g”的統(tǒng)計學(xué)概念。將g乘以智慧文明的平均壽命L，可以得到任意時刻銀河系的智慧文明數(shù)目N。而N的估計值與所謂的費米悖論（Fermi Paradox）有關(guān)。后者指出，假如銀河系智慧文明的數(shù)目N足夠大，那么以銀河系如此古老的年齡，足夠這些文明擴張到星系的每個角落。然而事實并非如此。20世紀(jì)上馬的一系列地外文明搜尋項目（例如SETI）無一例外都證實了我們在宇宙中是孤獨的。這說明銀河系的智慧文明數(shù)目N比原先預(yù)想的要少。根據(jù)德雷克方程，這說明要么智慧文明的平均壽命L很短，要么銀河系的文明產(chǎn)生率g很低，或者二者兼有。有一個被稱為大篩子（the Great Filter）的假說就專注于研究德雷克方程中的小量因子問題。這個假說認為，假如g是個小量，那么L有可能不是小量，也就是說人類文明的前途可以是光明的;反之，假如g不是小量，那么L一定是小量，人類文明的前途必定堪憂。

假如我們明天就收到了外星人回復(fù)我們的問候信息，我們會相當(dāng)確信他們來自55光年以內(nèi)，因為人類使用無線電的歷史只有110年。所以，如果我們收到了外星人的信號，說明他們意識到了我們的存在，并很快回復(fù)了信息。另一方面，并沒有理由認為地球在銀河系里的位置有多特殊，所以，這意味著我們星系的智慧文明密度大致為55光年3的范圍內(nèi)有一個。換算到銀河系的尺度（可以將銀河系視作一個半徑5萬光年，高1000光年的扁平圓柱體），差不多有6000萬個智慧文明。這數(shù)字看起來令人難以置信，但假如明天一早我們真的收到了外星人的問候信息，這個結(jié)論就是可靠的。不過，即使是最樂觀的估計，德雷克方程中的N的上限也遠遠達不到千萬量級。這差不多就解釋了為何到今天我們?nèi)詻]有與外星文明建立友好關(guān)系。

美國天體物理學(xué)家弗蘭克· 德雷克。他是2 0 世紀(jì)6 0 年代阿雷西博天文臺擴建計劃的發(fā)起人，也是1 9 7 4 年著名的“阿雷西博信息”的創(chuàng)造者。

類似的分析促使我們站在一個更加理性、更加簡明的角度來審視德雷克方程與費米悖論的關(guān)系。簡單總結(jié)一下就是，某一時刻銀河系內(nèi)發(fā)生智慧文明間的交流事件需滿足兩大基本條件：第一，N的值要大于2，這一條不言而喻，因為銀河系中至少要有另一個文明陪我們聊天才行;第二，智慧文明間一次對話所需的時間要比智慧文明的平均壽命L短，否則交流尚未完成，就有一個文明先行滅亡了。除此以外，或許你還能想到其他什么限定條件。不可否認的是，從平均的角度而言，以上兩個條件的確是人類與外星人建立交流的必要不充分條件。

我們先來看一號條件。該條件限定了銀河系智慧文明的產(chǎn)生率g與智慧文明的平均壽命L之間至少應(yīng)該滿足一個反比例關(guān)系，也就是說，g很小的時候L應(yīng)該很大，g變大的時候L應(yīng)該減小。這與我們的直覺是相符的。二號條件要稍微復(fù)雜些，但是經(jīng)過一番初等的數(shù)學(xué)推導(dǎo)不難看出，g應(yīng)該與L的立方成反比例關(guān)系（此處筆者建議有興趣的讀者親自動筆算一算，可以假設(shè)銀河系是個扁平的圓盤）。這是個十分有趣的結(jié)論：假如g非常小，那么L就會很大，L的立方就更大。此時，二號條件是容易被滿足的，相對重要的是一號條件。反之，如果g比較大，L就可以變小，L的立方減小更快，此時二號條件開始變得重要起來，一號條件則相對容易被滿足。這兩種情況發(fā)生轉(zhuǎn)換的時候稱為臨界點，也就是一號條件與二號條件同等重要的時候，此時對應(yīng)的g約為0.000 03，十萬分之三，也就是銀河系中平均每10萬年產(chǎn)生3個智慧文明，相應(yīng)的L值約為65 000年。換句話說，如果銀河系的g值大于十萬分之三，那么二號條件占主導(dǎo);如果g小于十萬分之三，則一號條件占主導(dǎo)。另一方面，通過分析前面的德雷克方程，我們知道了g的數(shù)值存在一個上限，即銀河系的恒星形成率G與擁有行星的恒星比例因子fp的乘積。據(jù)此我們斷定，若要銀河系的智慧文明間能夠接觸到彼此，文明的平均壽命L必須存在一個下限，這個下限可以通過將g的上限值1.4代入二號條件算得。

美國天文學(xué)家、科幻小說作家卡爾·薩根。他是天體生物學(xué)領(lǐng)域的先驅(qū)， 也是著名的地外智慧生物搜尋項目（ S E T I ）的創(chuàng)始人之一。他的科幻小說《接觸》曾獲得1 9 9 8 年度的雨果獎。

L的下限約為2000年。

這是個非常重要的結(jié)論，通俗一點的解釋就是，若要銀河系的智慧文明發(fā)生星際接觸，其各自的壽命必須大于2000年，否則它們會有很大的概率錯過彼此。讓我打個比方來幫助讀者理解上面的結(jié)論。設(shè)想你的周圍是一片伸手不見五指的黑暗，這黑暗濃稠而壓抑，在空間和時間上都無限延展。自然和自然的定律都隱沒于黑暗中，無人問津。忽然，一點微弱的智慧熒光浮現(xiàn)出來，像一只螢火蟲那樣，亮了一會兒便熄滅了。接著是第二點熒光，第三點熒光……它們都只是亮一會兒就滅了。假設(shè)你也是一只能短暫發(fā)光的螢火蟲，飛蛾撲火般燃燒自己，憑著一次微弱的閃光，給無盡的黑暗拍了一張照片。照片上可能有其他螢火蟲留下的痕跡，也可能什么都沒有。如果你周圍的螢火蟲足夠多，或者每只螢火蟲發(fā)光的時間足夠長，都會更容易被你拍到。但是，考慮到光速是有限的，每只螢火蟲的發(fā)光時間不能少于某個下限，否則再多的螢火蟲也難在底片上留下痕跡。在這個比喻下，銀河系的智慧文明就像這些螢火蟲一樣，是無盡黑暗中的一些小光點。

于是，問題的關(guān)鍵就從文明的產(chǎn)生率g轉(zhuǎn)移到了平均壽命L上來。這里應(yīng)當(dāng)先澄清一點：從宇宙的角度看，一個文明的壽命應(yīng)當(dāng)從其掌握了星際交流技術(shù)的時刻算起。從這個意義上講，人類文明的誕生標(biāo)志應(yīng)當(dāng)是馬可尼發(fā)明無線電技術(shù)——至今不過百余年。所以我們接下來要關(guān)心的問題變成了：人類文明究竟有多大的可能性存活到1900年后？

估算銀河系智慧文明的平均壽命L，無異于預(yù)言人類文明會何時何地因何滅亡。這是個千古之謎，也是一個令人無從下手的問題。我并不打算從政治、能源或者經(jīng)濟學(xué)入手旁征博引，下筆萬言。那樣做不僅超出了我的能力，也不符合本文的立意。因此，我打算另辟蹊徑，用一種被稱為“自我抽樣假設(shè)”的數(shù)學(xué)原理粗略估計人類文明可能的壽命范圍。

無線電通信技術(shù)的發(fā)明者古列爾莫· 馬可尼， 意大利工程師。1 9 0 1 年， 馬可尼的研究小組第一次實現(xiàn)了跨大西洋的無線電傳輸。1 9 0 9 年獲諾貝爾物理學(xué)獎。

什么是自我抽樣假設(shè)呢？顧名思義，自我抽樣就是在沒有其他樣本的情況下，將自己當(dāng)作一個最普通的樣本，然后用統(tǒng)計學(xué)的手段推己及人，復(fù)原出整體可能具有的性質(zhì)。自我抽樣假設(shè)依據(jù)的原理是哥白尼原理，特別適用于樣本匱乏的情況。本例就是如此。我作為一個典型的人類個體，不可能站在四維時空的角度俯瞰人類文明整體的興衰（那是上帝的事情）。所以，我不妨將過去、現(xiàn)在和未來所有出生過和即將出生的人看成是一列隊伍，那么，我應(yīng)該出現(xiàn)在這列隊伍的什么位置呢？根據(jù)哥白尼原理，既然我是一個最普通的個體，那么我在這列隊伍中的位置應(yīng)該是沒什么偏好的，遵從數(shù)學(xué)上的等概率分布。假設(shè)這列隊伍有100人，那么我斷定我將有90%的可能出現(xiàn)在隊伍的第6名到第95名。根據(jù)人類學(xué)家的估算，地球上已出生的人口約為1000億（不同研究結(jié)果可能會有數(shù)值上的差異，我們這里只關(guān)心數(shù)量級），也就是說，我出現(xiàn)在這列隊伍的第1000億名。于是，只需做一個簡單的除法運算，我就可以斷定這列隊伍的規(guī)模有90%的可能性落在1053億至20000億之間。于是，排在我后面出生的人口數(shù)有90%的可能性落在53億至19 000億之間，換句話說就是，當(dāng)?shù)?0000億個人去世的時候，人類文明有95%的可能性會滅亡。

這是一個多么令人瞠目結(jié)舌的結(jié)論！我們沒有用到任何復(fù)雜的學(xué)科知識，甚至沒有鉆研人類文明發(fā)展的細節(jié)，就直接預(yù)言了它的滅亡概率！自我抽樣假設(shè)的確是一個神奇的假定，它往往能幫助我們擺脫直覺的束縛，揭露問題的本質(zhì)。如果你還心存疑慮，不如回想一下自己：為什么你不是漢朝人，也不是什么銀河帝國的公民，而偏偏出生在“二戰(zhàn)”結(jié)束后世界人口爆炸的時代？為什么你是中國人而不是瑞士人？為什么你是漢族而不是鄂倫春族？這難道是巧合嗎？當(dāng)然，如果你真的是鄂倫春族，自我抽樣假設(shè)也沒有失去價值，因為你可能已經(jīng)注意到，它得出的任何結(jié)論并非百分百可靠，而是有一個成立的概率。

所以接下來，我們只需估算一下1900年內(nèi)會有多少人出生就夠了。這個問題雖然也很困難，但總還是可以做一些保守估計的。第一，假設(shè)人類在未來的1900年內(nèi)都沒能星際殖民，全部龜縮在地球上;第二，假設(shè)人類在未來的1900年內(nèi)發(fā)展的科技沒能顯著提升地球的環(huán)境承載力，全球人口穩(wěn)定在200億左右;第三，假設(shè)人類在未來的1900年內(nèi)沒有發(fā)生大規(guī)模戰(zhàn)爭，也沒有嬰兒潮補充死去的人口，出生率和死亡率都穩(wěn)定在7.5‰左右，以保證人口總數(shù)的穩(wěn)定。據(jù)此三條，可算得未來出生人口總數(shù)差不多是3000億。也就是說，我會落在百人隊伍的第25名。因此，即使是最保守的估計，人類文明也會有75%的可能性在1900年內(nèi)滅亡。換句話說，人類文明的壽命有非常大的可能性低于2000年。此時，我們再用一次自我抽樣假設(shè)，將人類文明作為一個典型樣本，推而廣之得出結(jié)論，銀河系智慧文明的平均壽命L有很大可能是低于2000年的。

所以，當(dāng)人類文明的火焰劃過這漫漫長夜，最終獲得的很可能只是一張純黑的底片。但是，這不能證明我們的宇宙自始至終沒有一絲光明。恩里克·費米的一聲詰問：它們究竟在哪兒？也許10萬年后，另一個轉(zhuǎn)瞬即逝的外星文明中也會有一位同樣偉大的智者，面對獵戶旋臂的方向發(fā)出一聲注定不再有人回應(yīng)的詰問：你們究竟在哪兒？

智慧文明存在的意義究竟是什么？我們終將無法知曉這個問題的答案。