基于威布爾分布的APU二級(jí)渦輪葉片可靠性分析

陳振中，王航超，王璐璐，秦 增，賈宇航

(1.沈陽(yáng)航空航天大學(xué) 民用航空學(xué)院，沈陽(yáng) 110136；2.中國(guó)南方航空股份有限公司 沈陽(yáng)維修基地，沈陽(yáng) 110100)

輔助動(dòng)力裝置APU(Auxiliary Power Unit)是一臺(tái)小型的燃?xì)鉁u輪發(fā)動(dòng)機(jī)，安裝于飛機(jī)后機(jī)身的尾椎之內(nèi)，主要由動(dòng)力段、負(fù)載壓氣機(jī)和附件齒輪箱三大部分組成，主要用于給飛機(jī)(地面)提供電力和壓縮空氣。正常工況下，高溫高壓燃?xì)馐箿u輪旋轉(zhuǎn)做功，再通過(guò)軸傳遞給壓氣機(jī)、附件齒輪箱，使APU周而復(fù)始地運(yùn)轉(zhuǎn)工作[1]。渦輪葉片的工作環(huán)境惡劣且又是二級(jí)渦輪組件的易失效部件。葉片的故障會(huì)導(dǎo)致APU工作性能衰退，甚至?xí)霈F(xiàn)APU停車，給飛機(jī)進(jìn)場(chǎng)與起飛帶來(lái)不便，導(dǎo)致航班延誤從而給航空公司、乘客造成一定的損失。王能歡等[2]提出了二、三參數(shù)威布爾分布的乘用車包修數(shù)據(jù)的分析方法；劉建功，張祎等[3]進(jìn)行了某型鋼板的疲勞試驗(yàn)并分別利用二、三參數(shù)威布爾模型對(duì)鋼板彈簧疲勞壽命進(jìn)行分析，三參數(shù)威布爾分布擬合結(jié)果相對(duì)更好；李陽(yáng)等[4]提出了一種基于威布爾分布的武器裝備部件壽命評(píng)估方法；Emad E.Elmahdy[5]提出了一種利用不同威布爾模型對(duì)具有失效模式的系統(tǒng)組件的壽命數(shù)據(jù)進(jìn)行建模的方法。本文基于威布爾分布對(duì)APU二級(jí)渦輪葉片可靠性壽命進(jìn)行分析與研究。收集APU維修現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)并整理出二級(jí)渦輪葉片的失效數(shù)據(jù)，選取一定量的故障數(shù)據(jù)作為樣本，利用MINITAB、MATLAB對(duì)其處理分析，確定樣本數(shù)據(jù)的分布模型，并對(duì)其進(jìn)行參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)，分析APU二級(jí)渦輪葉片的可靠性水平，其對(duì)應(yīng)的分析流程如圖1所示。

圖1 APU二級(jí)渦輪葉片故障數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析流程圖

1 威布爾分布

1.1 二參數(shù)威布爾分布模型

威布爾分布有二參數(shù)、三參數(shù)兩種表達(dá)形式，位置參數(shù)、形狀參數(shù)以及尺度參數(shù)為威布爾的3種參數(shù)。三參數(shù)威布爾分布函數(shù)表達(dá)式為

(1)

其中，β為形狀參數(shù)，η為尺度參數(shù)，γ為位置參數(shù)，t為故障時(shí)間。

三參數(shù)威布爾分布的位置參數(shù)γ=0時(shí)為二參數(shù)威布爾分布。二參數(shù)威布爾分布函數(shù)為

(2)

1.2 二參數(shù)威布爾分布的最小二乘法分析

二參數(shù)威布爾分布函數(shù)式(2)線性化，即對(duì)(2)式作等價(jià)變換，兩邊同時(shí)取兩次對(duì)數(shù)，其結(jié)果如下

(3)

Y=AX+B

(4)

對(duì)上面線性方程(4)利用最小二乘法求解A、B(估計(jì)值)如下所示

(5)

(6)

把所求A、B值代回對(duì)應(yīng)的表達(dá)式進(jìn)而求解出二參數(shù)威布爾模型的形狀參數(shù)β與尺度參數(shù)η[6-7]。

為了測(cè)定最小二乘法擬合精度，一般采用相關(guān)系數(shù)法描述X、Y之間的相關(guān)程度，其表達(dá)式如下

(7)

相關(guān)系數(shù)R與相關(guān)程度之間的關(guān)系如表1所示。

表1 相關(guān)系數(shù)表

2 APU二級(jí)渦輪葉片可靠性分析

2.1 基于中位秩公式計(jì)算經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)

同一構(gòu)型APU二級(jí)渦輪葉片部分故障數(shù)據(jù)(葉片為不可修產(chǎn)品)，其樣本量為50，頻數(shù)直方圖如圖2所示?；诮y(tǒng)計(jì)軟件MINITAB對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行“比較分布”分析并繪制二參數(shù)威布爾診斷圖如圖3所示，再利用MATLAB繪制出二參數(shù)威布爾概率圖如圖4所示。從圖中可以看出大多數(shù)點(diǎn)分布于一條線附近，兩者分析結(jié)果相同，所以此樣本數(shù)據(jù)符合二參數(shù)威布爾分布模型(初步判定，后面進(jìn)一步分布假設(shè)檢驗(yàn))。針對(duì)故障數(shù)據(jù)使用中位秩公式計(jì)算經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)值如表2所示。中位秩公式為

(8)

其中，i表示每一個(gè)樣本的序號(hào)，也稱秩；n表示樣本量[8-10]。

圖2 直方圖

2.2 最小二乘參數(shù)估計(jì)

圖3 二參數(shù)威布爾診斷圖

圖4 二參數(shù)威布爾概率圖

表2 葉片數(shù)據(jù)表

圖5 最小二乘擬合圖

為了驗(yàn)證最小二乘法的合理性、參數(shù)的相對(duì)準(zhǔn)確性，基于MINITAB軟件對(duì)樣本數(shù)據(jù)再進(jìn)行極大似然參數(shù)估計(jì)，形狀參數(shù)β=4.381 6，尺度參數(shù)η=7.234×103。兩組參數(shù)如下表3所示。

表3 參數(shù)對(duì)比表

2.3 分布擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

K-S(Kolmogorov-Smirnov/柯?tīng)柲缏宸?斯米爾諾夫)檢驗(yàn)法，也稱D檢驗(yàn)法。K-S單樣本檢驗(yàn)是觀測(cè)一組樣本數(shù)據(jù)的分布與某一指定的理論分布之間的符合程度。

設(shè)總體分布為F(t)，F(xiàn)0(t)為已知的連續(xù)分布函數(shù)，假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題H0：F(t)=F0(t)，K-S具體檢驗(yàn)步驟為

(1)樣本量為n的樣本T1,…,Tn，升序排列的統(tǒng)計(jì)量為：T(1)≤T(2)≤…≤T(n);

(2)計(jì)算每一個(gè)樣本數(shù)據(jù)ti對(duì)應(yīng)的已知分布函數(shù)F0(ti)、經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)Fn(ti)并解出兩者的差值，其中差值的最大絕對(duì)值為Dn。

(9)

(10)

聯(lián)立以上(9)、(10)兩式

(11)

(3)對(duì)于給定的顯著水平α、樣本量n，通過(guò)柯?tīng)柲缏宸驒z驗(yàn)臨界表查出臨界值D(n,α);

(4)Dn≤D(n,α)，接受假設(shè)H0；反之，拒絕假設(shè)H0。

假設(shè)H0：葉片的失效數(shù)據(jù)服從β=4.451 1，η=7.242 0×103的二參數(shù)威布爾分布。 基于以上的Dn計(jì)算公式，結(jié)合MATLAB編程解出Dn=0.087 2。顯著水平α=0.05,樣本量n=50，通過(guò)查表D(n,α)=0.188 41，Dn

2.4 APU二級(jí)渦輪葉片可靠性水平

通過(guò)對(duì)某型APU二級(jí)渦輪葉片的故障數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，并基于MATLAB編程繪制出葉片的分布函數(shù)圖、概率密度函數(shù)圖、可靠度函數(shù)圖以及失效率函數(shù)圖，分別如圖6～圖9所示。產(chǎn)品的可靠性指標(biāo)一般包括可靠度、失效率、平均壽命以及可靠壽命。

產(chǎn)品的可靠度指產(chǎn)品在規(guī)定時(shí)間內(nèi)與規(guī)定條件下，完成規(guī)定功能的概率。葉片可靠度函數(shù)

(12)

產(chǎn)品的失效率指工作到某一時(shí)刻未失效產(chǎn)品，在此時(shí)刻后單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生失效的概率。葉片失效率函數(shù)

(13)

產(chǎn)品的平均壽命是常用的可靠性指標(biāo)之一，如果葉片壽命的概率密度函數(shù)為f(t)，則平均壽命即為葉片壽命所服從分布的期望，又由于葉片為不可修復(fù)產(chǎn)品，所以葉片的平均壽命又稱為平均故障前時(shí)間(MTTF)。

(14)

產(chǎn)品的可靠壽命指產(chǎn)品正常工作在某一概率水平R以上，產(chǎn)品可以工作的時(shí)長(zhǎng)，此時(shí)間稱為可靠壽命tR

(15)

可靠度R=0.5的可靠壽命t0.5稱為中位壽命；而R=e-1=0.368的可靠壽命t0.368稱為特征壽命。APU二級(jí)渦輪葉片對(duì)應(yīng)的中位壽命t0.5=6.670×103h，特征壽命t0.368=7.242×103h[2-5][11-15],如圖8所示。

圖6 分布函數(shù)曲線

圖7 概率密度函數(shù)曲線

圖8 可靠度函數(shù)曲線

圖9 失效率函數(shù)曲線

3 結(jié)論

本文對(duì)某型APU二級(jí)渦輪葉片的現(xiàn)場(chǎng)故障數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，基于MINITAB比較分布、MATLAB概率圖初步確定其服從二參數(shù)威布爾分布，采用最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，通過(guò)最小二乘擬合圖直觀地觀察擬合性，進(jìn)一步計(jì)算其相關(guān)系數(shù)定量地確定相關(guān)性。利用K-S檢驗(yàn)法進(jìn)行分布假設(shè)檢驗(yàn)最終確定樣本數(shù)據(jù)符合二參數(shù)威布爾分布，并計(jì)算可靠度、失效率、平均壽命以及可靠壽命四項(xiàng)可靠性指標(biāo)來(lái)衡量葉片的可靠性水平?；诜治鼋Y(jié)果航空公司APU維修技術(shù)人員可以推測(cè)二級(jí)渦輪葉片的可靠性或壽命狀態(tài)輔助維修。