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    任意邊界條件下變厚度中厚矩形板的靜動態(tài)特性分析

    2018-11-30 08:28:26吳子奇史冬巖王青山姚熊亮
    船舶力學 2018年11期
    關(guān)鍵詞:傅立葉板結(jié)構(gòu)級數(shù)

    吳子奇,王 治,史冬巖,王青山,姚熊亮

    (1.哈爾濱工程大學 a.船舶工程學院;b.機電工程學院,哈爾濱150001;2.中南大學 機電工程學院,長沙410083)

    矩形板結(jié)構(gòu)作為主要的結(jié)構(gòu)構(gòu)件,已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于航空航天、機械、建筑、造船、橋梁等領(lǐng)域,在實際工程中,除了等厚度矩形板以外,變厚度板也有著廣泛的應(yīng)用價值,特別是在一些特殊的土建水利等方面。因此研究變厚度板的靜動態(tài)特性具有較為重要的工程價值,使設(shè)計者在進行變厚度結(jié)構(gòu)設(shè)計時能夠了解其靜動態(tài)特性。

    從現(xiàn)有研究文獻來看,在以往的研究中,對于等厚度結(jié)構(gòu)的研究成果較為豐碩,其中主要的研究方法包括辛本征值展開法、無網(wǎng)格數(shù)值解法、離散積分法等,但是上述方法中的推導過程與求解過程都較為繁瑣,邊界條件較為單一,對于一般邊界條件下的靜動態(tài)特性無法計算;對于變厚度中厚板靜動態(tài)特性的研究,從現(xiàn)有文獻來看其主要的研究方法包括雙重傅立葉級數(shù)[9]、半解析解法[10-13]、二次樣條函數(shù)[14]、廣義微分求積法[15]、辛幾何法[16]和能量法[17],對這些方法進行總結(jié)不難發(fā)現(xiàn),大部分的方法都只局限于簡單的經(jīng)典邊界條件,對于一般邊界條件并不能進行求解,且求解過程較為繁瑣。文獻[18]提出了一種改進傅立葉級數(shù)方法,建立了一般邊界條件下矩形薄板的靜動態(tài)法分析模型,與傳統(tǒng)的傅里葉級數(shù)相比收斂性有較大改善,且精度較高。

    本文基于現(xiàn)有文獻研究的不足,利用改進傅立葉級數(shù)研究方法,建立了一般邊界條件下等厚度與變厚度矩形板結(jié)構(gòu)的靜動態(tài)特性分析模型。首先將結(jié)構(gòu)的橫向位移與旋轉(zhuǎn)角度函數(shù)用改進傅立葉級數(shù)進行展開,并且對其進行能量描述。其次將函數(shù)展開的未知傅立葉級數(shù)系數(shù)作為廣義向量,利用Rayleigh-Ritz方法進行求解,得到一個標準特征值問題。通過這個特征方程組,就能簡便得到結(jié)構(gòu)的靜動態(tài)特性。本文建立的模型能夠?qū)τ诘群穸扰c變厚度中厚板結(jié)構(gòu)在一般邊界條件下的靜動態(tài)特性進行求解。最后通過大量的數(shù)值算例對本文方法進行了驗證,證明了本文方法的合理性,而且具有良好的計算精度和收斂速度。

    1 矩形厚板彎曲振動理論模型

    1.1 結(jié)構(gòu)物理模型

    本文所研究的變厚度Mindlin矩形板模型如圖1所示,在直角坐標系(x,y,z)中,長為a,寬為b,厚度為h(x)的變厚度中厚矩形板。對于板結(jié)構(gòu)中的任一質(zhì)點,其橫向振動位移函數(shù)采用w來描述,其單位為m;轉(zhuǎn)角位移函數(shù)采用ψx和ψy來表示,其單位為m。板的一般邊界條件可以采用沿各邊均勻分布的線性位移(kil,i取值為 x、y,l的取值為0、a、b,在后面不再進行描述)和旋轉(zhuǎn)約束彈簧(Kil)來模擬。由于結(jié)構(gòu)在邊界處還存在扭矩,因此為了更加精確地對其進行求解,在邊界處還引入扭轉(zhuǎn)彈簧類型(Kijl)來對其扭矩效果進行模擬,各種經(jīng)典的邊界條件可以通過改變彈簧剛度值的大小而簡單實現(xiàn)。當沿邊界分布的兩類約束彈簧剛度值均為無窮大時,則為固支(C)邊界條件。通過將兩類約束彈簧剛度值設(shè)定為0時,則簡單地實現(xiàn)自由(F)邊界條件。簡支(S)邊界條件則可以通過將邊界上線位移和旋轉(zhuǎn)約束彈簧剛度值分別設(shè)置為無窮大和極小數(shù)而簡便實現(xiàn)。對于邊界上的線位移和旋轉(zhuǎn)約束彈簧剛度的單位分別為N/m2和Nm/rad。板結(jié)構(gòu)的邊界條件采用逆指針順序來進行描述,順序如下:y=0、x=a、y=b、x=0。在本文計算中,無窮大的剛度值取為1×1014,而極小剛度值取為零。

    1.2 結(jié)構(gòu)運動關(guān)系與本構(gòu)關(guān)系

    根據(jù)線性小彈性變形理論,結(jié)構(gòu)應(yīng)變分量與結(jié)構(gòu)位移變量之間的關(guān)系可以定義為:

    根據(jù)胡克定律,應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系定義為:

    其中:

    E為結(jié)構(gòu)彈性楊氏模量,單位為Pa,μ為材料的泊松比,κ為剪切修正因子。

    在物理模型的描述中可知,對于結(jié)構(gòu)的一般邊界條件模擬是依據(jù)設(shè)置在邊界處的三類彈簧剛度來進行模擬,因此一般彈性邊界可以表示為

    其中:kx0(kxa)、ky0(kyb)分別代表 x=0(a)和 y=0(b)邊上橫向線性位移彈簧剛度系數(shù),單位 N/m2;Kx0(Kxa)、Ky0(Kyb)分別代表 x=0(a)和 y=0(b)邊上旋轉(zhuǎn)約束彈簧剛度系數(shù),單位 N/rad;Kxy0(Kxya)、Kyx0(Kyxb)分別代表 x=0(a)和 y=0(b)扭轉(zhuǎn)約束彈簧剛度系數(shù),單位 Nm/rad。

    1.3 位移容許函數(shù)

    在本文方法中,構(gòu)造合適的位移容許函數(shù)對本文的研究有著很重要的關(guān)系。在以往的求解方法中,結(jié)構(gòu)容許函數(shù)往往是根據(jù)相同邊界下的梁函數(shù)進行設(shè)置,因此,不同的邊界條件,需要自定義不同邊界下的梁函數(shù)。這就會導致,當邊界條件發(fā)生改變時需要設(shè)置不同類型的梁函數(shù),當函數(shù)發(fā)生改變,整個求解過程需要重新推導與編程計算,不具有通用性,工作量繁瑣。結(jié)構(gòu)的容許函數(shù)除了設(shè)置成梁函數(shù)以外,還可以用簡單、正交多項式和三角函數(shù)進行表示。當容許函數(shù)為多項式時,將容許函數(shù)展開為低階多項式時,不能滿足結(jié)構(gòu)在高階次的振動求解;展開為高階多項式時,由于數(shù)值計算截斷誤差的原因會引起數(shù)值不穩(wěn)定。當容許函數(shù)為傳統(tǒng)傅立葉三角級數(shù)時,級數(shù)取無窮項時能夠構(gòu)成一個完整的無限維度向量空間,通過數(shù)值截斷進行計算時,該容許函數(shù)具有良好的數(shù)值穩(wěn)定性和一定的計算精度,也許可以克服多項式或者梁函數(shù)存在的問題。然而,傳統(tǒng)的傅立葉級數(shù)在邊界處會存在收斂性問題,除了簡單的經(jīng)典邊界以外。因為,當容許函數(shù)展開為傳統(tǒng)傅立葉三角級數(shù)時,其位移導數(shù)在邊界處可能存在不連續(xù)現(xiàn)象,因此,可能導致不連續(xù)或者收斂速度極慢,不能滿足結(jié)構(gòu)的振動控制微分方程。為了克服這些難點,一種改進的傅立葉級數(shù)表達已經(jīng)被提出,并且被應(yīng)用到一般彈性邊界下正交各向異性矩形薄板[18]的彎曲自由振動和環(huán)扇形板[19]的面內(nèi)振動分析。在本文中,進一步將該方法擴展到變厚度中厚板結(jié)構(gòu)的靜動態(tài)特性分析中。因此,為了滿足任意邊界條件下的厚板結(jié)構(gòu),結(jié)構(gòu)的位移函數(shù)與旋轉(zhuǎn)函數(shù)被包含正弦三角級數(shù)的改進傅立葉級數(shù)。

    在Mindlin板理論,位移分量假設(shè)由下式給出:

    對于一般邊界條件下中厚矩形板結(jié)構(gòu)來說,其橫向振動和轉(zhuǎn)角位移函數(shù)可以采用二維改進傅里葉級數(shù)方法來進行表示:

    1.4 能量泛函與求解步驟

    在采用改進傅里葉級數(shù)建立了中厚矩形板的位移函數(shù)之后,需要對位移函數(shù)的未知傅里葉展開系數(shù)進行求解。由于本文所建立的位移函數(shù)足夠光滑,位移函數(shù)的弱解(近似解)和強解(精確解)在數(shù)學意義上是等效的。因此,本文采用基于能量原理的Rayleigh-Ritz法來求解未知傅里葉展開系數(shù)。變厚度板的應(yīng)變勢能為:

    將(1)、(2)式代入(15)式,結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能可以表示為:

    儲存在邊界的彈簧勢能可以表示為:

    當為一般彈性邊界條件時,將彈簧考慮為無質(zhì)量質(zhì)點,此時結(jié)構(gòu)的整體動能為

    在理論模型的推導中,板的厚度h( x,y)一般地表示為一個空間坐標函數(shù)。為了描述的統(tǒng)一和計算的方便,將空間坐標函數(shù)都采用一維或二維傅里葉級數(shù)來表示。由于板厚度的空間坐標函數(shù)為h( x,y),板結(jié)構(gòu)的厚度函數(shù)可以表示為二維傅里葉余弦級數(shù)

    其中,傅里葉展開系數(shù)可以從下式進行計算:

    為了簡便起見,本文以沿x方向線性變化的中厚矩形板作為研究對象,假定厚度變化函數(shù)為

    從而,板結(jié)構(gòu)的厚度函數(shù)通過(19)式可以表示為一維的傅里葉余弦級數(shù)

    其中,傅里葉展開系數(shù)根據(jù)(20)式可以計算得到

    對施加在Mindlin矩形板上的外載荷所作功Wext可以表示為如下形式:

    本文中將在兩種不同類型的載荷下對Mindlin矩形板進行靜態(tài)特性分析,這兩種載荷形式分別為均布壓強和線性壓強。

    其中:x1≤x≤x2,y1≤y≤y2為壓強載荷作用有效區(qū)域。

    為了得到結(jié)構(gòu)位移函數(shù)的未知展開傅立葉系數(shù),本文采用Rayleigh-Ritz方法進行求解。因為Rayleigh-Ritz方法作為一種數(shù)值近似解法,具有求解原理明晰、操作簡單、計算效率高等優(yōu)點。通過結(jié)構(gòu)的應(yīng)變勢能、彈簧勢能、動能以及外力功,結(jié)構(gòu)的拉格朗日能量泛函可以表示為

    將(10)-(12)式代入(26)式,對未知的傅立葉展開系數(shù)求極小值

    結(jié)構(gòu)的振動問題將轉(zhuǎn)換為一個求特征值與特征向量的簡單數(shù)學問題,將其矩陣化可以表示為

    進行靜態(tài)分析時,令(28)式中ω=0,則矩形板結(jié)構(gòu)的橫向彎曲振動位移的傅里葉系數(shù)向量可表示為:

    得到位移的傅立葉系數(shù)后,代入(12)式即可得到矩形板的橫向振動位移,通過對矩形板位移進行一系列數(shù)學操作即可得到其它感興趣的物理量,諸如對位移求導能得到此時矩形板的速度和加速度等。

    2 數(shù)值結(jié)果與分析

    在本節(jié)中,將采用上一小節(jié)的理論模型,對不同邊界下變厚度中厚板的靜動態(tài)特性進行求解,將本文方法得到的計算結(jié)果與文獻解及有限元計算結(jié)果進行對比驗證,以驗證本文方法的合理性。由于本文方法在計算過程中對級數(shù)進行階段計算,所以首先對本文方法的收斂性進行分析;其次,對等厚度與變厚度下的靜動態(tài)特性進行了研究分析。

    2.1 本文方法收斂性研究

    表1 不同截斷數(shù)下CCCC勻厚中厚矩形板前8階頻率參數(shù)ΩTab.1 Frequency parameters Ω for CCCC moderately thick plates with uniform thickness and different truncate numbers

    2.2 等厚度Mindlin矩形板靜動態(tài)特性分析

    本小節(jié)將對經(jīng)典邊界條件與彈性邊界下的等厚度Mindlin矩形板進行靜動態(tài)特性分析,靜態(tài)特性主要分析Mindlin矩形板受局部壓強下的位移變形,動態(tài)特性包括經(jīng)典邊界與一般彈性邊界下的模態(tài)分析。在本小節(jié)所有算例計算中,矩形板的材料參數(shù)E=2×1011Pa,泊松比μ=0.3,密度為7800 kg/m3,矩形板結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)定為a=4 m,b=2 m;h/b=0.1,0.15,0.2。此外,由于缺少相關(guān)文獻數(shù)據(jù),為檢驗本方法的正確性,本小節(jié)的結(jié)果同有限元軟件ABAQUS計算所得數(shù)據(jù)進行了比較,采用ABAQUS求解時矩形板所使用的單元類型為S4R單元,物理結(jié)構(gòu)參數(shù)與邊界條件與本文方法保持一致,網(wǎng)格尺寸為0.01 m×0.01 m。 其中表2-3 中(x1,x2,y1,y2)表示外界載荷作用在矩形板的范圍,例如(2,3,1,2)表示外界載荷作用于矩形板的范圍為x=2,x=3以及y=1,y=2所圍成的矩形區(qū)域。

    表2 均布壓強P=1000 Pa作用于Mindlin矩形板下的最大變形 單位:mTab.2 The max structural deformation for moderately thick plates with uniform thickness and different boundary condition under load P=1000 Pa

    表3 Mindlin矩形板在線性壓強P(x)=100x+1 Pa作用下的最大變形 單位:mTab.3 The max structural deformation for moderately thick plates with uniform thickness and different boundary condition under load P(x)=100x+1 Pa

    表2列出了均布壓強在各種經(jīng)典邊界條件任意組合下在不同跨度比h/b、不同作用區(qū)域下結(jié)構(gòu)的最大變形。表3列出了線性壓強在各種經(jīng)典邊界條件任意組合下在不同跨度比h/b、不同作用區(qū)域下結(jié)構(gòu)的最大變形。通過表2~3比較發(fā)現(xiàn)本文方法同有限元軟件ABAQUS所得計算結(jié)果吻合良好,說明了本方法的正確性。同時也可以看出邊界條件的變化對矩形板的變形影響很大,此外相同的邊界條件和載荷形式及其大小,由于載荷作用的位置變化也會引起板結(jié)構(gòu)最大變形的不同。圖2與圖3給出了 Mindlin 矩形板在 FCSC 邊界條件下,均布壓強載荷作用范圍分別為(0,4,0,3)和(2,3,1,2)時Mindlin矩形板的最大變形圖。由兩組圖形對比可知,兩組圖形中的矩形板受外界載荷后變形一致,進一步說明了本文方法的正確性。

    接下來對等厚度中厚板的動態(tài)特性進行研究,由(28)式可知,模態(tài)特性可以通過求解一個標準的線性方程組簡單得到。表4給出了不同經(jīng)典邊界條件及長寬比下結(jié)構(gòu)前8階固有頻率參數(shù),文獻解及有限元分析結(jié)果作為參照值也在表4中列出,通過表4可知,本文方法的計算結(jié)果與文獻解及有限元分析結(jié)果吻合良好。表5給出了彈性邊界條件方板結(jié)構(gòu)前6階頻率參數(shù),邊界處的彈性參數(shù)為kx0=kxa=ky0=kyb=Γw與Kx0=Kxa=Ky0=Kyb=Γx,扭轉(zhuǎn)彈簧剛度系數(shù)與旋轉(zhuǎn)彈簧保持一致,有限元分析結(jié)果作為參考值也列在表6中。通過表6可知,本文的計算結(jié)果與有限元計算結(jié)果吻合良好,因此本文方法對于任意邊界條件下的等厚度Mindlin求解是可行的。

    表4 不同邊界條件下勻厚中厚矩形板前8階頻率參數(shù)ΩTab.4 Frequency parameters Ω for moderately thick plates with uniform thickness and different boundary conditions

    表5 彈性邊界條件下方板結(jié)構(gòu)前6階無量剛化固有頻率參數(shù)ΩTab.5 Frequency parameters Ω for moderately square thick plates with uniform thickness and elastic rotation support

    續(xù)表5

    2.3 變厚度Mindlin矩形板靜動態(tài)特性分析

    表6 均布壓強P=1000 Pa作用于Mindlin矩形板下的最大變形單位:mTab.6 The max structural deformation for moderately thick plates with variable thickness and different boundary condition under load P=1000 Pa unit:m

    表7 Mindlin矩形板在線性壓強P(x)=100x+1 Pa作用下的最大變形 單位:mTab.7 The max structural deformation for moderately thick plates with variable thickness and different boundary condition under load P(x)=100x+1 Pa unit:m

    表8 不同邊界條件下變厚度中厚矩形板前8階頻率參數(shù)ΩTab.8 Frequency parameters Ω for variable thickness square plates with different boundary condition and length-with ratio

    表9 彈性邊界條件下方板結(jié)構(gòu)前6階無量剛化固有頻率參數(shù)ΩTab.9 Frequency parameters Ω for moderately square thick plates with variable thickness and elastic rotation support

    3 結(jié) 論

    本文基于傅立葉級數(shù)方法建立了任意邊界條件下變厚度Mindlin板的靜動態(tài)特性分析模型。該方法主要是將結(jié)構(gòu)的位移容許函數(shù)利用改進傅立葉級數(shù)形式進行展開。在結(jié)構(gòu)的邊界處采用三類彈簧均勻布置來模擬任意邊界支撐條件。將未知系數(shù)作為廣義變量,結(jié)合Rayleigh-Ritz法對未知傅立葉展開系數(shù)求極值,將矩形厚板的彎曲振動問題轉(zhuǎn)換為一個簡單求解標準特征值問題。通過大量的數(shù)值算例,驗證了本文方法的正確性和可靠性,并得出以下結(jié)論:

    (1)任意邊界條件下的變厚度Mindlin板位移容許函數(shù)可表示為一種通用的改進傅立葉三角級數(shù)形式;

    (2)對級數(shù)進行截斷后,隨著截斷項數(shù)的增加,計算結(jié)果快速收斂,并且數(shù)值穩(wěn)定性很好;

    (3)對于不同邊界下的變厚度Mindlin板的靜動態(tài)特性可以實現(xiàn)快速分析,無需重新推導與編程;

    (4)除了單向線性變厚度,本文方法還可以很容易求解雙向非線性厚度變化的結(jié)構(gòu)的靜動態(tài)特性,具有良好的擴展性。

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