向思維更深處漫溯

楊繪

【摘要】在數(shù)學(xué)教學(xué)中，練習(xí)是不可或缺的部分。如果把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)看作整體“1”，那么練習(xí)無可非議應(yīng)占其中的50%以上。練習(xí)可以達到消化、鞏固數(shù)學(xué)知識，掌握數(shù)學(xué)技能和發(fā)展數(shù)學(xué)思維的作用，也是學(xué)生掌握知識的重要過程。

【關(guān)鍵詞】思維 練習(xí) 舉一反三

仔細審視數(shù)學(xué)教材中的練習(xí)題，不僅有及時鞏固新知，幫助內(nèi)化的部分，適時地還穿插了一部分有很大提升空間的練習(xí)題，讓學(xué)有余力的學(xué)生思考。而作為數(shù)學(xué)教師的我們，不僅可以通過練習(xí)獲得學(xué)生學(xué)習(xí)的信息，而且可以有效利用好練習(xí)題，幫助學(xué)生思維發(fā)展與深化，現(xiàn)結(jié)合教學(xué)實例具體加以闡述。

一、舉一反三——給思維“增溫”

數(shù)學(xué)教材中的練習(xí)題，很多時候只是給我們提供了一些范例，如何從這些范例中找到相應(yīng)的思維點，給學(xué)生更廣闊的思維空間，這需要教師對知識進行“舉一反三”的重組，從而讓學(xué)生在步步緊逼的思維進程中感悟和收獲。

【案例：蘇教版數(shù)學(xué)三年級下冊《長方形和正方形》】

在學(xué)習(xí)長方形和正方形的知識后，一般會安排如下的練習(xí)題，讓學(xué)生體悟面積和周長之間的“變”與“不變”。

1.體會“等”與“不等”，讓思維“保溫”

生：這兩塊地的面積不相等，但是周長相等。

追問：你是怎樣知道的呢？

生1：從圖上可以看出一塊地大，一塊地小，所以面積不相等。

生2：我也從圖上看到，蘿卜地的周長是長方形的一條長加一條寬，再加中間一條曲線，白菜地的周長也是一條長和一條寬再加中間一條曲線。所以它們的周長相等。

一些學(xué)生聽后點頭表示同意，還有一些學(xué)生則有些茫然。

于是，教師把菜地圖案抽象成下面的圖形：

師：你能分別指一指蘿卜地和白菜地的周長嗎？

這道練習(xí)題通過比較長方形土地中兩塊菜地的周長和面積，讓學(xué)生進一步深化對周長、面積意義的理解。練習(xí)中，大部分學(xué)生都能從圖上直觀地看出蘿卜地的面積大一些。但是，對于兩塊地的周長的比較存在一些困難。讓學(xué)生在直觀圖上指一指兩塊地的周長后，學(xué)生很自然地明確了兩塊地的周長相等。

2.體會“變”與“不變”，給思維“加溫”

如果教學(xué)只單純停留于上一階段的學(xué)習(xí)，那么所獲得的知識以及學(xué)生思維水平只是淺顯和低層次的。為了拓展對周長、面積的認識，可繼續(xù)往下走：

師：這種情況下，兩塊地的周長和面積又有什么關(guān)系？

生：兩塊地的周長相等，面積也相等。

師：你是怎樣想的？

生：這兩塊地的面積都是長方形面積的一半，所以相等。它們的周長都是一條長和一條寬還有一條直線。

師：這兩幅圖有什么不同？

生：只是中間的那條線變了，其他都沒發(fā)生改變。

師：是的，這條線起到了重要的作用，因為它的位置不同，引起了兩塊地面積的變化。但是兩塊地的周長都是長方形的一條長、一條寬和這條線，所以周長相等。

師：請你想一想，怎樣畫中間這條線段，就能讓兩塊地的面積不相等，周長也不相等？

學(xué)生看著黑板上已有的兩幅圖陷入了思考……漸漸地有人舉起了手。

師：大家可以在本子上試著畫一畫。

師：請你來向大家介紹一下。

生：在這張圖中，蘿卜地的周長大。因為蘿卜地從白菜地那里霸占了一小段過去。

大家都會意地笑了，“霸占”用得真好。

我繼續(xù)追問：蘿卜地霸占了哪一段呢？你能在圖上指一指嗎？

學(xué)生輕而易舉地找出了被霸占的那一段，也就理解了為什么蘿卜地的周長更長了。

對于一題多變的拓展練習(xí)，學(xué)生運用畫圖的策略展開了生動而深刻的數(shù)學(xué)思考，教師引導(dǎo)學(xué)生進行對比，分析習(xí)題中知識和方法中存在的內(nèi)在聯(lián)系，有效地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思考力。

充分利用教材中的練習(xí)題進行“舉一反三”，讓學(xué)生的思維不僅僅局限于基本習(xí)題，而且能從一題延伸到相關(guān)類型題目的解答方法，促使學(xué)生的思維不斷深入，加深對所學(xué)知識的理解，培養(yǎng)良好的思維品質(zhì)。

二、兩種教法——給思維“設(shè)疑”

蘇霍姆林斯基說過：“能夠把少年‘拴在你的思路上，引著他們通過一個個階梯走向知識，這是教育技巧的一個重要特征。”練習(xí)課教學(xué)往往是對新知的延續(xù)和補充，對學(xué)生來說缺乏足夠的吸引力。課堂上，教師如果能嘗試不同教學(xué)方法，以此吸引學(xué)生的注意力，激活思維，相信一定會有不一樣的收獲。

【案例：蘇教版數(shù)學(xué)五年級下冊《分數(shù)的意義和性質(zhì)》】

約分。

【片段一】

提問：觀察這些分數(shù)，在約分時有沒有小技巧。

學(xué)生沉默了，過了一段時間，有個別學(xué)生舉手發(fā)言。

【片段二】

師：同學(xué)們已經(jīng)會約分了，下面我們就來個三分鐘約分比賽。

追問：觀察一組分子和分母有什么特征，約分有什么技巧？

稍加思考后，學(xué)生們一下子了然了，積極表達的欲望高漲。

生1：分子和分母有倍數(shù)關(guān)系時，小的數(shù)就是他們的最大公因數(shù)，分子和分母同時除以最大公因數(shù)就可以約成最簡分數(shù)。

生2：分子和分母都是11的倍數(shù)，直接用11來約分。

生3：分子和分母都是整十數(shù)，或是整百數(shù)，同時去掉相同個數(shù)的0，再約分。

生4：分子和分母沒有這些特殊關(guān)系，在約分時我們可以逐一去找一找分子和分母有沒有公因數(shù)2、3、5、7……應(yīng)用以前學(xué)習(xí)的2、3、5的倍數(shù)的特征，可以提高我們約分的速度！

在片段一的教學(xué)時，只是簡單地按照教材的呈現(xiàn)方式來展開教學(xué)，將所有的分數(shù)都混淆在一起，需要學(xué)生進行分類整理，再發(fā)現(xiàn)具有不同特征的分數(shù)在約分時的技巧，這對于絕大部分學(xué)生來說是相當困難的，所以課堂上教師提問后學(xué)生沉默了。在片段二的教學(xué)中，教師對分數(shù)進行了分類整理，列出了較為典型的具有同一特征的分數(shù)，學(xué)生從練習(xí)感悟—思索規(guī)律—恍然大悟，感受到了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣。

只要教師善于尋找練習(xí)背后的精彩，有效展開教學(xué)，就能讓學(xué)生既有的思維碰撞，又能品嘗成功的喜悅，練習(xí)課同樣鮮活、靈動、充滿情趣。

三、適時改變——給思維“增色”

在練習(xí)課時，用足用好每一道練習(xí)題，明確每一道習(xí)題的作用和功能，顯得尤為重要。教學(xué)中，教師還可對教材里的習(xí)題做適當調(diào)整、補充、拓展，讓課堂走向開放，讓學(xué)生的思維之花不斷激發(fā)，知識不斷深化。

【案例：蘇教版數(shù)學(xué)五年級下冊《簡易方程》】

下表中的a、b、c表示3個連續(xù)的自然數(shù)。任意寫出三組這樣的數(shù)，并求出各組數(shù)的和。

（1）觀察上表，你有什么發(fā)現(xiàn)？在小組里交流。

（2）你會用含有b的式子表示a或c嗎？表示a、b、c的和呢？

（3）如果3個連續(xù)自然數(shù)的和是99，你能列方程求出這3個數(shù)各是多少嗎？

這一練習(xí)有一定的難度，但這也是一個值得拓展的內(nèi)容。如果運用得當，能激起學(xué)生的探究欲，尋找到規(guī)律所在，還能由此推導(dǎo)出其他相似的結(jié)論。在教學(xué)時，根據(jù)班級實際對練習(xí)進行拓展和重組。

師：觀察上表，你有什么發(fā)現(xiàn)？在小組里交流。

在學(xué)生討論的時候教師適當提示：這3個數(shù)與它們的和有什么關(guān)系？

有三個小組迅速得出了結(jié)論：3個連續(xù)的自然數(shù)，中間一個數(shù)乘3，就是它們的和。

其中有一位學(xué)生還精彩地舉例論證了自己的結(jié)論：4、5、6，只要從6里拿出1給4，另兩個數(shù)就變得和中間一個數(shù)一樣大了，所以就可以用中間一個數(shù)乘3就行了。實際上她沒有求和再除以3求平均數(shù)，而是通過移多補少來想的，更加簡潔，易理解。經(jīng)她這么一解釋，再看看自己的例子，學(xué)生們一下子就明白了。有了移多補少的知識鋪墊，學(xué)生只要想所舉例子的幾個數(shù)的大小關(guān)系就可以了。于是教師趁熱打鐵，馬上問道：除了3個連續(xù)的自然數(shù)，還有哪些數(shù)也可能得出這樣的結(jié)論？這一問，立即激發(fā)了學(xué)生的興趣。他們猜測：

“4個連續(xù)的自然數(shù)，中間一個數(shù)乘4就是這4個數(shù)的和?！?/p>

“5個連續(xù)的自然數(shù)，中間一個數(shù)乘5就是這5個數(shù)的和?！?/p>

“3個連續(xù)的奇數(shù)，中間一個數(shù)乘3就是這3個數(shù)的和?！?/p>

“3個連續(xù)的偶數(shù)，中間一個數(shù)乘3就是這3個數(shù)的和?！?/p>

“3個連續(xù)的素數(shù)，中間一個數(shù)乘3就是這3個數(shù)的和?！?/p>

“3個連續(xù)的合數(shù)，中間一個數(shù)乘3就是這3個數(shù)的和?！?/p>

……

接下來，請四人小組任意選一個猜想舉例論證。

小組成員有序、快速地活動起來。不久，教室安靜下來，孩子們興奮地舉起了手，他們已經(jīng)有滿意的答案了：

生1：奇數(shù)個連續(xù)的自然數(shù)，中間的數(shù)乘個數(shù)等于它們的和。

生2：不一定非要連續(xù)的自然數(shù)，只要每相鄰兩個數(shù)的差相等就可以啦。

生3：奇數(shù)個連續(xù)的數(shù)，任意兩個相鄰數(shù)只要差相等，中間的一個數(shù)乘個數(shù)就等于它們的和。

多么令人驚喜的發(fā)現(xiàn)??！他們由自然數(shù)聯(lián)想到奇數(shù)、偶數(shù)，甚至聯(lián)想到中學(xué)將要學(xué)習(xí)的等差數(shù)列，既有思維的廣度，又有思維的深度。教育家皮亞杰說：“兒童是具有主動性的人，所教的東西，要能引起兒童的興趣、符合他的需要，才能有效地促使他的發(fā)展?！睌?shù)學(xué)教材是適合一般學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)容，它不可能顧及每個學(xué)生的認知發(fā)展水平。事實上，由于受生活環(huán)境、學(xué)習(xí)條件等多種因素的影響，不同班級、同一班級不同學(xué)生的智力發(fā)展水平不盡相同。所以，教師可從學(xué)生的認知層面進行多方面的思考，對練習(xí)內(nèi)容進行重組，讓練習(xí)點燃每一個學(xué)生的智慧火花，滿足每一個學(xué)生的求知欲。

數(shù)學(xué)課堂中的練習(xí)，如果只是對新知識的重復(fù)講解、機械再做，學(xué)生會失去學(xué)習(xí)興趣，思維能力無法得到提高。教師要從練習(xí)內(nèi)容出發(fā)、從目標入手進行整體設(shè)計，積極調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，引領(lǐng)學(xué)生的思維向更深處漫溯，讓學(xué)生滿載一船的收獲，在數(shù)學(xué)世界里快樂放歌。

【參考文獻】

[1]蘇霍姆林斯基.給教師的建議[M].北京：教育科學(xué)出版社，2016.

[2]陸志娟.在數(shù)學(xué)練習(xí)中發(fā)展思維能力[J].教學(xué)研究，2016（1）.