漫談等比數(shù)列前n項和的求法

河北省臨城中學(xué) 王云龍

“數(shù)列”是高中數(shù)學(xué)中較為重要的一項內(nèi)容，其中，前n項和的求法又是我們學(xué)生在考試時經(jīng)常遇到的題型。然而，在實際學(xué)習(xí)過程中，大部分學(xué)生只知道識記教材中給出的一些公式，卻沒有用心了解其具體的推導(dǎo)過程以及如何針對不同的題型進(jìn)行靈活的應(yīng)用，這就使得他們在實際做題時不能根據(jù)多變的題目選擇適合的解答思路和方式。針對此種情況，筆者根據(jù)自身的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，總結(jié)出了幾種常用的推導(dǎo)等比數(shù)列求和公式的方法，同時對于考試過程中經(jīng)常遇到的一些相關(guān)變形問題提供了解題思路。

一、等比數(shù)列求和的基礎(chǔ)——公式法

“公式法”是學(xué)生解答等比數(shù)列求和問題的主要方法，我們只要根據(jù)題干當(dāng)中給出的條件求解出首項a1以及公比q的值，便能夠套用Sn=a1（1-qn）/（1-q）（注意：q≠1時成立）這個“萬能”公式進(jìn)行計算得出正確的答案，但這僅限于一些相對簡單的選擇或者填空題，在實際考試答題過程中，我們還需要運用一定的技巧和方法來解決一些較難的題目。因此，學(xué)生不僅要能夠直接使用公式進(jìn)行計算，還需要深入地了解其具體的推導(dǎo)過程，并能夠熟練和靈活地使用這些方法處理問題。

1．用“錯位相減法”進(jìn)行等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)

根據(jù)等比數(shù)列的基本性質(zhì)，我們首先可以列出前n項和Sn=a1+a1q+…+a1qn-1①，為了能夠消減相同的項，通過對①進(jìn)行觀察可以發(fā)現(xiàn)每一項間都相差一個q，這同時能夠反過來證明數(shù)列公比為q的特點，這時，我們可以考慮將等式①乘以q得出：qSn=a1q+a1q2+…+a1qn②，如此，便能夠?qū)墒较鄿p，消除同類項進(jìn)行化簡，最后得出等比數(shù)列前n項和的公式。

通過計算我們可以知道，當(dāng)兩個等式進(jìn)行相減時，對應(yīng)的項并不相等，而是和相鄰的項進(jìn)行了化簡消除，因此，這種處理問題的方式被稱為“錯位相減法”，其不僅能夠用于公式的推導(dǎo)和證明，而且在實際做題過程中也有廣泛的應(yīng)用，這是我們學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)列知識時需要重點掌握的一種求解前n項和的方法。

2．用“Sn-an=Sn-1”進(jìn)行等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)

此方法主要通過對前n項和的①等式進(jìn)行變形，然后再尋找當(dāng)中的一些規(guī)律，進(jìn)而推導(dǎo)出通用公式。具體證明過程如下：式①=a1+q（a1+…+a1qn-2）=a1+qSn-1=a1+q（Sn-an），然后合并相同的項進(jìn)行化簡，就能夠得出等比數(shù)列的求和公式。

3．用“等比定理”進(jìn)行數(shù)列求和公式的推導(dǎo)

這一方法是根據(jù)相鄰項之間的比值總為q的這一特點進(jìn)行數(shù)列求和公式的推導(dǎo)。具體證明過程如下：因為所以利用“等比定理”可以進(jìn)一步得出化簡后便能夠得出前n項和的公式。

二、等比數(shù)列求和的變形

在實際考試過程中，學(xué)生除了可以利用公式直接計算求解數(shù)列的和以外，還經(jīng)常會遇到很多和等比數(shù)列相關(guān)的變形題，這就需要我們能夠運用一些技巧和方法來幫助自身正確答題，上述求和公式的證明方法也需要在做題當(dāng)中用到。

1．分組求和法

例1 求（a-1）+（a2-2）+…+（an-n）（a≠0）的和。

解析：通過觀察我們可以發(fā)現(xiàn)，此題是由等比和等差數(shù)列的差值共同構(gòu)成了一個全新的數(shù)列，無法直接套用相應(yīng)的公式進(jìn)行求解，因此，我們可以采用“分組求和思想”將有相同規(guī)律的項放到一起，即：（a+…+an）-（1+…+n），然后再分別利用相應(yīng)的公式進(jìn)行計算。但是在解答過程中，我們需要特別注意對a的取值情況進(jìn)行分類討論。

通過上述的計算過程我們可以進(jìn)行如下總結(jié)：當(dāng)數(shù)列當(dāng)中的每一項都能夠用{an}和{bn}進(jìn)行表示且它們之間又是以“和”或者“差”的形式存在時，就可以考慮使用“分組求和”的方法分別求解。

2．錯位相減法

例2 求和：Sn=x+2x2+…+nxn（x≠0，x≠1）。

解析：通過觀察我們可以將此題中的數(shù)列看成{an·bn}的形式，用x乘以Sn，再和原來的等式進(jìn)行相減就能夠得出：（1-x）Sn=x+x2+…+xn-nxn+1，然后套用等比數(shù)列前n項和的計算公式，再進(jìn)行化簡就可以得到正確的結(jié)果。這類問題的變形還有很多種形式，比如“比乘比”“差除比”等，這些都可以使用“錯位相減法”進(jìn)行解題。

綜上所述，雖然教材當(dāng)中關(guān)于等比數(shù)列求和的相關(guān)內(nèi)容多是運用直接套公式的方法來解決問題，但是在實際練習(xí)或者考試過程中，我們會遇到很多關(guān)于此類題目的變形，這就需要學(xué)生能夠熟練掌握常見的求解前n項和的方法，并且可以進(jìn)行靈活應(yīng)用。

[1]胡耀宇．等比數(shù)列前n項和Sn的一個性質(zhì)的兩個補(bǔ)充[J]．?dāng)?shù)學(xué)通訊，2011（7）：9-9．

[2]白雪峰．縱橫聯(lián)系互相詮釋把握本質(zhì)——以等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)為例[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2015（11）：16-17．

[3]周加中．等比數(shù)列前n項和求法的深度分析[J]．?dāng)?shù)學(xué)之友，2016（3）：57-58．